Costanti trigonometriche esatte

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

Con il termine costanti trigonometriche esatte si indicano espressioni riguardanti valori o combinazioni di valori di funzioni trigonometriche costruite a partire da numeri interi con le operazioni razionali e le operazioni di estrazione di radice. Queste espressioni numeriche sono utilizzate principalmente per semplificare le soluzioni di problemi geometrici fornite mediante radicali.

Tutti i valori delle funzioni sin, cos e tan di angoli multipli di 3° sono ottenibili servendosi delle identità di bisezione, duplicazione, addizione/sottrazione e dei valori corrispondenti agli angoli di 0°, 30°, 36° e 45°. Si ricorda che 1° = π/180 radianti.

Tavola delle espressioni[modifica | modifica wikitesto]

I valori relativi ad angoli non contenuti nell'intervallo [0° ... 45°] si possono ricavare da quelli qui forniti mediante semplici osservazioni sulla circonferenza di raggio 1 e sugli effetti di opportune rotazioni e riflessioni.

0° - valori fondamentali[modifica | modifica wikitesto]

3° - Esacontagono (60 lati)[modifica | modifica wikitesto]

6° - Triacontagono (30 lati)[modifica | modifica wikitesto]

9° - Icosagono (20 lati)[modifica | modifica wikitesto]

12° - Pentadecagono (15 lati)[modifica | modifica wikitesto]

15° - Dodecagono (12 lati)[modifica | modifica wikitesto]

18° - Decagono (10 lati)[modifica | modifica wikitesto]

21° = 9° + 12°[modifica | modifica wikitesto]

22.5° - Ottagono (8 lati)[modifica | modifica wikitesto]

24° = 12° + 12°[modifica | modifica wikitesto]

27° = 12° + 15°[modifica | modifica wikitesto]

30° - Esagono (6 lati)[modifica | modifica wikitesto]

33° = 15° + 18°[modifica | modifica wikitesto]

36° - Pentagono (5 lati)[modifica | modifica wikitesto]

39° = 18° + 21°[modifica | modifica wikitesto]

42° = 21° + 21°[modifica | modifica wikitesto]

45° - Quadrato (4 lati)[modifica | modifica wikitesto]

Note[modifica | modifica wikitesto]

Uso delle costanti[modifica | modifica wikitesto]

Una grandezza come il volume di un dodecaedro è data dalla seguente espressione:

Usando

l'espressione precedente può essere semplificata nella:

.

Dimostrazioni delle espressioni mediante triangoli[modifica | modifica wikitesto]

La derivazione dei valori particolari delle funzioni sin, cos e tan nella forma radiale è basata sulla costruibilità di triangoli rettangoli che conviene individuare come sezioni simmetriche di poligoni regolari. Ciascuno dei triangoli rettangoli considerati ha come vertici 3 punti di un poligono regolare: un suo vertice V, il punto medio M di un lato che ha come estremo V e il centro C del poligono. Per N=3, 4, 5, ... si considera un N-agono regolare suddiviso in 2*N triangoli rettangoli aventi angoli di 180°/N (vertice C), 90° (vertice M) e 90°-180°/N (vertice V).

Ci si basa sulla costruibilità con riga e compasso di poligoni a 3, 4, 5, e 15 lati e si utilizzano le bisettrici per ricavare anche i multipli di due.

  • Costruibili
    • Poligoni regolari a 3*2X lati, X=0,1,2,3,...
    • 4*2X lati
      • 45°-45°-90° triangolo - quadrato (4 lati)
      • 67.5°-22.5°-90° triangolo - ottagono (8 lati)
      • 88.75°-11.25°-90° triangolo - esadecagono (16 lati)
      • ...
    • 5*2X lati
    • 15*2X lati
    • ... (Poligoni regolari di grado superiore costruibili non possono essere fatte per angoli di grado intero: 17, 51, 85, 255, 257...)
  • Non costruibili (con angoli di grado intero o di mezzo grado) - Le forme radiali non limitate per queste proporzioni di taglio del triangolo sono note.

Espressioni non singole[modifica | modifica wikitesto]

La semplificazione di un radicale annidato, ovvero un radicale doppio, non è banale e non sempre può essere effettuata.

Esempio:

Non è così evidente che questa uguaglianza sia vera, ed in generale i radicali doppi non possono essere ridotti. Però si ha

    è un quadrato perfetto

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

Matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica