Arcotangente

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

In trigonometria l'arcotangente è definita come funzione inversa della funzione tangente nell'intervallo

Il nome può esser fatto derivare dalla locuzione uno degli archi la cui tangente è la misura dell'angolo (infatti i radianti, unità di misurazione della funzione arcotangente, corrispondono al rapporto tra la lunghezza dell'arco di circonferenza individuato da un dato angolo e il raggio della circonferenza stessa). Con maggior precisione, si potrebbe affermare che l'arcotangente di è l'angolo di valore assoluto minore la cui tangente è .

Notazione[modifica | modifica wikitesto]

La notazione matematica dell'arcotangente è o ; è comune anche la scrittura . In diversi linguaggi di programmazione e sulle tastiere di alcune calcolatrici si utilizzano le forme ATAN e ATN.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Grafico della funzione y=arctan(x)
  • La sua immagine è l'intervallo
  • Ne esistono finiti i limiti agli estremi del dominio
  • La funzione arcotangente è monotona strettamente crescente
  • È una funzione dispari (quindi il suo grafico è antisimmetrico)

ed è di classe cioè è continua e ne esiste continua la derivata di ogni ordine

La relativa serie di MacLaurin (ovvero serie di Taylor centrata nello zero) è

è una serie di Leibniz (quindi convergente) soltanto se

È possibile combinare la somma o differenza di due arcotangenti in un'espressione dove l'arcotangente non figura più di una volta:

nelle quali

Si ha inoltre che, per :

Esistono vari modi per provare questa uguaglianza. Ad esempio, basta considerare un triangolo rettangolo avente i cateti di lunghezza e . L'angolo opposto al cateto di lunghezza avrà ampiezza pari a , mentre l'angolo opposto al cateto di lunghezza avrà ampiezza pari a . Per il teorema della somma degli angoli interni di un triangolo, vale quindi la relazione

e quindi si giunge a

Applicazioni[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Altri progetti[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

Matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica