Funzione definita a tratti

In matematica una funzione definita a tratti (o semplicemente funzione a tratti) è una funzione definita da varie sottofunzioni, ciascuna delle quali è definita su un certo sottodominio, cioè su un sottoinsieme del dominio della funzione definita a tratti. Questi sottodomini formano una partizione del dominio della funzione definita a tratti.

Notazione

Si consideri, ad esempio, la funzione valore assoluto:

$|x|={\begin{cases}-x,&{\text{se }}x<0,\\x,&{\text{se }}x\geq 0.\end{cases}}$

La funzione è definita dalle sottofunzioni ${\textstyle -x}$ e ${\textstyle x}$, negli intervalli ${\textstyle (-\infty ,0)}$ e ${\textstyle [0,\infty )}$ rispettivamente.

Continuità

Una funzione definita a tratti è continua su un dato intervallo se rispetta le seguenti condizioni:

Una funzione a tratti composta da funzioni quadratiche diverse ai due lati del punto ${\textstyle x_{0}}$

• la funzione è definita su tutto l'intervallo;
• le sottofunzioni sono continue nei sottodomini;
• non ci sono discontinuità nella frontiera di ciascun sottodominio.

La funzione in figura, ad esempio, è continua nei sottointervalli $(-\infty ,x_{0})$ e $[x_{0},+\infty )$ in cui è definita a tratti, ma non è continua nell'intero dominio, dato che contiene un punto di discontinuità a salto: il punto $x_{0}$.

Esempi

Le seguenti funzioni sono definite a tratti:

• funzioni a gradino, funzioni definite da sottofunzioni costanti;
  • funzione gradino di Heaviside;
  • funzione segno;
• funzioni lineari a tratti, definite da sottofunzioni lineari;
  • valore assoluto;
• funzione spline, funzione costituita da un insieme di polinomi raccordati tra loro, il cui scopo è interpolare in un intervallo un insieme di punti, in modo tale che la funzione sia continua almeno fino ad un dato ordine di derivate in ogni punto dell'intervallo.

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Funzione definita a tratti, in MathWorld, Wolfram Research.