Arcotangente

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In trigonometria l'arcotangente è definita come funzione inversa della funzione tangente nell'intervallo

Il nome può esser fatto derivare dalla locuzione uno degli archi la cui tangente è la misura dell'angolo (infatti i radianti corrispondono alla lunghezza dell'arco di una circonferenza di raggio unitario). Con maggior precisione, si potrebbe affermare che l'arcotangente di x è l'angolo di valor assoluto minore la cui tangente è x.

Notazione[modifica | modifica wikitesto]

La notazione matematica dell'arcotangente è arctan o arctg; è comune anche la scrittura tan-1. In diversi linguaggi di programmazione e sulle tastiere di alcune calcolatrici si utilizzano le forme ATAN e ATN.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Grafico della funzione y=arctan(x)

  • La sua immagine è un intervallo

  • Ne esistono finiti i limiti agli estremi del dominio

  • La funzione arcotangente è monotona strettamente crescente

  • È una funzione dispari (quindi il suo grafico è antisimmetrico)

ed è di classe cioè è continua e ne esiste continua la derivata di ogni ordine

La relativa serie di MacLaurin (ovvero serie di Taylor centrata nello zero) è

è una serie di Leibniz (quindi convergente) soltanto se

È possibile combinare la somma o differenza di due arcotangenti in un'espressione dove l'arcotangente non figura più di una volta:

nelle quali

.

Si ha inoltre che, per :

Esistono vari modi per provare questa uguaglianza. Ad esempio, basta considerare un triangolo rettangolo avente i cateti di lunghezza e . L'angolo opposto al cateto di lunghezza avrà ampiezza pari a , mentre l'angolo opposto al cateto di lunghezza avrà ampiezza pari a . Per il teorema della somma degli angoli interni di un triangolo, vale quindi la relazione

e quindi si giunge a

.

Applicazioni[modifica | modifica wikitesto]

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