Poligono sghembo

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Gli spigoli evidenziati di rosso di questo disfenoide delimitano un quadrilatero sghembo regolare a zig-zag.

In geometria descrittiva, un poligono sghembo è un poligono (ossia un 2-politopo) i cui vertici non sono tutti complanari.[1] La superficie di tali poligoni, che devono avere almeno quattro vertici, non è definita in modo univoco.

Un particolare tipo di poligoni sghembi, detti poligoni antiprismatici o poligoni sghembi a zig-zag, che include poi tutti i poligoni sghembi regolari tridimensionali nonché gli apeirogoni sghembi regolari bidimensionali, ha i vertici che si alternano su due piani paralleli ed ha quindi sempre un numero pari di vertici.

Poligoni antiprismatici in tre dimensioni[modifica | modifica wikitesto]

Un poligono sghembo regolare è una figura isogonale equilatera. In uno spazio tridimensionale tale poligono è un poligono sghembo a zig-zag (o antiprismatico), con vertici alternati tra due piani paralleli. Gli spigoli laterali di un antiprisma n-gonale possono ad esempio definire un 2n-gono sghembo regolare.[2]

A un n-gono sghembo regolare può essere assegnato un simbolo di Schläfli {p}#{ } dato dalla combinazione del simbolo di un poligono regolare {p} e quello di un segmento ortogonale { }.

Nella tabella sottostante sono mostrati esempi relativi ad antriprismi quadrati e pentagonali uniformi. Si noti come gli antiprismi stellati possano generare anche poligoni sghembi regolari aventi un diverso ordine di connessione tra i poligoni superiore ed inferiore. Si noti inoltre che questi ultimi due vengono rappresentati colorati solo per chiarezza e non per indicare una loro appartenenza ai poligoni sghembi.

Poligoni sghembi regolari a zig-zag
Quadrato sghembo Esagono sghembo Ottagono sghembo Decagono sghembo Dodecagono sghembo
{2}#{ } {3}#{ } {4}#{ } {5}#{ } {5/2}#{ } {5/3}#{ } {6}#{ }
Disphenoid tetrahedron.png Skew polygon in triangular antiprism.png Skew polygon in square antiprism.png Regular skew polygon in pentagonal antiprism.png Regular skew polygon in pentagrammic antiprism.png Regular skew polygon in pentagrammic crossed-antiprism.png Regular skew polygon in hexagonal antiprism.png
s{2,4} s{2,6} s{2,8} s{2,10} sr{2,5/2} s{2,10/3} s{2,12}

Allo stesso modo si può realizzare un composto 2n-gonale sghembo aggiungendo un secondo poligono sghembo per rotazione. In tal caso le due figure condividono gli stessi vertici come in un composto prismatico di antiprismi.

Composti regolari di poligoni sghembi a zig-zag
Quadrati sghembi Esagoni sghembi Decagoni sghembi
Due {2}#{ } Tre {2}#{ } Due {3}#{ } Due {5/3}#{ }
Compound skew square in cube.png Skew tetragons in compound of three digonal antiprisms.png Compound skew hexagon in hexagonal prism.png Compound skew hexagon in pentagonal crossed antiprism.png

I poligoni di Petrie sono poligoni sghembi regolari definiti all'interno di poliedri e politopi regolari. Ad esempio, come si vede nelle figure sottostanti in cui le proiezioni ortogonali dei poligoni sghembi sono evidenziate di rosso, i cinque solidi platonici contengono poligoni sghembi regolari di 4, 6 e 10 lati. In particolare, poi, il tetraedro e l'ottaedro includono tutti i loro vertici nei rispettivi poligoni sghembi a zig-zag e possono essere visti rispettivamente come un antiprisma digonale e un antiprisma triangolare.[3]

Petrie polygons.png

Poligoni sghembi regolari come figure al vertice di poliedri sghembi regolari[modifica | modifica wikitesto]

Un poliedro sghembo regolare è definito come un poliedro avente per facce un poligono regolare e come figura al vertice un poligono sghembo regolare.

Come mostrato nella sottostante tabella, nello spazio tridimensionale esistono tre poliedri sghembi regolari in grado di tassellare perfettamente lo spazio, vale a dire tre apeiroedri sghembi regolari.

Figure al vertice sghembe dei tre apeiroedri sghembi regolari
{4,6|4} {6,4|4} {6,6|3}
Six-square skew polyhedron-vf.png
Esagono sghembo regolare
{3}#{ }
Four-hexagon skew polyhedron-vf.png
Quadrato sghembo regolare
{2}#{ }
Six-hexagon skew polyhedron-vf.png
Esagono sghembo regolare
{3}#{ }

Poligoni sghembi isogonali in tre dimensioni[modifica | modifica wikitesto]

Un poligono sghembo isogonale è un poligono sghembo avente un unico tipo di vertici e connesso da due tipi di lati. Qualora i lati di tale poligono siano di pari lunghezza, allora esso può essere considerato quasi-regolare. Si tratta di un poligono sghembo simile a un poligono sghembo a zig-zag, ossia avente come quest'ultimo i vertici posti su due piani diversi, in cui però uno o più lati possono connettere vertici posti sullo stesso piano.[2]

Come mostrato nella tabella sottostante, poligoni sghembi isogonali possono essere definiti su prismi n-gonali con n pari, connettendo alternativamente due vertici su uno stesso piano e due vertici posti su piani diversi.

Ottagono Dodecagono Icositetragono
Isogonal skew octagon on cube2.png
Cubo, diagonale-quadrato
Isogonal skew octagon on cube.png
Cubo
Isogonal skew octagon on crossed-cube.png
Cubo incrociato
Isogonal skew octagon on hexagonal prism.png
Prisma esagonale
Isogonal skew octagon on hexagonal prism2b.png
Prisma esagonale
Isogonal skew octagon on hexagonal prism2.png
Prisma esagonale
Twisted dodecagonal antiprism.png
Prisma ritorto

Poligoni sghembi regolari in quattro dimensioni[modifica | modifica wikitesto]

In uno spazio a quattro dimensioni, un poligono sghembo regolare può avere i vertici posti su un toro di Clifford e correlati da rotazioni isocline. Contrariamente ai poligoni sghembi a zig-zag, i poligoni sghembi su rotazioni doppie possono avere anche un numero dispari di lati.

I poligoni di Petrie di policori regolari definiscono poligoni sghembi regolari a zig-zag. Il numero di Coxeter per ogni gruppo di Coxeter indica poi quanti lati tali poligoni di Petrie abbiano; così ad esempio esso è 5 nel caso di un 5-cella (o ipertetraedro), 8 per un tesseratto e un 16-cella (o esadecacoro), 12 per un 24-cella e 30 per un 120-cella e un 600-cella.

A4, [3,3,3] B4, [4,3,3] F4, [3,4,3] H4, [5,3,3]
Pentagono Ottagono Dodecagono Triacontagono
4-simplex t0.svg
5-cella
{3,3,3}
4-cube graph.svg
tesseratto
{4,3,3}
4-orthoplex.svg
16-cella
{3,3,4}
24-cell t0 F4.svg
24-cella
{3,4,3}
120-cell graph H4.svg
120-cella
{5,3,3}
600-cell graph H4.svg
600-cella
{3,3,5}

Anche i duoprismi n-n e le duopiramidi loro duali hanno poligoni di Petri 2n-gonali (il tesseratto è di fatto un duoprisma 4-4 e il 16-cella è una duopiramide 4-4.)

Esagono Decagono Dodecagono
3-3 duoprism ortho-Dih3.png
Duoprisma 3-3
3-3 duopyramid ortho.png
Dueopiramide 3-3
5-5 duoprism ortho-Dih5.png
Duoprisma 5-5
5-5 duopyramid ortho.png
Dueopiramide 5-5
6-6 duoprism ortho-3.png
Duoprisma 6-6
6-6 duopyramid ortho-3.png
Dueopiramide 6-6

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Luca Goldoni, Complementi sui poligoni (PDF), Università degli Studi di Modena e Reggio Emilia, Dicembre 2015, DOI:10.13140/RG.2.1.3360.6487. URL consultato il 20 aprile 2022.
  2. ^ a b Harold Scott Macdonald Coxeter, Polygons and Polyhedra, in Regular Polytopes, 3ª ed., New York, Courier Corporation, 1973.
  3. ^ Harold Scott Macdonald Coxeter, Regular Complex Polytopes, Cambridge University Press, 1991, ISBN 0-521-39490-2.

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