Spazio delle successioni

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In matematica, in particolare in analisi funzionale, lo spazio delle successioni è uno spazio funzionale formato da tutte le successioni reali o complesse. Si tratta dell'insieme delle funzioni definite sull'insieme dei numeri naturali a valori in o .

Definendo una somma, detta puntuale:

e un prodotto per scalari:

lo spazio delle successioni viene dotato della struttura di spazio vettoriale.

Solitamente, vengono studiati appropriati sottospazi dello spazio di tutte le successioni. Un caso importante è dato dagli spazi lp, solitamente denotati con , cioè gli spazi delle successioni tali che:

Essi infatti risultano essere spazi di Banach per . Due sottocasi importanti del precedente sono lo spazio delle successioni limitate e lo spazio delle successioni , che è uno spazio di Hilbert.

Un sottospazio vettoriale di è lo spazio c delle successioni convergenti, formato da tutti gli tali che esiste. Si tratta di uno spazio chiuso rispetto alla norma , ed è pertanto uno spazio di Banach. Lo spazio c0 delle successioni convergenti a zero è un sottospazio chiuso di c, e dunque anch'esso uno spazio di Banach.

Spazi ℓp[modifica | modifica wikitesto]

Per , è il sottospazio di formato dalle successioni tali che:

Se allora l'operazione definita da:

definisce una norma su . Lo spazio è uno spazio metrico completo rispetto a tale norma, e dunque è uno spazio di Banach.

Se lo spazio non è munito di una norma, ma è caratterizzato da una distanza:

Se allora è lo spazio di tutte le successioni limitate. Rispetto alla norma:

è anche uno spazio di Banach.

Lo spazio ℓ2[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Spazio l2.

Si definisce spazio lo spazio delle successioni reali o complesse definito nel modo seguente:

Lo spazio è uno spazio vettoriale. Inoltre è uno spazio metrico se definiamo la distanza come:

La dimostrazione è fatta utilizzando la disuguaglianza di Minkowski e la disuguaglianza di Hölder. Inoltre è uno spazio che ammette sottoinsiemi numerabili densi e ciò ci dice che è anche separabile.

I sottospazi c e c0[modifica | modifica wikitesto]

Lo spazio c è lo spazio vettoriale formato da tutte le successioni convergenti di numeri reali o complessi.

Definendo una norma uniforme:

lo spazio c diventa uno spazio di Banach. Si tratta di un sottospazio vettoriale chiuso dello spazio delle successioni limitate , e contiene a sua volta (come suo sottospazio chiuso) lo spazio di Banach c0 delle successioni che convergono a zero.

Lo spazio duale c* di c è isometricamente isomorfo a , come lo è il duale c*0 di c0. In particolare, né cc0 sono riflessivi. L'isomorfismo di con c* è dato dal fatto che se allora l'accoppiamento con un elemento di c è dato da:

Si tratta di una versione del teorema di rappresentazione di Riesz. Per c0 l'accoppiamento tra e in c0 è invece definito da:

Spazio delle serie limitate[modifica | modifica wikitesto]

Lo spazio delle serie limitate, denotato con bs, è lo spazio delle successioni tali che:

Definendo la norma:

lo spazio bs è uno spazio di Banach isometricamente isomorfo a mediante la corrispondenza lineare:

Il sottospazio cs è composto da tutte le serie convergenti. Lo spazio Φ o c00 è inoltre definito come lo spazio delle successioni infinite che possiedono un numero finito di termini non nulli (a supporto finito).

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

  • Lo spazio delle successioni convergenti:
  • Lo spazio delle successioni infinitesime , un sottocaso del precedente che si ottiene con .
  • Lo spazio delle funzioni a supporto finito (cioè non nulle solo per un numero finito di indici).
  • Lo spazio di Baire delle successioni di numeri naturali.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • H.R. Pitt, A note on bilinear forms, in J. London Math. Soc., vol. 11, nº 3, 1936, pp. 174–180, DOI:10.1112/jlms/s1-11.3.174.
  • J. Schur, Über lineare Transformationen in der Theorie der unendlichen Reihen, in Journal für die reine und angewandte Mathematik, vol. 151, 1921, pp. 79–111.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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