Disuguaglianza triangolare

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Rappresentazione grafica della disuguaglianza triangolare: la somma dei lati x e y è sempre maggiore del lato z. Nel caso in cui il triangolo sia quasi degenere, questa somma si avvicina alla lunghezza di z

In matematica, la disuguaglianza triangolare afferma che, in un triangolo, la somma delle lunghezze di due lati è maggiore della lunghezza del terzo.[1] Una sua conseguenza, la disuguaglianza triangolare inversa, afferma invece che la differenza tra le lunghezze dei due lati è minore della lunghezza del rimanente.

Nel contesto della geometria euclidea, la disuguaglianza triangolare è un teorema, conseguenza del teorema del coseno, e, nel caso di triangoli rettangoli, conseguenza del teorema di Pitagora. Essa può essere usata per dimostrare che il percorso più breve tra due punti è il segmento rettilineo che li congiunge.

Nell'ambito degli spazi normati e degli spazi metrici, la disuguaglianza triangolare è una proprietà che ogni norma o distanza deve possedere per essere considerata tale.[2][3]

Geometria euclidea[modifica | modifica wikitesto]

Costruzione di Euclide per la dimostrazione della disuguaglianza triangolare

Euclide dimostrò la disuguaglianza triangolare usando la costruzione in figura. Iniziando con un triangolo ADC, si costruisce un triangolo isoscele prendendo il lato BC e un segmento BD della stessa lunghezza lungo il lato AD. Poiché l'angolo β è maggiore dell'angolo α, per i corrispondenti lati opposti vale la stessa disuguaglianza: quindi AD > AC. Ma poiché AD=AB+BD=AB+BC, si ha che AB+BC>AC, ovvero la disuguaglianza cercata. Questa dimostrazione compare negli Elementi di Euclide, libro 1, proposizione 20.[4]

Nel caso di triangolo rettangoli, la disuguaglianza afferma che la somma dei due cateti è maggiore dell'ipotenusa, mentre la differenza è minore di essa.

Generalizzazione ad un poligono qualsiasi[modifica | modifica wikitesto]

La disuguaglianza triangolare può essere estesa, tramite induzione matematica, ad un poligono con un numero qualsiasi di lati. In questo caso, essa afferma che la lunghezza di un lato è minore della somma di tutti i rimanenti.

Relazione con il percorso più breve tra due punti[modifica | modifica wikitesto]

Approssimazione di una curva tramite spezzate

La disuguaglianza triangolare può essere usata per provare che la distanza più breve tra due punti è realizzata dal segmento rettilineo che li congiunge.

Nella sua forma per poligoni generali, essa già prova che ogni percorso lungo una linea spezzata è più lungo di quello lungo il segmento rettilineo che conginunge i due punti. Poiché la lunghezza di una curva qualsiasi è definita come l'estremo superiore della lunghezza delle spezzate che approssimano la curva, si ha che essa è più lunga proprio di queste spezzate, e quindi anche del segmento rettilineo tra i due punti.

Spazi metrici[modifica | modifica wikitesto]

Nell'ambito degli spazi metrici, la disuguaglianza triangolare è una proprietà che deve soddisfare una distanza per essere tale. Essa afferma che, in uno spazio metrico (X,d), comunque si scelgano tre punti x, y e z, vale che:

d(x,\ z) \le d(x,\ y) + d(y,\ z).[2]

La disuguaglianza triangolare è responsabile di molte proprietà interessanti delle metriche, tra cui quelle riguardanti la convergenza: è grazie ad essa che si può dimostrare che ogni successione convergente in uno spazio metrico è una successione di Cauchy.[5]

Spazi normati[modifica | modifica wikitesto]

Disuguaglianza triangolare per vettori normati: la norma di x+y è minore della somma delle norme di x e y.

Nell'ambito degli spazi normati, ogni norma deve soddisfare la disuguaglianza triangolare per essere tale. Quindi, considerato uno spazio vettoriale normato V, comunque si scelgano due vettori x, y, deve valere che

\displaystyle \|x + y\| \leq \|x\| + \|y\|,

ovvero la norma della somma di due vettori è minore o uguale della somma delle loro norme.[3]

Grazie a tale proprietà, ponendo per ogni x e y

d(x,\ y) := \|x-y\|

la funzione d è una metrica, detta metrica indotta dalla norma.[3] Vale infatti la disuguaglianza triangolare:

d(x,\ z) + d(z,\ y) = \|x-z\| + \|z-y\| \geq \|x-z+z-y\| = \|x-y\| = d(x,\ y)

Valore assoluto[modifica | modifica wikitesto]

Il valore assoluto è una norma per i numeri reali, e quindi soddisfa la disuguaglianza triangolare. Infatti, poiché valgono le seguenti relazioni per ogni x e y:

-|x| \leq x \leq |x| e -|y| \leq y \leq |y|

sommando membro a membro si ottiene

-(|x|+|y|) \leq x+y \leq |x| + |y|

da cui la disuguaglianza triangolare (applicando una delle proprietà del valore assoluto)

|x+y| \leq |x| + |y|.

Più precisamente,

  • se x e y sono di segno discorde, allora |x+y|<|x|+|y|
  • se sono entrambi concordi nel segno |x+y|=|x|+|y|.

Norma indotta da un prodotto scalare[modifica | modifica wikitesto]

Se su uno spazio è definito un prodotto scalare \langle\cdot,\cdot\rangle, è possibile definire la norma indotta da esso:

\|x\|:=\sqrt{\langle x,\ x \rangle}.

Come conseguenza della disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, essa soddisfa la disuguaglianza triangolare:

\|x + y\|^2 = \langle x + y, x + y \rangle
= \|x\|^2 + \langle x, y \rangle + \langle y, x \rangle + \|y\|^2
\le \|x\|^2 + 2|\langle x, y \rangle| + \|y\|^2
\le \|x\|^2 + 2\|x\|\|y\| + \|y\|^2 (Usando la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz)
=  \left(\|x\| + \|y\|\right)^2

da cui, estraendo la radice:

\|x+y\| \leq \|x\| + \|y\|.[6]

Disuguaglianza triangolare inversa[modifica | modifica wikitesto]

La disuguaglianza triangolare inversa è una immediata conseguenza della disuguaglianza triangolare, che dà un limite dal basso invece che dall'alto. Nell'ambito della geometria euclidea essa afferma che ogni lato è maggiore della differenza degli altri due.

Nel caso di spazi normati, essa afferma che:

|\|x\|-\|y\|| \leq \|x-y\|,

Nel caso di spazi metrici, invece:

|d(y,\ x) - d(x,\ z)| \leq d(y,\ z)

Questa proprietà implica che sia la funzione norma f(x)=\|x\| che la funzione distanza da un punto f(x)=d(y,\ x) sono funzioni di Lipschitz con costante di Lipschitz pari a 1.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Khamsi, Williams, p.8
  2. ^ a b Soardi, P.M., p. 47
  3. ^ a b c Soardi, P.M., p. 76
  4. ^ David E. Joyce, Euclid's elements, Book 1, Proposition 20 su Euclid's elements, Dept. Math and Computer Science, Clark University, 1997. URL consultato il 15 febbraio 2013.
  5. ^ Soardi, P.M., p. 114
  6. ^ Lang, Serge, pp. 22-24

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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