Spazio Lp

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In matematica, e più precisamente in analisi funzionale, lo spazio è lo spazio delle funzioni a p-esima potenza sommabile. Si tratta di uno spazio funzionale i cui elementi sono particolari classi di funzioni misurabili.

Lo spazio delle successioni a p-esima potenza sommabile è inoltre detto spazio . In particolare, lo spazio l2 delle successioni a quadrato sommabile rappresenta un caso di notevole importanza.

Gli spazi , con , sono spazi di Banach. In particolare, è anche uno spazio di Hilbert.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Sia uno spazio di misura e sia . Sia inoltre una funzione misurabile definita su e a valori reali.

Caso p finito[modifica | modifica wikitesto]

Si definisce norma p-esima o norma di il numero

Lo spazio delle funzioni misurabili con norma finita è detto , o anche , o solo . Le funzioni in si dicono a p-esima potenza sommabile.[1]

L'omogeneità rispetto al prodotto per scalare

e la disuguaglianza triangolare

rendono lo spazio uno spazio vettoriale reale.[2] Segue in particolare che la somma di due o più funzioni p-sommabili è ancora p-sommabile.

La norma si tratta a rigore di una seminorma a causa della presenza di funzioni nulle quasi ovunque. Per rendere una norma, si identificano due funzioni e quando la loro differenza ha norma p-esima nulla. L'insieme quoziente rispetto a questa relazione d'equivalenza è ancora uno spazio vettoriale, su cui la seminorma risulta essere una norma a tutti gli effetti. Questo spazio normato è lo spazio . Poiché tale norma risulta essere completa, esso è inoltre uno spazio di Banach.

Caso p infinito[modifica | modifica wikitesto]

Se è una funzione misurabile, allora definiamo la sua norma del sup essenziale o norma infinito

con la convenzione . Se definiamo

allora, a meno di considerare equivalenti due funzioni quasi ovunque uguali, è una norma su . Come nei casi precedenti, tale norma rende uno spazio di Banach. La norma infinito non va confusa con la norma uniforme, e per questo a volte si preferisce usare la notazione

Tale ambiguità si giustifica osservando che se allora esiste un insieme di misura nulla tale che

Il nome di "norma infinito" deriva dal fatto che se e , allora

Generalizzazioni[modifica | modifica wikitesto]

Gli spazi possono essere definiti anche prendendo come insieme di valori il campo dei numeri complessi. In questo caso lo spazio può essere indicato con . Una generalizzazione più accentuata considera funzioni a valori in un generico spazio di Banach . In tal caso, la norma p-esima è definita come

dove l'integranda è la potenza p-esima della norma dello spazio . Similmente, si generalizza la norma del sup essenziale.

Lo spazio lp[modifica | modifica wikitesto]

Consideriamo lo spazio di misura , con la misura del conteggio. Si denota con lo spazio associato a tale spazio di misura, ovvero l'insieme delle successioni tali che

Vi sono tre casi particolarmente importanti:

  • è lo spazio delle successioni la cui serie converge assolutamente.
  • è lo spazio delle successioni a quadrato sommabile.
  • è lo spazio delle successioni limitate.

Lo spazio è uno spazio di Banach e, per , separabile.

Proprietà degli spazi [modifica | modifica wikitesto]

Nel seguito si espongono le principali proprietà che caratterizzano gli spazi .

Il caso p = 2[modifica | modifica wikitesto]

Nello spazio delle funzioni a quadrato sommabili, la norma è indotta dal prodotto interno:

e quindi è uno spazio di Hilbert. Il caso è molto particolare, dal momento che è l'unico spazio di Hilbert tra gli spazi .

Dualità[modifica | modifica wikitesto]

Se allora lo spazio duale continuo di , definito come lo spazio di tutti i funzionali lineari continui, è isomorfo in modo naturale a , dove q è tale che:

Usando la notazione di Dirac, tale isomorfismo canonico associa a il funzionale

Poiché la relazione è simmetrica allora è uno spazio riflessivo: il duale continuo del duale continuo di , detto spazio biduale, è isometrico a .

Per il duale di è isomorfo a nel caso in cui sia uno spazio -finito. Non è valido il viceversa: il duale di è uno spazio vettoriale "più grande" di e per questo motivo non è riflessivo. Ad esempio, sia l'immersione canonica di nel duale di . Osserviamo che l'applicazione , con , appartiene al duale continuo di . Supponiamo, per assurdo, che esista una funzione tale che per ogni . Notiamo che per ogni

Tuttavia, per il teorema della convergenza dominata

Si ottiene così un assurdo.

Il duale di è uno spazio un po' più difficile da definire. Si dimostra che se è uno spazio di misura allora il duale di è isomorfo allo spazio di tutte le misure finitamente additive e assolutamente continue rispetto a .

La disuguaglianza di Hölder[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Disuguaglianza di Hölder.

Siano e due esponenti coniugati, ovvero due numeri reali tali che

Se allora per convenzione . Se e allora e[3]

Esplicitando la norma p-esima si ottiene la scrittura equivalente

Separabilità[modifica | modifica wikitesto]

Rispetto alla misura di Lebesgue lo spazio , con , è separabile. Ad esempio, se è una base numerabile di allora un suo sottoinsieme numerabile denso è costituito dall'insieme delle funzioni del tipo

con e .

Lo spazio non è invece separabile in nessun caso se la cardinalità di è infinita.

Relazioni di inclusione tra spazi [modifica | modifica wikitesto]

Si può provare, sfruttando la disuguaglianza di Hölder, che se la misura di è finita allora al crescere di lo spazio "decresce", ovvero per ogni . Infatti se allora

mentre se allora per Hölder

Per esempio, la funzione

appartiene per ogni . Segue inoltre, dalle disuguaglianze sopra esibite, che l'inclusione di in è una funzione continua.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ W. Rudin, Pag. 64
  2. ^ W. Rudin, Pag. 65
  3. ^ W. Rudin, Pag. 62

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Walter Rudin, Real and Complex Analysis, Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970, ISBN 0-07-054234-1.
  • Gerald B. Folland, Real Analysis: Modern Techniques and their Applications, New York, John Wiley & Sons Inc., 1999, ISBN 978-0-471-31716-6.
  • H. Brezis, Analisi funzionale - Teoria e applicazioni, Liguori, Napoli, 1990, ISBN 8820715015.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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