Arcotangente

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In trigonometria l'arcotangente è definita come funzione inversa della funzione tangente nell'intervallo \left(-{\;\pi\;\over 2}\,,{\;\pi\;\over 2}\right)\subset {\rm I\!R}\quad

Il nome può esser fatto derivare dalla locuzione uno degli archi la cui tangente è la misura dell'angolo (infatti i radianti corrispondono alla lunghezza dell'arco di una circonferenza di raggio unitario). Con maggior precisione, si potrebbe affermare che l'arcotangente di x è l'angolo di valor assoluto minore la cui tangente è x.

Notazione[modifica | modifica sorgente]

La notazione matematica dell'arcotangente è arctan o arctg; è comune anche la scrittura tan-1. In diversi linguaggi di programmazione e sulle tastiere di alcune calcolatrici si utilizzano le forme ATAN e ATN.

Proprietà[modifica | modifica sorgente]

Grafico della funzione y=arctan(x)

{\rm arctg}: {\rm I\!R} \rightarrow \left(-{\;\pi\;\over 2}\, , {\;\pi\;\over 2}\right)

  • La sua immagine è un intervallo

{\rm arctg}({\rm I\!R}) = \left(-{\;\pi\;\over 2}\, , {\;\pi\;\over 2}\right) \subset {\rm I\!R}

  • Ne esistono finiti i limiti agli estremi del dominio


\lim_{x\rightarrow+\infty}{\rm arctg}(x)={\;\pi\; \over 2}
\qquad\qquad {\rm e} \qquad\qquad
\lim_{x\rightarrow-\infty}{\rm arctg}(x)=-{\;\pi\; \over 2}

  • La funzione arcotangente è monotona strettamente crescente


\forall\, x_1, x_2 \in {\rm I\!R} : x_1 < x_2 \Rightarrow {\rm arctg}(x_1) < {\rm arctg}(x_2)

  • È una funzione dispari (quindi il suo grafico è antisimmetrico)

{\rm arctg}(x)=-{\rm arctg}(-x) \qquad\qquad {\rm ovvero} \qquad\qquad {\rm arctg}(-x)= -{\rm arctg}(x)

ed è di classe  C_\infty cioè è continua e ne esiste continua la derivata di ogni ordine


\forall\, x_0 \in {\rm I\!R}, \,\forall\, n \in {\rm I\!N}  
\quad 
\exist\; \lim_{x \to x_0} {\rm arctg}^{(n)}(x) = {\rm arctg}^{(n)}(x_0)

{\rm arctg}^{\;I} (x)={1\over\;1+x^2\,}

{\rm arctg}^{\;II}(x)={-2x\over\;\left(1+x^2\right)^2\,}

{\rm arctg}^{\;III}(x)={\; 6x^2-2 \; \over\;\left(1+x^2\right)^3\,}

{\rm arctg}^{\;IV}(x)={\; -24x^3+24x \; \over\;\left(1+x^2\right)^4\,}

\cdots \qquad.

La relativa serie di MacLaurin (ovvero serie di Taylor centrata nello zero) è


{\rm arctg}(x)=
\sum_{k=0}^\infty \;(-1)^k \; { \,\;x^{2k+1}\, \over \; 2k+1 \;}=
x-{\;x^3 \over 3}+{\;x^5 \over 5}-{\; x^7 \over 7}+\,\cdots

è una serie di Leibniz (quindi convergente) soltanto se \vert x\vert \le 1 \quad .

È possibile combinare la somma o differenza di due arcotangenti in un'espressione dove l'arcotangente non figura più di una volta:


{\rm arctg}\left( x_1 \right) \pm {\rm arctg}\left( x_2 \right) =
\begin{cases}
Y                                                                  & \pm x_1x_2<1 \\
{\rm segno}\left(x_1\right)\,{\displaystyle\,\pi\; \over 2} \qquad & \pm x_1x_2=1 \\
Y + {\rm segno}\left(x_1\right)\,\pi                               & \pm x_1x_2>1 \\
\end{cases}

nelle quali

Y={\rm arctg}\left({x_1 \pm x_2 \over \; 1 \mp x_1 x_2\;}\right).



Si ha inoltre che, per  x > 0 :

{\rm arctg}(x)+{\rm arctg}\left({1 \over x}\right) = {\pi \over 2}

Esistono vari modi per provare questa uguaglianza. Ad esempio, basta considerare un triangolo rettangolo avente i cateti di lunghezza  x e  1 . L'angolo opposto al cateto di lunghezza  x avrà ampiezza pari a  {\rm arctg}(x) , mentre l'angolo opposto al cateto di lunghezza  1 avrà ampiezza pari a  {\rm arctg}\left({1 \over x}\right) . Per il teorema della somma degli angoli interni di un triangolo, vale quindi la relazione

{\rm arctg}(x)+{\rm arctg}\left({1 \over x}\right)+{\pi \over 2} = \pi

e quindi si giunge a

{\rm arctg}(x)+{\rm arctg}\left({1 \over x}\right) = {\pi \over 2}.

Applicazioni[modifica | modifica sorgente]

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