Supporto (matematica)

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In matematica, il supporto o sostegno di una funzione è il sottoinsieme dei punti del dominio dove la funzione non si annulla. Se il dominio è uno spazio topologico e la funzione è continua, allora è conveniente definire il supporto come la chiusura dell'insieme dei punti del dominio dove la funzione non si annulla.

Nel caso di una curva, il supporto è definito come l'immagine della parametrizzazione della curva.

Nel caso di una misura su uno spazio misurabile , il supporto è definito come la chiusura del sottoinsieme di i cui punti hanno la proprietà che ogni loro intorno ha misura positiva.

Funzioni[modifica | modifica wikitesto]

Sia uno spazio topologico, e uno spazio vettoriale. Sia:

Si definisce supporto di l'insieme:[1]

Di particolare importanza in analisi sono le funzioni a supporto compatto.

Teoria della misura[modifica | modifica wikitesto]

Il supporto di una misura su uno spazio misurabile è la chiusura del sottoinsieme di i cui punti hanno la proprietà che ogni loro intorno ha misura positiva.

Sia uno spazio misurabile (con misura non negativa), allora:

Curve[modifica | modifica wikitesto]

Il supporto di una curva è definito come l'immagine della parametrizzazione della curva. Sia la parametrizzazione di una curva:

allora il suo supporto è l'immagine di , cioè l'insieme:

Si nota che per descrivere la curva non basta solo il suo supporto. Infatti, ad esempio, la curva e la curva hanno lo stesso supporto, ma la prima è semplice e chiusa, la seconda no.

Supporto singolare[modifica | modifica wikitesto]

Nell'analisi di Fourier, il supporto singolare di una distribuzione è intuitivamente definito come l'insieme dei punti in cui la distribuzione non è una funzione liscia. Per esempio, la trasformata di Fourier della funzione gradino di Heaviside può essere vista come la funzione eccetto per il punto . Nello specifico, essa ha la forma:

La trasformata possiede quindi un supporto singolare e non può essere espressa come una funzione, ma come la distribuzione (temperata) che associa alla funzione di test il valore principale di Cauchy di:

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ W. Rudin, pag. 36.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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