Primo teorema di Euclide

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In geometria, il primo teorema di Euclide è un teorema attinente al triangolo rettangolo che deriva, assieme al secondo, dalla proposizione 8 del VI libro degli Elementi di Euclide; nei testi scolastici può essere enunciato in due modi diversi a seconda della proprietà che si desidera sottolineare:

  1. mediante l'equiestensione tra figure:
    In ogni triangolo rettangolo il quadrato costruito su un cateto è equivalente al rettangolo che ha per dimensioni l'ipotenusa e la proiezione di quel cateto sull'ipotenusa.
  2. mediante relazioni tra segmenti:
    In ogni triangolo rettangolo ciascun cateto è medio proporzionale tra l'ipotenusa e la proiezione del cateto stesso sull'ipotenusa.

Enunciato con l'equivalenza[modifica | modifica wikitesto]

In un triangolo rettangolo il quadrato costruito su un cateto è equivalente al rettangolo avente per dimensioni l'ipotenusa e la proiezione di quel cateto sull'ipotenusa stessa. Dimostrazione

Euclide1.png

Facendo riferimento alla figura, si consideri il triangolo rettangolo . Sul cateto si costruisca il quadrato e sia la proiezione del cateto sull'ipotenusa . Si costruisca il rettangolo avente congruente a . Si prolunghi il lato dalla parte di fino ad incontrare in la retta contenente il segmento e in la retta contenente il segmento . Si vuole dimostrare che il quadrato è equivalente al rettangolo .

Si considerino ora i triangoli e . Essi hanno:

  • è congruente a per costruzione,
  • l'angolo congruente all'angolo perché retti
  • l'angolo è congruente all'angolo perché entrambi complementari dello stesso angolo .

Dunque, per il secondo criterio di congruenza dei triangoli, i triangoli e sono congruenti, e in particolare si ha che è congruente a .

Si considerino il quadrato e il parallelogramma . Essi hanno la stessa base e la stessa altezza (perché e appartengono alla stessa retta) e quindi sono equivalenti.

Si considerino il parallelogramma e il rettangolo . Essi hanno basi congruenti (infatti è congruente a per dimostrazione precedente, e è congruente a per costruzione, quindi è congruente a per la proprietà transitiva della congruenza) e la stessa altezza (infatti e appartengono alla stessa retta, e così pure e ), quindi sono equivalenti.

Allora, per la proprietà transitiva dell'equivalenza, il quadrato è equivalente al rettangolo .

Enunciato con la proporzione[modifica | modifica wikitesto]

In un triangolo rettangolo il cateto è medio proporzionale tra l'ipotenusa e la proiezione del cateto stesso sull'ipotenusa.

In formule, facendo riferimento al triangolo rettangolo in figura: . In modo equivalente: ·.

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Si considerino i triangoli e . Essi hanno tutti gli angoli congruenti (sono entrambi rettangoli e hanno l'angolo in in comune), e quindi sono simili per il primo criterio di similitudine. Da ciò si ricava: .

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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