Costanti trigonometriche esatte

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Con il termine costanti trigonometriche esatte si indicano espressioni riguardanti valori o combinazioni di valori di funzioni trigonometriche costruite a partire da numeri interi con le operazioni razionali e le operazioni di estrazione di radice. Queste espressioni numeriche sono utilizzate principalmente per semplificare le soluzioni di problemi geometrici fornite mediante radicali.

Tutti i valori delle funzioni sin, cos e tan di angoli multipli di 3° sono ottenibili servendosi delle identità di bisezione, duplicazione, addizione/sottrazione e dei valori corrispondenti agli angoli di 0°, 30°, 36° e 45°. Si ricorda che 1° = π/180 radianti.

Tavola delle espressioni[modifica | modifica sorgente]

I valori relativi ad angoli non contenuti nell'intervallo [0° ... 45°] si possono ricavare da quelli qui forniti mediante semplici osservazioni sulla circonferenza di raggio 1 e sugli effetti di opportune rotazioni e riflessioni.

0° - valori fondamentali[modifica | modifica sorgente]

\sin 0^\circ = 0
\cos 0^\circ = 1
\tan 0^\circ = 0

3° - Esacontagono (60 lati)[modifica | modifica sorgente]

\sin \frac\pi{60} = \sin 3^\circ = \frac{ 2\sqrt{5+\sqrt 5} \, (1-\sqrt 3) + \sqrt 2(\sqrt 5-1)(\sqrt 3+1) } {16}
\cos \frac\pi{60} = \cos 3^\circ = \frac{ 2\sqrt{5+\sqrt 5} \, (1+\sqrt 3) + \sqrt 2(\sqrt 5-1)(\sqrt 3-1) } {16}
\tan \frac\pi{60} = \tan 3^\circ = \frac{ \left[(2-\sqrt 3)(3+\sqrt 5)-2\right] \left(2-\sqrt{ 2(5-\sqrt 5)}\right) } {4}

6° - Triacontagono (30 lati)[modifica | modifica sorgente]

\sin \frac\pi{30} = \sin 6^\circ = \frac{ \sqrt{6(5-\sqrt 5)} - (\sqrt 5+1) } {8}
\cos \frac\pi{30} = \cos 6^\circ = \frac{ \sqrt{2(5-\sqrt 5)} + \sqrt 3(\sqrt 5+1) } {8}
\tan \frac\pi{30} = \tan 6^\circ = \frac{ \sqrt (5-2\sqrt 5)(\sqrt 5 + 1)+\sqrt 3(1-\sqrt 5) } {2}

9° - Icosagono (20 lati)[modifica | modifica sorgente]

\sin \frac\pi{20} = \sin 9^\circ = \frac{ -2\sqrt{5-\sqrt 5} + \sqrt 2(\sqrt 5 + 1) } {8}
\cos \frac\pi{20} = \cos 9^\circ = \frac{ +2\sqrt{5-\sqrt 5} + \sqrt 2(\sqrt 5 + 1) } {8}
\tan \frac\pi{20} = \tan 9^\circ = -\sqrt{5-2\sqrt 5} \; (2+\sqrt 5)+(\sqrt 5 + 1)

12° - Pentadecagono (15 lati)[modifica | modifica sorgente]

\sin \frac{\pi}{15} = \sin 12^\circ = \frac{\sqrt{2(5+\sqrt5)}-\sqrt 3 (\sqrt 5 -1)}{8}
\cos \frac{\pi}{15} = \cos 12^\circ = \frac{\sqrt{6(5+\sqrt5)}+(\sqrt 5 -1)}{8}
\tan \frac{\pi}{15} = \tan 12^\circ = \frac{\sqrt{5-2\sqrt5}(2+\sqrt5)+(\sqrt5+1)}{2}

15° - Dodecagono (12 lati)[modifica | modifica sorgente]

\sin \frac{\pi}{12} = \sin 15^\circ = \frac{\sqrt 2 \cdot \left(\sqrt 3 - 1\right)}{4}
\cos \frac{\pi}{12} = \cos 15^\circ = \frac{\sqrt 2 \cdot \left(\sqrt 3 + 1\right)}{4}
\tan \frac{\pi}{12} = \tan 15^\circ = 2 - \sqrt 3
\cot \frac{\pi}{12} = \cot 15^\circ = 2 + \sqrt 3

18° - Decagono (10 lati)[modifica | modifica sorgente]

\sin \frac{\pi}{10} = \sin 18^\circ = \frac{\sqrt 5 - 1}{4}
\cos \frac{\pi}{10} = \cos 18^\circ = \frac{\sqrt{2(5 + \sqrt 5)}}{4}
\tan \frac{\pi}{10} = \tan 18^\circ = \frac{\sqrt{5(5 - 2 \sqrt 5)}}{5}
\cot \frac{\pi}{10} = \cot 18^\circ = \sqrt{5 + 2 \sqrt 5}

21° = 9° + 12°[modifica | modifica sorgente]

 \sin 21^\circ = \frac{ 2\sqrt{5-\sqrt5} \, (\sqrt3+1) - \sqrt2(\sqrt3-1)(1+\sqrt5) } {16}
 \cos 21^\circ = \frac{ 2\sqrt{5-\sqrt5} \, (\sqrt3-1)+\sqrt2(\sqrt3+1)(1+\sqrt5) } {16}
 \tan 21^\circ = \frac{ \sqrt{5-2\sqrt5} \, (1+2\sqrt3-\sqrt5)+(2+\sqrt3)(\sqrt5-3)+2 } {2}

22.5° - Ottagono (8 lati)[modifica | modifica sorgente]

\begin{matrix}
\sin \frac{\pi}{8} & = & \sin 22.5^\circ & = & \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \\

\cos \frac{\pi}{8} & = & \cos 22.5^\circ & = & \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \\

\tan \frac{\pi}{8} & = & \tan 22.5^\circ & = & \sqrt{2}-1 \\
\cot \frac{\pi}{8} & = & \cot 22.5^\circ & = & \sqrt{2}+1 \\
\end{matrix}

24° = 12° + 12°[modifica | modifica sorgente]

 \sin 24^\circ = \frac{ \sqrt{2(5+\sqrt5)} \, (1-\sqrt5) + 2\sqrt3(1+\sqrt5)) } {16}
 \cos 24^\circ = \frac{ \sqrt{6(5+\sqrt5)} \, (\sqrt5-1) + 2(1+\sqrt5)) } {16}
 \tan 24^\circ = \frac{ \left(\sqrt{10+2\sqrt5}-2\sqrt3\right) \, (3+\sqrt5) } {4}
 \mbox{cot}\, 24^\circ = \frac{ \left(\sqrt{10+2\sqrt5} + 2\sqrt3\right) \, (\sqrt5-1) } {4}

27° = 12° + 15°[modifica | modifica sorgente]

 \sin 27^\circ = \frac{ 2\sqrt{5+\sqrt5} + \sqrt2(1-\sqrt5) } {8}
 \cos 27^\circ = \frac{ 2\sqrt{5+\sqrt5} + \sqrt2(\sqrt5-1) } {8}
 \tan 27^\circ = -\sqrt{5-2\sqrt5} + (\sqrt5-1)

30° - Esagono (6 lati)[modifica | modifica sorgente]

\sin \frac{\pi}{6} = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}
\cos \frac{\pi}{6} = \cos 30^\circ = \frac{\sqrt 3}{2}
\tan \frac{\pi}{6} = \tan 30^\circ = \frac{\sqrt 3}{3}
\cot \frac{\pi}{6} = \cot 30^\circ = \sqrt 3

33° = 15° + 18°[modifica | modifica sorgente]

 \sin 33^\circ = \frac{ 2\sqrt{5+\sqrt5}\,(-1+\sqrt3) + \sqrt2(\sqrt5-1)(1+\sqrt3) } {16}
 \cos 33^\circ = \frac{ 2\sqrt{5+\sqrt5}\,(+1+\sqrt3) + \sqrt2(\sqrt5-1)(1-\sqrt3) } {16}
 \tan 33^\circ = \frac{ \sqrt{5(5-2\sqrt5)} \, \left(-15+10\sqrt3-7\sqrt5+4\sqrt{15}\right) + 5\left((-2+\sqrt3)(3+\sqrt5)+2\right) } {10}

36° - Pentagono (5 lati)[modifica | modifica sorgente]

\sin \frac{\pi}{5} = \sin 36^\circ = \frac{\sqrt{2(5 - \sqrt 5)} }{4}
\cos \frac{\pi}{5} = \cos 36^\circ = \frac{\sqrt 5+1}{4}
\tan \frac{\pi}{5} = \tan 36^\circ =  \sqrt{5 - 2\sqrt 5)}

39° = 18° + 21°[modifica | modifica sorgente]

 \sin 39^\circ = \frac{ 2\sqrt{5-\sqrt5}\,(1-\sqrt3) + \sqrt2(+1+\sqrt3)(1+\sqrt5) } {16}
 \cos 39^\circ = \frac{ 2\sqrt{5-\sqrt5}\,(1+\sqrt3) + \sqrt2\,(-1+\sqrt3)(1+\sqrt5) } {16}
 \tan 39^\circ = \frac{ \left(\sqrt{2(5+\sqrt5)}-2\right) \left((2-\sqrt3)(-3+\sqrt5)+2\right) } {4}

42° = 21° + 21°[modifica | modifica sorgente]

 \sin 42^\circ = \frac{  \sqrt{6(5-\sqrt5)}\;(1+\sqrt5) + 2(1-\sqrt5) } {16}
 \cos 42^\circ = \frac{  \sqrt{2(5-\sqrt5)}\;(1+\sqrt5) + 2\sqrt3(-1+\sqrt5) } {16}
 \tan 42^\circ = \frac{  -\sqrt{1-2\sqrt1}\;(3+\sqrt5) + \sqrt3(1+\sqrt5) } {2}

45° - Quadrato (4 lati)[modifica | modifica sorgente]

\sin \frac{\pi}{4} = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt 2}{2}
\cos \frac{\pi}{4} = \cos 45^\circ = \frac{\sqrt 2}{2}
\tan \frac{\pi}{4} = \tan 45^\circ = 1
\cot \frac{\pi}{4} = \cot 45^\circ = 1

Note[modifica | modifica sorgente]

Uso delle costanti[modifica | modifica sorgente]

Una grandezza come il volume di un dodecaedro è data dalla seguente espressione:

 V = 5 e^3 \cos 36^\circ /\tan^2 36^\circ

Usando

\cos\,36^\circ = \frac{\sqrt 5 + 1}{4}
\tan\,36^\circ = \sqrt{5-2\sqrt 5}

l'espressione precedente può essere semplificata nella:

V = \frac{e^3(15 + 7\sqrt5)}{4} .

Dimostrazioni delle espressioni mediante triangoli[modifica | modifica sorgente]

La derivazione dei valori particolari delle funzioni sin, cos e tan nella forma radiale è basata sulla costruibilità di triangoli rettangoli che conviene individuare come sezioni simmetriche di poligoni regolari. Ciascuno dei triangoli rettangoli considerati ha come vertici 3 punti di un poligono regolare: un suo vertice V, il punto medio M di un lato che ha come estremo V e il centro C del poligono. Per N=3, 4, 5, ... si considera un N-agono regolare suddiviso in 2*N triangoli rettangoli aventi angoli di 180°/N (vertice C), 90° (vertice M) e 90°-180°/N (vertice V).

Ci si basa sulla costruibilità con riga e compasso di poligoni a 3, 4, 5, e 15 lati e si utilizzano le bisettrici per ricavare anche i multipli di due.

  • Costruibili
    • Poligoni regolari a 3*2X lati, X=0,1,2,3,...
    • 4*2X lati
      • 45°-45°-90° triangolo - quadrato (4 lati)
      • 67.5°-22.5°-90° triangolo - ottagono (8 lati)
      • 88.75°-11.25°-90° triangolo - esadecagono (16 lati)
      • ...
    • 5*2X lati
    • 15*2X lati
    • ... (Poligoni regolari di grado superiore costruibili non possono essere fatte per angoli di grado intero: 17, 51, 85, 255, 257...)
  • Non costruibili (con angoli di grado intero o di mezzo grado) - Le forme radiali non limitate per queste proporzioni di taglio del triangolo sono note.

Espressioni non singole[modifica | modifica sorgente]

La semplificazione di un radicale annidato, ovvero un radicale doppio, non è banale e non sempre può essere effettuata.

Esempio:


  4\sin 18^\circ
  = \sqrt{2(3 - \sqrt 5)}
  = \sqrt 5 - 1

Non è così evidente che questa uguaglianza sia vera, ed in generale i radicali doppi non possono essere ridotti. Però si ha


  \sqrt{a + b\sqrt c} = d + e\sqrt c
 \quad \mbox{se} \quad a^2- b^2 c     è un quadrato perfetto

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

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