Funzione segno

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funzione segno

In matematica e in informatica, la funzione segno è una funzione logica che estrae il segno di un numero reale. Per evitare confusioni con la funzione seno, questa funzione è spesso chiamata funzione signum. La funzione segno è spesso rappresentata con sgn, e può essere definita come segue:

 \sgn x = \left\{ \begin{matrix} 
-1 & : &  x < 0 \\
0 & : &  x = 0 \\
1 & : &  x > 0 \end{matrix} \right.

o usando la notazione di Iverson:

\ \sgn x = -[x < 0] + [x > 0]

Ogni numero reale può venire espresso come prodotto del suo valore assoluto e della sua funzione segno:

 x = ( \sgn x ) |x|. \qquad \qquad (1)

Dall'equazione (1) segue che per x\neq0 si ha

 \sgn x = {x \over |x|} \qquad \qquad (2)

Dunque potremmo anche dare un'ulteriore definizione alternativa alla funzione segno col seguente modello:

 \sgn x = \left\{ \begin{matrix} 
{x \over |x|} & : &  x\neq0 \\
0 & : &  altrimenti \end{matrix} \right.

La funzione segno è la derivata della funzione valore assoluto (a meno della singolarità in 0):

 {d |x| \over dx} =  {x \over |x|}.

La funzione segno è differenziabile con derivata 0 ovunque eccetto in 0. Non è differenziabile in 0 nel senso ordinario, ma sotto una nozione generalizzata di differenziabilità (cf. distribuzione) possiamo dire che la derivata della funzione segno è il doppio della delta di Dirac:

 {d\,\sgn x \over dx} = 2 \delta (x).

La funzione segno ha a che fare con la funzione gradino di Heaviside h1/2(x):

 \sgn x = 2 h_{1/2}(x) - 1,

dove il pedice 1/2 della funzione gradino significa h1/2(0) = ½

La funzione segno può essere generalizzata ai numeri complessi come

\sgn z = \frac z{|z|}

per ogni z\in\mathbb{C}\setminus\{0\}.

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