Supporto (matematica)

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In matematica, il supporto o sostegno di una funzione è la chiusura dell'insieme dei punti del dominio dove la funzione non si annulla.

Nel caso di una curva, il supporto è definito come l'immagine della parametrizzazione della curva.

Nel caso di una misura su uno spazio misurabile , il supporto è definito come la chiusura del sottoinsieme di i cui punti hanno la proprietà che ogni loro intorno ha misura positiva.

Funzioni[modifica | modifica wikitesto]

Sia uno spazio topologico, e uno spazio vettoriale. Sia:

Si definisce supporto di l'insieme:[1]

Di particolare importanza in analisi sono le funzioni a supporto compatto.

Teoria della misura[modifica | modifica wikitesto]

Il supporto di una misura su uno spazio misurabile è la chiusura del sottoinsieme di i cui punti hanno la proprietà che ogni loro intorno ha misura positiva.

Sia uno spazio misurabile (con misura non negativa), allora:

Curve[modifica | modifica wikitesto]

Il supporto di una curva è definito come l'immagine della parametrizzazione della curva. Sia la parametrizzazione di una curva:

allora il suo supporto è l'insieme:

oppure, un po' meno formalmente, ma più immediato:

Si nota che per descrivere la curva non basta solo la sua parametrizzazione (o solo il suo supporto), ma necessariamente entrambi: a titolo di esempio, la curva e la curva hanno lo stesso supporto, ma la prima è chiusa e la seconda no.

Supporto singolare[modifica | modifica wikitesto]

Nell'analisi di Fourier, il supporto singolare di una distribuzione è intuitivamente definito come l'insieme dei punti in cui la distribuzione non è una funzione liscia. Per esempio, la trasformata di Fourier della funzione gradino di Heaviside può essere vista come la funzione eccetto per il punto . Nello specifico, essa ha la forma:

La trasformata possiede quindi un supporto singolare e non può essere espressa come una funzione, ma come la distribuzione (temperata) che associa alla funzione di test il valore principale di Cauchy di:

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ W. Rudin, Pag. 36

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Walter Rudin, Real and Complex Analysis, Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970, ISBN 0-07-054234-1.
  • (EN) Gerald B. Folland, Real Analysis, 2nd ed., New York, John Wiley, 1999, p. 132.
  • (EN) Lars Hörmander, Linear Partial Differential Equations I, 2nd ed., Berlin, Springer-Verlag, 1990, p. 14.
  • (EN) Andrea Pascucci, PDE and Martingale Methods in Option Pricing, Berlin, Springer-Verlag, 2011, p. 678, DOI:10.1007/978-88-470-1781-8, ISBN 978-88-470-1780-1.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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