Disuguaglianza triangolare

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Rappresentazione grafica della disuguaglianza triangolare: la somma dei lati x e y è sempre maggiore del lato z. Nel caso in cui il triangolo sia quasi degenere, questa somma si avvicina alla lunghezza di z

In matematica, la disuguaglianza triangolare afferma che, in un triangolo, la somma delle lunghezze di due lati è maggiore della lunghezza del terzo.[1] Una sua conseguenza, la disuguaglianza triangolare inversa, afferma invece che la differenza tra le lunghezze dei due lati è minore della lunghezza del rimanente.

Nel contesto della geometria euclidea, la disuguaglianza triangolare è un teorema, conseguenza del teorema del coseno, e, nel caso di triangoli rettangoli, conseguenza del teorema di Pitagora. Essa può essere usata per dimostrare che il percorso più breve tra due punti è il segmento rettilineo che li congiunge.

Nell'ambito degli spazi normati e degli spazi metrici, la disuguaglianza triangolare è una proprietà che ogni norma o distanza deve possedere per essere considerata tale.[2][3]

Geometria euclidea[modifica | modifica wikitesto]

Costruzione di Euclide per la dimostrazione della disuguaglianza triangolare

Euclide dimostrò la disuguaglianza triangolare usando la costruzione in figura. Iniziando con un triangolo , si costruisce un triangolo isoscele prendendo il lato e un segmento della stessa lunghezza lungo il lato . Poiché l'angolo è maggiore dell'angolo , per i corrispondenti lati opposti vale la stessa disuguaglianza: quindi . Ma poiché , si ha che , ovvero la disuguaglianza cercata. Questa dimostrazione compare negli Elementi di Euclide, libro 1, proposizione 20.[4] Nel 1752, la proposizione euclidea è oggetto di una dissertazione di Tommaso Maria Gabrini, che ne conferma la tesi.[5]

Nel caso di triangolo rettangoli, la disuguaglianza afferma che la somma dei due cateti è maggiore dell'ipotenusa, mentre la differenza è minore di essa.

Generalizzazione ad un poligono qualsiasi[modifica | modifica wikitesto]

La disuguaglianza triangolare può essere estesa, tramite induzione matematica, ad un poligono con un numero qualsiasi di lati. In questo caso, essa afferma che la lunghezza di un lato è minore della somma di tutti i rimanenti.

Relazione con il percorso più breve tra due punti[modifica | modifica wikitesto]

Approssimazione di una curva tramite spezzate

La disuguaglianza triangolare può essere usata per provare che la distanza più breve tra due punti è realizzata dal segmento rettilineo che li congiunge.

Nella sua forma per poligoni generali, essa già prova che ogni percorso lungo una linea spezzata è più lungo di quello lungo il segmento rettilineo che conginunge i due punti. Poiché la lunghezza di una curva qualsiasi è definita come l'estremo superiore della lunghezza delle spezzate che approssimano la curva, si ha che essa è più lunga proprio di queste spezzate, e quindi anche del segmento rettilineo tra i due punti.

Spazi metrici[modifica | modifica wikitesto]

Nell'ambito degli spazi metrici, la disuguaglianza triangolare è una proprietà che deve soddisfare una distanza per essere tale. Essa afferma che, in uno spazio metrico , comunque si scelgano tre punti , e , vale che:

[2]

La disuguaglianza triangolare è responsabile di molte proprietà interessanti delle metriche, tra cui quelle riguardanti la convergenza: è grazie ad essa che si può dimostrare che ogni successione convergente in uno spazio metrico è una successione di Cauchy.[6]

Spazi normati[modifica | modifica wikitesto]

Disuguaglianza triangolare per vettori normati: la norma di x+y è minore della somma delle norme di x e y.

Nell'ambito degli spazi normati, ogni norma deve soddisfare la disuguaglianza triangolare per essere tale. Quindi, considerato uno spazio vettoriale normato , comunque si scelgano due vettori e deve valere che

ovvero la norma della somma di due vettori è minore o uguale della somma delle loro norme.[3]

Grazie a tale proprietà, ponendo per ogni e

la funzione è una metrica, detta metrica indotta dalla norma.[3] Vale infatti la disuguaglianza triangolare:

Valore assoluto[modifica | modifica wikitesto]

Il valore assoluto è una norma per i numeri reali, e quindi soddisfa la disuguaglianza triangolare. Infatti, poiché valgono le seguenti relazioni per ogni e :

e

sommando membro a membro si ottiene

da cui la disuguaglianza triangolare (applicando una delle proprietà del valore assoluto)

Più precisamente,

  • se e sono di segno discorde, allora
  • se sono entrambi concordi nel segno .

Norma indotta da un prodotto scalare[modifica | modifica wikitesto]

Se su uno spazio è definito un prodotto scalare , è possibile definire la norma indotta da esso:

Come conseguenza della disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, essa soddisfa la disuguaglianza triangolare:

(Usando la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz)

da cui, estraendo la radice:

[7]

Disuguaglianza triangolare inversa[modifica | modifica wikitesto]

La disuguaglianza triangolare inversa è una immediata conseguenza della disuguaglianza triangolare, che dà un limite dal basso invece che dall'alto. Nell'ambito della geometria euclidea essa afferma che ogni lato è maggiore della differenza degli altri due.

Nel caso di spazi normati, essa afferma che:

Nel caso di spazi metrici, invece:

Questa proprietà implica che sia la funzione norma che la funzione distanza da un punto sono funzioni di Lipschitz con costante di Lipschitz uguale a 1.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Khamsi, Williams, p.8
  2. ^ a b Soardi, P.M., p. 47
  3. ^ a b c Soardi, P.M., p. 76
  4. ^ David E. Joyce, Euclid's elements, Book 1, Proposition 20, su Euclid's elements, Dept. Math and Computer Science, Clark University, 1997. URL consultato il 15 febbraio 2013.
  5. ^ Tommaso Maria Gabrini, Dissertazione sopra la proposizione ventesima del libro primo d'Euclide, In Pesaro, nella stamperia Gavelliana, 1752. URL consultato il 13 giugno 2015.
  6. ^ Soardi, P.M., p. 114
  7. ^ Lang, Serge, pp. 22-24

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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