Arcoseno

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In trigonometria l'arcoseno è definito come funzione inversa del seno di un angolo. La funzione seno non è biettiva quindi non è possibile avere la sua inversa, tuttavia è possibile restringere il suo dominio in modo da renderla sia iniettiva che suriettiva e quindi invertibile. Per convenzione si preferisce restringere il dominio della funzione seno nell'intervallo .

Notazione[modifica | modifica wikitesto]

In matematica l'arcoseno può essere indicato con una delle notazioni arcsin, arcsen, asin, asen, sin-1, sen-1. Queste ultime due notazioni, coerenti con la notazione per una funzione inversa (f-1) e diffuse sulle tastiere di diverse calcolatrici, possono creare confusione con la notazione sen2(x), che oltre ad indicare la composizione sen(sen(x)) viene utilizzata per indicare il quadrato (sen x)2; per questo motivo il reciproco del seno di un angolo (la sua cosecante) viene sempre indicato con (sin x)-1. In diversi linguaggi di programmazione e sulle tastiere di alcune calcolatrici si utilizzano le forme ASIN e ASN.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Grafico della funzione y=arcsin(x)

L'arcoseno è una funzione continua e strettamente crescente, definita per tutti i valori nell'intervallo :

.

Il suo grafico è simmetrico rispetto all'origine degli assi cartesiani, essendo .

La derivata della funzione arcoseno è

.

La serie di Taylor (x0 = 0) corrispondente è

.

Per via della già descritta simmetria vale la relazione per argomenti negativi, ossia per definizione di funzione dispari:

.

Inoltre è possibile combinare la somma o differenza di due arcoseni in un'espressione dove l'arcoseno figura una volta sola:

con

.

Arcoseno di una somma nell'intervallo in cui è definito l'arcoseno:

da cui discendono:

che sono casi particolari di:

per

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