Arcotangente

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In trigonometria l'arcotangente è definita come funzione inversa della restrizione della funzione tangente all'intervallo [1]

Il nome può esser fatto derivare dalla locuzione uno degli archi la cui tangente è la misura dell'angolo (infatti i radianti, unità di misurazione della funzione arcotangente, corrispondono al rapporto tra la lunghezza dell'arco di circonferenza individuato da un dato angolo e il raggio della circonferenza stessa). Con maggior precisione, si potrebbe affermare che l'arcotangente di è l'angolo di valore assoluto minore la cui tangente è .

È necessario considerare la restrizione della funzione tangente all'intervallo precedentemente indicato in modo da preservare l'invertibilità della funzione.

Notazione[modifica | modifica wikitesto]

La notazione matematica dell'arcotangente è o ; è comune anche la scrittura . In diversi linguaggi di programmazione e sulle tastiere di alcune calcolatrici si utilizzano le forme ATAN e ATN.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Grafico della funzione y=arctan(x)
  • La sua immagine è l'intervallo:
  • Ne esistono finiti i limiti agli estremi del dominio:
  • La funzione arcotangente è monotona strettamente crescente:
  • È una funzione dispari (quindi il suo grafico è antisimmetrico):

ed è di classe cioè è continua e ne esiste continua la derivata di ogni ordine:[3]

La relativa serie di MacLaurin (ovvero serie di Taylor centrata nello zero) è:[4]

è una serie di Leibniz (quindi convergente) soltanto se

È possibile combinare la somma o differenza di due arcotangenti in un'espressione dove l'arcotangente non figura più di una volta:

nelle quali

Si ha inoltre che, per :

Esistono vari modi per provare questa uguaglianza. Ad esempio, basta considerare un triangolo rettangolo avente i cateti di lunghezza e . L'angolo opposto al cateto di lunghezza avrà ampiezza pari a , mentre l'angolo opposto al cateto di lunghezza avrà ampiezza pari a . Per il teorema della somma degli angoli interni di un triangolo, vale quindi la relazione:

e quindi si giunge a:

Applicazioni[modifica | modifica wikitesto]

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Ilaria Fragni, Lineamenti.Math Blu Volume 4, Ghisetti e Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0432-7. p.187
  2. ^ Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Ilaria Fragni, Lineamenti.Math Blu Volume 4, Ghisetti e Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0432-7. pp.188-189
  3. ^ Maderna C. e Soardi P.M., Lezioni di Analisi Matematica, CittàStudi Edizioni - Milano, 1995, ISBN 88-251-7090-4. p. 219
  4. ^ Maderna C. e Soardi P.M., Lezioni di Analisi Matematica, CittàStudi Edizioni - Milano, 1995, ISBN 88-251-7090-4. p. 239
  5. ^ Baroncini Paolo, Manfredi Roberto, Fragni Ilaria, Lineamenti.Math Blu Volume 4, Ghisetti e Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0432-7. pp. 376-377

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Carla Maderna e Paolo M. Soardi, Lezioni di Analisi Matematica, CittàStudi Edizioni - Milano, 1995, ISBN 88-251-7090-4.
  • Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Ilaria Fragni, Lineamenti.Math Blu Volume 4, Ghisetti e Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0432-7.

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