Integrale di linea di prima specie

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1leftarrow blue.svgVoce principale: Integrale di linea.

Integrale di linea di una funzione di due variabili.

In analisi matematica e calcolo integrale, un integrale di linea di prima specie è un integrale di una funzione reale o complessa di una o più variabili reali, cioè di un campo scalare, lungo una curva.

Per le funzioni reali di una variabile (reale o complessa), la definizione e il calcolo coincidono con quella di integrale definito e integrale complesso. Nel seguito si espone il caso di integrazione curvilinea di funzioni reali di due o tre variabili, con immediate estensioni ad un numero qualsiasi di variabili.

L'analogo integrale di funzioni vettoriali è l'integrale di linea di seconda specie.

La curva regolare[modifica | modifica wikitesto]

Magnifying glass icon mgx2.svgLo stesso argomento in dettaglio: Curva nello spazio.

Una curva, in forma parametrica, è una funzione vettoriale di una sola variabile del tipo:

Si può scrivere anche:

La variabile si chiama parametro. Una curva è una funzione di classe in un intervallo se le funzioni , e hanno derivate continue in tale intervallo. Una curva si dice regolare in un punto se:

e regolare in se ciò vale in ogni punto di . Un punto in cui si abbia si dice punto singolare per la curva.

Una curva nello spazio si dice semplice se non si interseca con se stessa, ovvero se per ogni si ha . La regolarità della curva permette di definire la retta tangente alla curva, che è la retta parallela al vettore:

Tale vettore è detto vettore tangente di lunghezza , ed è indicato pure con . Il versore tangente è inoltre il vettore di lunghezza unitaria:

Data la rappresentazione parametrica della curva regolare, è possibile anche calcolarne la lunghezza:

Il calcolo dell'integrale[modifica | modifica wikitesto]

Se si ha una funzione di tre variabili e una curva definita in con rappresentazione parametrica :

con , si definisce nel modo seguente l'integrale della funzione lungo la curva. Si consideri una partizione qualsiasi , a cui si associano i punti . Tali punti dividono la curva in tanti archi . In corrispondenza di ognuno di tali archi si sceglie un generico punto appartenente all'arco i-esimo e si costruiscono le somme integrali:

dove la è la lunghezza definita precedentemente. Se esiste il limite per delle somme integrali, cioè per ogni intervallo che diventa infinitesimo (ovvero, equivalentemente, per ), allora il valore di tale limite si chiama integrale curvilineo di prima specie della funzione lungo la curva e lo si indica solitamente con:

Se la curva è regolare allora è l'elemento infinitesimo di lunghezza come nella definizione di lunghezza della curva, e si può esplicitare l'integrale:

dove significa esprimere la funzione in termini della parametrizzazione data in precedenza.

Nel caso in cui la curva è piana la funzione non dipende dalla variabile e allora la precedente relazione si trasforma:

L'integrale di linea così descritto è indipendente dalla rappresentazione parametrica (e non dipende dalla scelta dei punti né dalla partizione scelta per il calcolo del limite delle somme integrali). A differenza degli integrali di seconda specie (che riguardano i campi vettoriali) questo tipo di integrale non dipende nemmeno dall'orientazione della curva. Banalmente, se la funzione il calcolo di questo integrale curvilineo si riconduce al calcolo della lunghezza della curva.

Proprietà dell'integrale di prima specie[modifica | modifica wikitesto]

Valgono le proprietà tipiche degli integrali: linearità, additività e monotonia.

Si ha inoltre:

Applicazioni geometriche e fisiche[modifica | modifica wikitesto]

Una proprietà usata in fisica e in geometria è il calcolo del baricentro di una curva (che può essere materiale): esso è definito dal calcolo dalle coordinate:

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Krantz, S. G. The Complex Line Integral. §2.1.6 in Handbook of Complex Variables. Boston, MA: Birkhäuser, p. 22, 1999.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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