Triangolo isoscele

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Triangolo isoscele

In geometria, si definisce triangolo isoscele un triangolo che possiede due lati congruenti.

Vale il seguente teorema: "Un triangolo è isoscele se e solo se ha due angoli congruenti". Questo teorema costituisce la quinta proposizione del Libro I degli Elementi di Euclide ed è noto come pons asinorum.

In un triangolo isoscele la bisettrice relativa all'angolo al vertice coincide con la mediana, l'altezza e l'asse relativi alla base.

Particolari triangoli isosceli sono i triangoli equilateri e i triangoli rettangoli isosceli. Esistono anche triangoli isosceli acutangoli e ottusangoli.

I triangoli isosceli rettangoli sono tutti simili tra di loro, come i triangoli equilateri.

Simmetrie[modifica | modifica wikitesto]

Un triangolo isoscele che non sia equilatero è invariante solo per la riflessione rispetto alla bisettrice dell'angolo diverso dai due rimanenti. Il suo gruppo di simmetria, oltre alla trasformazione identità, comprende solo questa riflessione e quindi è isomorfo al gruppo di due elementi, ovvero al gruppo moltiplicativo sull'insieme .

Triangoli isosceli in geometria analitica[modifica | modifica wikitesto]

Teorema 1: Condizione necessaria e sufficiente affinché un triangolo con la base parallela agli assi sia isoscele è che abbia i due lati di coefficiente angolare opposto.

Dimostrazione.

Date le tre rette

ne calcoliamo l'intersezione.

Ora calcoliamo la distanza dei segmenti e .

Quindi il triangolo è isoscele sulla base . In modo analogo si dimostra il caso della base parallela all'asse .

Viceversa costruiamo un triangolo isoscele con la base parallela all'asse delle ascisse.

Dati i due punti:

poiché il vertice di un triangolo isoscele giace sulla stessa retta del punto medio della base, prima troviamo e poi .

Quindi troviamo , che avrà la stessa ascissa di e diversa ordinata.

Verifichiamo che il triangolo è isoscele:

Ora calcoliamo il coefficiente angolare dei due lati:

Teorema 2: Condizione necessaria e sufficiente affinché un triangolo con la base parallela alla bisettrice di due quadranti sia isoscele è che abbia i due lati di coefficiente angolare inverso.

Dimostrazione.

Date le tre rette

ne calcoliamo l'intersezione.

Ora calcoliamo la distanza dei segmenti e .

Quindi il triangolo è isoscele sulla base . In modo analogo si dimostra il caso della base parallela all'asse .

Viceversa costruiamo un triangolo isoscele con la base parallela alla bisettrice del primo e terzo quadrante (lo stesso vale per quella parallela alla bisettrice del secondo e quarto quadrante).

Dati i due punti:

poiché il vertice di un triangolo isoscele giace sulla stessa retta del punto medio della base, prima troviamo e poi .

Quindi troviamo , che si trova sulla retta di equazione perpendicolare alla base e passante per .

dove è un numero reale arbitrario diverso da .

Verifichiamo che il triangolo è isoscele:

Ora calcoliamo il coefficiente angolare dei due lati:

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