Spazio Lp

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In matematica, e più precisamente in analisi funzionale, lo spazio L^p è lo spazio delle funzioni a p-esima potenza sommabile. Si tratta di uno spazio funzionale i cui elementi sono particolari classi di funzioni misurabili.

Lo spazio delle successioni a p-esima potenza sommabile è inoltre detto spazio l^p. In particolare, lo spazio l2 delle successioni a quadrato sommabile rappresenta un caso di notevole importanza.

Gli spazi L^p, con 1\leq p\leq\infty, sono spazi di Banach. In particolare, L^2 è anche uno spazio di Hilbert.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Sia  (X,\mathfrak M, \mu) uno spazio di misura e sia 1 \leq p \leq \infty. Sia inoltre  f una funzione misurabile definita su  X e a valori reali.

Caso p finito[modifica | modifica wikitesto]

Si definisce norma p-esima o norma L^p di  f il numero

\| f \|_p = \left( \int_X |f|^p d \mu \right)^{\frac{1}{p}}

Lo spazio delle funzioni misurabili con norma L^p finita è detto  L^p(X,\mathfrak M, \mu) , o anche L^p(X), L^p(\mu) o solo L^p. Le funzioni in L^p si dicono a p-esima potenza sommabile.[1]

L'omogeneità rispetto al prodotto per scalare

\| \lambda f \|_p= |\lambda|\|f\|_p

e la disuguaglianza triangolare

\| f + g \|_p \le \| f \|_p + \| g \|_p

rendono lo spazio L^p uno spazio vettoriale reale.[2] Segue in particolare che la somma di due o più funzioni p-sommabili è ancora p-sommabile.

La norma L^p si tratta a rigore di una seminorma a causa della presenza di funzioni nulle quasi ovunque. Per rendere \Vert \cdot \Vert_p una norma, si identificano due funzioni  f e  g quando la loro differenza  f - g ha norma p-esima nulla. L'insieme quoziente rispetto a questa relazione d'equivalenza è ancora uno spazio vettoriale, su cui la seminorma risulta essere una norma a tutti gli effetti. Questo spazio normato è lo spazio L^p . Poiché tale norma risulta essere completa, esso è inoltre uno spazio di Banach.

Caso p infinito[modifica | modifica wikitesto]

Se f:X\longrightarrow \mathbb R  è una funzione misurabile, allora definiamo la sua norma del sup essenziale o norma infinito

\|f\|_\infty = \inf \{ C\ge 0 : |f(x)| \le C \mbox{ quasi ovunque} \big\}

con la convenzione \inf\emptyset=+\infty . Se definiamo

 L^\infty(X)=\{f:X\longrightarrow \mathbb R \text{ misurabili}: \Vert f \Vert_{\infty}<\infty \}

allora, a meno di considerare equivalenti due funzioni quasi ovunque uguali, \Vert \cdot \Vert _\infty è una norma su  L^\infty(X) . Come nei casi precedenti, tale norma rende  L^\infty(X) uno spazio di Banach. La norma infinito non va confusa con la norma uniforme, e per questo a volte si preferisce usare la notazione

             \Vert f \Vert _\infty = \text{ess sup}_X\, \vert f \vert

Tale ambiguità si giustifica osservando che se f\in L^\infty allora esiste un insieme di misura nulla E \subset X tale che

             \text{ess sup}_X\, \vert f \vert = \text{sup}_{X\setminus E}\, \vert f \vert

Il nome di "norma infinito" deriva dal fatto che se 1\leq p<\infty e f\in L^p\cap L^\infty, allora

\Vert f \Vert_\infty = \lim_{p\rightarrow +\infty}\Vert f\Vert _p

Generalizzazioni[modifica | modifica wikitesto]

Gli spazi  L^p possono essere definiti anche prendendo come insieme di valori il campo dei numeri complessi. In questo caso lo spazio L^p può essere indicato con  L^p(X,\mathbb C). Una generalizzazione più accentuata considera funzioni a valori in un generico spazio di Banach E. In tal caso, la norma p-esima è definita come

\|f\|_p = \left(\int_X \|f(x)\|^p dx\right)^{\frac{1}{p}}

dove l'integranda è la potenza p-esima della norma dello spazio E. Similmente, si generalizza la norma del sup essenziale.

Lo spazio lp\ell^p[modifica | modifica wikitesto]

Consideriamo lo spazio di misura (\mathbb N,\mathcal P(\mathbb N),\mu), con \mu(A)=\#A la misura del conteggio. Si denota con \ell^p lo spazio L^p associato a tale spazio di misura, ovvero l'insieme delle successioni x = \{\xi_n \} tali che

\| x \|_p = \left( \sum_{n=1}^\infty |\xi_n|^p \right)^{\frac{1}{p}} < \infty

Vi sono tre casi particolarmente importanti:

Lo spazio \ell^p è uno spazio di Banach e, per 1 \leq p < \infty, separabile.

Proprietà degli spazi L^p[modifica | modifica wikitesto]

Nel seguito si espongono le principali proprietà che caratterizzano gli spazi  L^p .

Il caso p = 2[modifica | modifica wikitesto]

Nello spazio  L^2(X,\mathbb C) delle funzioni a quadrato sommabili, la norma è indotta dal prodotto interno:

\langle f , g \rangle = \int_{X} \overline{f(x)}g(x)  dx

e quindi  L^2 è uno spazio di Hilbert. Il caso  p = 2 è molto particolare, dal momento che  L^2 è l'unico spazio di Hilbert tra gli spazi  L^p .

Dualità[modifica | modifica wikitesto]

Se  1<p<\infty allora lo spazio duale continuo di L^p, definito come lo spazio di tutti i funzionali lineari continui, è isomorfo in modo naturale a  L^q , dove q è tale che:

 \frac 1 p + \frac 1 q = 1

Usando la notazione di Dirac, tale isomorfismo canonico associa a f\in L^q il funzionale

 \langle f \vert g \rangle
= \int_X \bar{f}g  \;\mbox{d}\mu

Poiché la relazione  1/p + 1/q = 1 è simmetrica allora  L^p è uno spazio riflessivo: il duale continuo del duale continuo di  L^p , detto spazio biduale, è isometrico a  L^p .

Per  p=1 il duale di  L^1 è isomorfo a  L^\infty nel caso in cui X sia uno spazio \sigma-finito. Non è valido il viceversa: il duale di  L^\infty è uno spazio vettoriale "più grande" di  L^1 e per questo motivo  L^1 non è riflessivo. Ad esempio, sia  f\mapsto \langle f \vert l'immersione canonica di  L^1(\mathbb R) nel duale di  L^\infty(\mathbb R). Osserviamo che l'applicazione  g \mapsto g(0), con  g\in L^\infty, appartiene al duale continuo di  L^\infty . Supponiamo, per assurdo, che esista una funzione  \delta\in L^1 tale che  \langle \delta \vert g \rangle = g(0) per ogni  g\in L^\infty. Notiamo che per ogni  n\geq1

 \langle \delta \vert 1 \rangle = \langle \delta \vert \mathit{1}_{(-1/n,1/n)} \rangle =1

Tuttavia, per il teorema della convergenza dominata

 1=
\lim_{n\rightarrow +\infty}\int_{\mathbb R}\bar\delta(x)\mathit{1}_{(-1/n,1/n)}(x)dx
=0

Si ottiene così un assurdo.

Il duale di  L^\infty(\mu) è uno spazio un po' più difficile da definire. Si dimostra che se  (X, \mathfrak M, \mu) è uno spazio di misura allora il duale di  L^\infty(\mu) è isomorfo allo spazio di tutte le misure finitamente additive e assolutamente continue rispetto a  \mu .

La disuguaglianza di Hölder[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Disuguaglianza di Hölder.

Siano p>1 e p'>1 due esponenti coniugati, ovvero due numeri reali tali che

\frac{1}{p} + \frac{1}{p'} = 1

Se p=1 allora per convenzione p'=\infty. Se f \in L^p e g \in L^{p'} allora f g \in L^1 e[3]

\|fg\|_1 \leq \|f\|_p \|g\|_{p'}

Esplicitando la norma p-esima si ottiene la scrittura equivalente

\int_X fg d\mu \le \left[ \int_X f^p d\mu \right]^{1 \over p} \left[ \int_X g^{p'} d\mu \right]^{1 \over {p'}}

Separabilità[modifica | modifica wikitesto]

Rispetto alla misura di Lebesgue lo spazio L^p(\mathbb R^n), con  1\leq p<\infty, è separabile. Ad esempio, se \mathcal B è una base numerabile di \mathbb R^n allora un suo sottoinsieme numerabile denso è costituito dall'insieme delle funzioni del tipo

s(x)=\sum_{j=i}^{n}a_j\chi_{B_j}(x)

con a_j\in \mathbb Q e B_j\in \mathcal B.

Lo spazio L^\infty non è invece separabile in nessun caso se la cardinalità di X è infinita.

Relazioni di inclusione tra spazi L^p[modifica | modifica wikitesto]

Si può provare, sfruttando la disuguaglianza di Hölder, che se la misura di X è finita allora al crescere di p lo spazio L^p "decresce", ovvero L^p\supset L^q per ogni p<q\leq\infty. Infatti se q=\infty allora

\Vert f\Vert_p^p = \int_X\vert f\vert^pd\mu \leq \Vert f\Vert_\infty^p \int_Xd\mu \leq \Vert f\Vert_\infty^p\mu(X)

mentre se q<+\infty allora per Hölder

\Vert f\Vert_p^p =  \int_{X}1 \cdot \vert f\vert^pd\mu \leq \Vert \,\vert f\vert^p\Vert_{q/p} \Vert 1\Vert_{(q-p)/q} = \Vert f\Vert_q^p\mu(X)^{(q-p)/q}

Per esempio, la funzione

f(x)=\frac{1}{\sqrt x}

appartiene L^p \bigl((0,1)\bigr) per ogni p<2. Segue inoltre, dalle disuguaglianze sopra esibite, che l'inclusione di L^q in L^p è una funzione continua.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ W. Rudin, Pag. 64
  2. ^ W. Rudin, Pag. 65
  3. ^ W. Rudin, Pag. 62

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Walter Rudin, Real and Complex Analysis, Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970, ISBN 0-07-054234-1.
  • Gerald B. Folland, Real Analysis: Modern Techniques and their Applications, New York, John Wiley & Sons Inc., 1999, ISBN 978-0-471-31716-6.
  • H. Brezis, Analisi funzionale - Teoria e applicazioni, Liguori, Napoli, 1990, ISBN 8820715015.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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