Triangolo rettangolo

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.
TriangoloRettangolo.tiff

Il triangolo rettangolo è un triangolo in cui l'angolo formato da due lati, detti cateti, è retto, ovvero di 90° (o π2 radianti). Il lato opposto all'angolo retto si chiama ipotenusa. L'ipotenusa è per il teorema di Pitagora uguale alla radice quadrata della somma dei quadrati dei cateti.

Il triangolo rettangolo rappresenta un caso particolare di triangolo generico, per cui molte relazioni fondamentali si semplificano. Il caso più particolare è quello del triangolo rettangolo isoscele, caso per il quale

  • a = b = {1\over \sqrt 2} c \qquad \alpha = \beta = {\pi\over 4}.

Aggiungendo a un triangolo rettangolo il triangolo ottenuto con la sua riflessione rispetto all'ipotenusa si ottiene un aquilone. Aggiungendogli il triangolo ottenuto sottoponendolo alla rotazione di π intorno al punto medio dell'ipotenusa si ottiene il rettangolo per il quale l'ipotenusa è diagonale principale.

Dal triangolo rettangolo isoscele con entrambe le costruzioni si ottiene il quadrato di lato a=b.[1][2]

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Teoremi fondamentali (proprietà dei lati)[modifica | modifica wikitesto]

TriangoloRettangolo.png
Teorema di Pitagora c^2 = b^2 + a^2\,
1° Teorema di Euclide a^2=c\cdot a'
b^2=c\cdot b'
2° Teorema di Euclide h^2=a'\cdot b'

Proprietà degli angoli interni[modifica | modifica wikitesto]

  • Sapendo che la somma degli angoli interni di un triangolo qualsiasi è 180° (\pi rad), nel caso particolare di un triangolo rettangolo, sapendo che uno degli angoli interni è retto allora è facile dedurre che la somma degli altri due angoli interni vale sempre 90°:
 \alpha + \beta + 90^\circ = 180^\circ \to \alpha + \beta = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ
Triangolo rettangolo.tiff


  • Da questa proprietà si può, di conseguenza dedurre che qualora venga tracciata l'altezza del triangolo rettangolo con origine nel vertice dell'angolo retto essa divide tale angolo in due angoli minori, indicati con \theta e \omega. Inoltre si vengono a formare due triangoli rettangoli distinti (ACH e BCH) con un cateto in comune, l'altezza appunto. Per la proprietà descritta sopra possiamo dire le seguenti cose.
Considerando il triangolo rettangolo BCH, per la proprietà vista sopra:
\theta + \beta = 90^\circ \to \theta = 90^\circ - \beta.
Ora consideriando il triangolo ABC completo:
 \alpha + \beta = 90^\circ \to \alpha = 90^\circ - \beta;
da cui deduciamo la proprietà:
 \alpha = 90^\circ - \beta = \theta \to \alpha = \theta.
Analogamente possiamo osservare che:
 \beta = \omega.

Classi di similitudine[modifica | modifica wikitesto]

Ogni similitudine trasforma un triangolo rettangolo in un triangolo rettangolo. Le classi di similitudine dei triangoli rettangoli si possono quindi rappresentare fedelmente con i triangoli rettangoli aventi l'ipotenusa c di lunghezza 1 e il vertice opposto appartenente a una delle semicirconferenze aventi come diametro l'ipotenusa. La collezione delle classi di similitudine si può parametrizzare con il rapporto a/b delle lunghezze dei cateti ovvero con uno dei due angoli non retti, ad esempio con l'angolo \alpha relativo al vertice A. Dalla trigonometria segue che:

  • \frac{a}{b} = \tan \alpha
  • a = c \sin \alpha
  • b = c \cos \alpha.

Triangoli rettangoli particolari[modifica | modifica wikitesto]

Triangolo rettangolo isoscele[modifica | modifica wikitesto]

Chiamato anche Triangolo 90-45 date le ampiezze degli angoli che lo formano, infatti è composto da un angolo retto e due angoli da 45°. La caratteristica principale di questo triangolo è che ha i due cateti uguali e misurano  c = \frac{i}{\sqrt[]{2}} .

Un'altra proprietà del triangolo rettangolo isoscele è che mediana, altezza e bisettrice relative al vertice che presenta l'angolo retto coincidono. Inoltre esse toccano l'ipotenusa esattamente nel suo punto medio, dividendo quindi tale lato in due parti uguali con lunghezza analoga all'altezza/bisettrice/mediana tracciata.

Triangolo306090.tiff

Punti notevoli[modifica | modifica wikitesto]

L'ortocentro di un triangolo rettangolo coincide con il vertice dell'angolo retto.

Il circocentro è il punto medio dell'ipotenusa.

Per individuare il baricentro può essere comodo riferire il triangolo ad una coppia di assi cartesiani ortogonali con l'origine nel vertice C relativo all'angolo retto, l'asse delle x contenente il lato a dalla parte delle ascisse positive e l'asse delle y contenente il lato b. Scrivendo in tale riferimento le equazioni di due rette comprendenti due delle mediane e mettendole a sistema per trovarne l'intersezione si calcola che le coordinate del baricentro sono a/3 e b/3.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Il triangolo rettangolo: formule di area, perimetro, altezza, su Oilproject. URL consultato il 05 marzo 2016.
  2. ^ Formule del Triangolo Rettagolo, su www.scuolissima.com. URL consultato il 05 marzo 2016.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Altri progetti[modifica | modifica wikitesto]

matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica