Spazio Lp

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In matematica, e più precisamente in analisi funzionale, uno spazio Lp è lo spazio delle funzioni a p-esima potenza sommabile. Si tratta di uno spazio funzionale i cui elementi sono particolari classi di funzioni misurabili.

Lo spazio delle successioni a p-esima potenza sommabile è inoltre detto spazio \ell^p. In particolare, lo spazio l2 delle successioni a quadrato sommabile rappresenta un caso di notevole importanza.

Gli spazi Lp, dove p è un reale maggiore o uguale a 1, sono spazi di Banach. In particolare, lo spazio L2 è anche uno spazio di Hilbert.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Sia  X uno spazio di misura con misura \mu e sia 0 < p < \infty. Sia inoltre  f una funzione misurabile definita su  X e a valori reali o complessi.

Caso finito[modifica | modifica sorgente]

Si definisce norma p-esima o L^p-norma di  f il numero:

\| f \|_p = \left( \int_X |f|^p d \mu \right)^{\frac{1}{p}}

Lo spazio delle funzioni tali che:

\| f \|_p < \infty

è detto L^p(\mu), e le funzioni appartenenti ad esso si dicono a p-esima potenza sommabile.[1]

Il fatto che:

\| f + g \|_p \le \| f \|_p + \| g \|_p

e la chiusura rispetto al prodotto per scalare rendono l'insieme L^p(\mu) uno spazio vettoriale complesso.[2] Segue in particolare che la somma di due o più funzioni p-sommabili è ancora p-sommabile. Poiché la norma risulta essere completa, esso è inoltre uno spazio di Banach.

La L^p-norma eredita la proprietà fondamentale delle norme, pur essendo a rigore una seminorma a causa della presenza di funzioni nulle quasi ovunque. Per eliminare queste funzioni, si identificano due funzioni  f e  g quando la loro differenza  f - g ha norma nulla. L'insieme quoziente rispetto a questa relazione d'equivalenza è ancora uno spazio vettoriale, su cui la seminorma risulta essere una norma a tutti gli effetti. Questo spazio normato è lo spazio L^p(A) .

Caso infinito[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi norma uniforme.

Una norma definita nel seguente modo:

\|f\|_\infty := \inf \{ C\ge 0 : |f(x)| \le C \mbox{ quasi ovunque} \big\},

è detta norma uniforme. La norma uniforme definisce uno spazio di Banach, denotato  L^\infty(A) , i cui elementi sono le funzioni limitate quasi ovunque. Se  A è compatto, tale insieme contiene come sottospazio proprio lo spazio delle funzioni continue.

Si dimostra che la norma uniforme è uguale al limite della norma p di f al tendere di p ad infinito.

Generalizzazioni[modifica | modifica sorgente]

Gli spazi  L^p possono essere definiti anche prendendo come insieme di valori il campo dei numeri complessi. In questo caso lo spazio si indica generalmente con  L^p(A,\mathbb C). Una generalizzazione più accentuata sostituisce agli insiemi numerici considerati un arbitrario spazio di Banach X. In tal caso, la norma p-esima è definita come:

\|f\|_p = \left(\int_A \|f(x)\|^p dx\right)^{\frac{1}{p}}

dove \|\cdot\| è la norma dello spazio X.

Lo spazio lp\ell^p[modifica | modifica sorgente]

La p-norma può essere estesa a vettori di infinite componenti, producendo lo spazio \ell^p delle successioni x = \{\xi_n \} tali che:

\| x \|_p = \left( \sum_{n=1}^\infty |\xi_n|^p \right)^{\frac{1}{p}} < \infty

Vi sono tre casi particolarmente importanti:

Lo spazio \ell^p è poi uno spazio vettoriale, completo e separabile.

Proprietà degli spazi Lp[modifica | modifica sorgente]

Nel seguito si espongono le principali proprietà che caratterizzano gli spazi  L^p .

Il caso p = 2[modifica | modifica sorgente]

Nello spazio  L^2 delle funzioni a quadrato sommabili, la norma è indotta dal prodotto interno:

\langle f , g \rangle = \int_{X} \overline{f(x)} g(x) dx

e quindi uno spazio  L^2(X) è uno spazio di Hilbert. Il complesso coniugato di  f(x) è indicato in riferimento al caso in cui le funzioni sono a valori complessi.

Il caso  p = 2 è molto particolare, dal momento che in uno spazio  L^p con  p diverso da 2 la norma non è mai indotta da un prodotto interno.

Dualità[modifica | modifica sorgente]

Se p è un valore finito e diverso da 1 allora lo spazio duale continuo di L^p, definito come lo spazio di tutti i funzionali lineari continui, è isomorfo in modo naturale a  L^q , dove q è tale che:

 \frac 1 p + \frac 1 q = 1.

L'isomorfismo associa a g\in L^q il funzionale G dato da

 G(f) = \int_A \bar{f} g \;\mbox{d}\mu

Poiché la relazione 1/p + 1/q = 1 è simmetrica,  L^p è uno spazio riflessivo: il duale continuo del duale continuo di  L^p , detto spazio biduale continuo, è naturalmente isomorfo a  L^p .

Per p = 1, il duale di  L^1 è isomorfo a  L^\infty , ma non è valido il viceversa: il duale di  L^\infty è uno spazio vettoriale "più grande" di  L^1 e per questo motivo  L^1 non è riflessivo.

La disuguaglianza di Hölder[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Disuguaglianza di Hölder.

Siano p e p' numeri reali positivi tali che:

\frac{1}{p} + \frac{1}{p'} = 1

Se f \in L^p e g \in L^{p'} allora f \cdot g \in L^1 e si ha:[3]

\|fg\|_1 \leq \|f\|_p \|g\|_{p'}

Esplicitando la norma p-esima si ottiene la scrittura equivalente:

\int_\Omega fg d\mu \le \left[ \int_\Omega f^p d\mu \right]^{1 \over p} \left[ \int_\Omega g^{p'} d\mu \right]^{1 \over {p'}}

Separabilità[modifica | modifica sorgente]

Ogni spazio L^p con 1 ≤ p < ∞ costruito da un aperto dello spazio euclideo è separabile e un suo sottoinsieme denso è costituito dallo spazio generato dalle funzioni semplici su un compatto a coefficienti razionali.

Lo spazio L^\infty non è invece separabile in nessun caso se la cardinalità di A è infinita.

Relazioni di inclusione tra spazi L^p[modifica | modifica sorgente]

Si può vedere che se la misura dell'insieme A è finita, al crescere di p lo spazio L^p "decresce". Per esempio, la funzione

f(x)=\frac{1}{\sqrt x}

è in L^1 (0,2), ma non in L^2 (0,2), poiché il suo quadrato è f(x)=\frac{1}{x}, che non è sommabile in un intorno dello 0. Si dimostra che in questo caso vale appunto che L^q è un sottospazio di L^p per ogni p < q e che la norma di una funzione varia di una quantità dipendente dalla misura dell'insieme.

Questo fatto ci permette di stimare a prima vista se una funzione razionale fratta appartiene o meno ad esempio a L^2: questo è vero, in particolare, se la differenza di grado tra numeratore e denominatore è strettamente maggiore di uno.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ W. Rudin, op. cit., Pag. 64
  2. ^ W. Rudin, op. cit., Pag. 65
  3. ^ W. Rudin, op. cit., Pag. 62

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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