Mediana (geometria)

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Mediane e baricentro di un triangolo

In un triangolo, la mediana è un segmento che congiunge un vertice al punto medio del lato opposto.

Mediana di un parallelogramma è il segmento che congiunge i punti medi di due lati opposti.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Alcune proprietà della mediana:

1 Il triangolo viene diviso dalla mediana in due triangoli aventi la stessa superficie e tutte le altre rette che dividono il triangolo in due parti di uguale superficie non passano per il baricentro.

2 Le tre mediane di un triangolo si intersecano in un punto chiamato baricentro o centro di massa (per una dimostrazione si veda per esempio il Teorema di Ceva).

3 Ogni mediana giace per due terzi della propria lunghezza fra il vertice e il baricentro, mentre l'altro terzo si trova fra il baricentro e il punto medio del lato opposto.

La terza proprietà non è immediata. In riferimento alla figura sottostante, provo che . Siano ed rispettivamente i punti medi dei segmenti e . Quindi (1) e . Applicando il Teorema di Talete al triangolo tagliato dalla retta passante per e ho che

.

Applicando il Teorema di Talete al triangolo tagliato dalla retta passante per ed ho che

.

Quindi è un parallelogramma. In un parallelogramma le diagonali si tagliano scambievolmente a metà, quindi (2). Si conclude osservando che per (1) e (2) si ha . Analogo ragionamento per le altre due mediane.

Mediane dim.JPG

Lunghezza delle mediane[modifica | modifica wikitesto]

La lunghezza della mediana può essere ottenuta grazie al teorema della mediana. Usando la notazione standard per gli elementi di un triangolo e con , , le mediane uscenti rispettivamente dai vertici , , , si ha che:

Dimostrazione: Sia il punto medio del lato . Considero i triangoli e . Per la prima proprietà essi sono equivalenti, quindi hanno medesima area, cioè . Calcolando l'area dei due triangoli applicando la Formula di Erone (conviene la seconda forma proposta) ottengo il primo enunciato. Ragionamento analogo per gli altri due.

Matematica

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