Funzione gradino di Heaviside

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La funzione gradino di Heaviside, usando la convenzione della metà del massimo

In matematica e fisica, la funzione gradino di Heaviside o funzione a gradino unitaria, il cui nome si deve a Oliver Heaviside, è una funzione discontinua che ha valore zero per argomenti negativi e uno per argomenti positivi. Può essere definita sia come una funzione continua a tratti o come una distribuzione.

La derivata distribuzionale della funzione di Heaviside è il delta di Dirac :

mentre la funzione rampa ne è la primitiva:

La funzione a gradino è usata nella matematica della teoria del controllo e nell'elaborazione dei segnali per rappresentare un segnale che si attiva a partire da un tempo specificato e rimane attivo indefinitamente.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Si indica con:

Spesso, in luogo di , si usano le notazioni , o , o ancora, con abuso di notazione, .

Se viene definita come una distribuzione, è la funzione tale per cui:

dove è la derivata di una funzione sufficientemente liscia che decresce all'infinito con andamento sufficientemente rapido.

Una rappresentazione integrale della funzione gradino è la seguente:

Si tratta della funzione di ripartizione di una variabile casuale che è quasi sicuramente 0 (vedi variabile casuale degenere).

La funzione di Heaviside è l'integrale della delta di Dirac:

Il valore di è occasionalmente un valore discusso. Alcuni scrittori assumono = 0, altri = 1. = 1/2 rimane comunque la scelta più utilizzata, perché permette di ridefinire la funzione di Heaviside attraverso la funzione segno. Questo ne dà una definizione più generale:

Per rimuovere l'ambiguità sul valore di da utilizzare, si può scrivere un pedice che lo specifica:

Tuttavia la stessa notazione è usata per indicare un gradino ritardato:

Forma discreta[modifica | modifica wikitesto]

Si può anche definire una forma alternativa del gradino unitario come funzione di una variabile discreta n:

dove n è intera. Questa funzione è la somma fino a n della delta di Kronecker:

dove:

è la delta di Dirac.

Trasformata di Fourier[modifica | modifica wikitesto]

Un altro modo per scrivere il gradino di Heaviside è:

la cui trasformata di Fourier è:

con la delta di Dirac. Cioè lo spettro in frequenza del gradino di Heaviside è eccetto che in , dove è presente una singolarità in cui è concentrato lo spettro.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, 1972.
  • (EN) Bracewell, R. "Heaviside's Unit Step Function, H(x)." The Fourier Transform and Its Applications, 3rd ed. New York: McGraw-Hill, pp. 61-65, 2000.
  • (EN) Kanwal, R. P. Generalized Functions: Theory and Technique, 2nd ed. Boston, MA: Birkhäuser, 1998.
  • (EN) Spanier, J. and Oldham, K. B. "The Unit-Step u(x-a) and Related Functions." Ch. 8 in An Atlas of Functions. Washington, DC: Hemisphere, pp. 63-69, 1987.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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