Teorema del coseno

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In geometria, il teorema del coseno esprime una relazione tra la lunghezza dei lati di un triangolo e il coseno di uno dei suoi angoli. Può essere considerato una generalizzazione del teorema di Pitagora al caso di triangoli non rettangoli. Questo teorema, dimostrato già dal persiano Al-Kashi, è noto anche, specialmente in Francia, come teorema di Al-Kashi o anche, specialmente in Italia, come teorema di Carnot, dal nome del matematico francese Lazare Carnot, anche se in realtà il teorema è stato reso popolare dal francese François Viète.

Il teorema[modifica | modifica wikitesto]

Triangolo con vertici, altezza e un angolo.png

Ci si riferisce alla figura a lato: siamo interessati a trovare la lunghezza di un lato di un qualsiasi triangolo, essendo note le lunghezze degli altri due lati e l'ampiezza dell'angolo tra essi compreso. Si ha:

Dimostrazione con il teorema di Pitagora[modifica | modifica wikitesto]

Con riferimento alla figura, applicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo AHB, si ha:

dove indica la lunghezza (non orientata) del segmento .

Risolvendo il triangolo rettangolo AHC abbiamo anche:

Vale inoltre

Sostituendo nella prima uguaglianza si ottiene:

.

Per la relazione fondamentale sin²γ+cos²γ=1, questa equazione può essere semplificata in:

Nel caso di un triangolo rettangolo, ovvero con γ=90°, il quarto termine è nullo e ritroviamo il teorema di Pitagora, mentre se il triangolo è ottusangolo (γ>90°) la dimostrazione procede allo stesso modo, con la principale differenza che in questo caso:

e quindi si trova nuovamente

Dimostrazione con vettori[modifica | modifica wikitesto]

Si considerino i vettori:

Possiamo quindi scrivere che:

Calcolando il modulo quadro di ambo i membri otteniamo:

,

dove è il prodotto scalare tra e . Usando infine il fatto che otteniamo

.

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