Spazio di Schwartz

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

In matematica, lo spazio di Schwartz o spazio delle funzioni a decrescenza rapida è lo spazio funzionale delle funzioni lisce le cui derivate (e le funzioni stesse) decrescono più velocemente di un polinomio.

Indicato con , lo spazio di Schwartz è caratterizzato dall'importante fatto che su di esso la trasformata di Fourier è un endomorfismo. Grazie a questa proprietà è possibile definire la trasformata di Fourier sugli elementi nello spazio duale di , che è lo spazio delle distribuzioni temperate.

Lo spazio di Schwartz prende il nome del matematico Laurent Schwartz.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Data una funzione , si definisca la norma:

dove e sono multiindici, e:

Lo spazio di Schwartz su è lo spazio funzionale:[1]

dove è lo spazio delle funzioni con tutte le derivate continue da a .

Ad esempio, se i è un multiindice e è un numero reale positivo, allora appartiene allo spazio di Schwartz. Anche ogni funzione con supporto compatto appartiene a . Questo è evidente per la continuità di ogni derivata, quindi ha un massimo in .

Lo spazio duale di è lo spazio delle distribuzioni temperate.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

  • è uno spazio vettoriale complesso, cioè chiuso rispetto a somma e moltiplicazione per scalari complessi.
  • Usando la regola di Leibniz, segue che è chiuso anche sotto moltiplicazione; se , allora appartiene ancora a .
  • Per ogni , si ha che dove rappresenta lo spazio Lp su . Le funzioni in sono anche funzioni limitate.
  • è denso in perché per esempio la base hilbertiana di con i polinomi di Hermite appartiene a .

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Reed, Simon, Pag. 133
  2. ^ Reed, Simon, Pag. 319

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2ª ed., San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0-12-585050-6.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

Matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica