Triangolo aureo

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Triangolo aureo.

In geometria, i triangoli aurei sono un insieme di triangoli aventi la particolarità di possedere tra i propri lati una proporzionalità aurea, ovvero della medesima ragione del numero aureo, ≈ 1,618, o di derivazioni di questa.

Non si tratta di una vera e propria denominazione matematicamente riconosciuta per tutte le figure che con la precedente definizione rientrano nella categoria; infatti, si può parlare in accezione universalmente riconosciuta solamente per i due casi canonici di triangoli isosceli ricavabili dal pentagono, e che sono chiamati, per l'appunto, triangolo aureo e gnomone aureo.

In tutti gli altri casi si tratta di una denominazione impropria, basata su una definizione spuria, che non trova nei testi matematici riscontro certo, ma che viene ugualmente utilizzata.

Triangolo aureo[modifica | modifica wikitesto]

Il triangolo aureo è un triangolo isoscele avente i due lati uguali in rapporto aureo con il terzo lato, φ:1 (1,618:1) e angoli di 36°, 72° e 72°. Viene utilizzato per dimostrare che la diagonale del pentagono è in rapporto aureo col lato, e con l'aggiunta di altri due triangoli aurei, gli gnomoni aurei, ne completa la figura; inoltre si pensa che potrebbe essere perfino stato uno dei modi per la dimostrazione dell'incommensurabilità. [1]

Costruzione[modifica | modifica wikitesto]

Construction of golden triangle.svg

Vi sono molti modi per costruire geometricamente un triangolo aureo, diversi di questi passano per la costruzione del pentagono regolare, ma sono piuttosto scomodi per via dell'oggettiva maggiore complicatezza che richiede la costruzione preliminare del pentagono stesso.

I sistemi più diretti e semplici si basano su procedimenti derivati dalla costruzione del rettangolo aureo e proprio in esso trovano la giustificazione algebrica. Per costruire un triangolo aureo su un segmento dato AB, si può procedere nel seguente modo:

  1. Tracciare una perpendicolare passante per uno dei due estremi, in questo caso A, e riportarvi il punto C a una distanza pari alla metà di AB;
  2. Con centro in C, si riporta la distanza da questo all'altro estremo del segmento, CB, individuando il punto D;
  3. Con centro in A si riporta la lunghezza totale trovata, AD, sulla mediana del segmento o la si fa incrociare con l'omologa dall'estremo opposto, designando il terzo punto della terna triangolare.

La spiegazione è rapida; innanzitutto si tratta di trovare un lato che sia in rapporto aureo con la base data e si riporta una metà di questa ½, a cui si aggiunge l'ipotenusa del triangolo CAB, calcolabile per mezzo del teorema di Pitagora:

Ovviamente il rettangolo ABDD'è il rettangolo aureo.

Particolarità geometriche[modifica | modifica wikitesto]

Golden triangle and Fibonacci spiral.svg

Il triangolo aureo ha molte proprietà in comune con quelle che sono più note come attribuite al rettangolo aureo. Per la sua caratteristica di avere gli angoli alla base di ampiezza doppia (72°) rispetto all'angolo al vertice (36°), è possibile, bisecando uno di questi, ricavare una successione infinita di triangoli aurei minori. Contestualmente alla successione di triangoli omologhi, viene anche prodotta una successione di gnomoni aurei di completamento, grazie ai quali è possibile tracciare una "spirale di Fibonacci", ovvero una spirale che approssima la spirale aurea autentica, tracciando in contiguità una successione archi di 108° di ampiezza, ovvero l'angolo al vertice dello gnomone.

La "spirale di Fibonacci" in questione,[2], come la spirale aurea vera, non ha mai fine, ma si "arrotola" attorno ad un punto asintotico, un sito all'incontro della mediana degli angoli alla base opposti rispetto quello verso cui punta il primo triangolo che possiamo trovare nella serie. Anche in questo punto si può registrare un parallelismo col rettangolo aureo, dove il punto asintotico si registra invece all'incrocio delle diagonale della successione di triangoli.


Negli altri poligoni[modifica | modifica wikitesto]

In relazione ad altri poligoni il triangolo aureo può essere segnalato nel:

Decagono

Golden triangle in decagon.svg

Pentagono

Golden triangle in pentagon.svg

Pentagramma

Golden triangle in pentagram.svg

Nel decagono il triangolo aureo appare come uno spicchio di torta pari a un decimo della sua area, questo è possibile perché il vertice del triangolo è esattamente di 36° cioè un decimo esatto dell'angolo giro. Inoltre questo permette di sapere con esattezza il suo apotema, coincidente all'altezza del triangolo, pari a:

Nel pentagono regolare è inscrivibile un triangolo aureo cui i lati obliqui corrispondono alle diagonali e la base al lato; il resto della figura viene completata da altri due triangoli, anch'essi isosceli e di proporzioni auree ma invertite nelle parti, detti gnomoni aurei proprio perché figure di completamento del pentagono.

Nel pentagramma, cioè una stella a 5 punte, invece il triangolo aureo si trova in quelle che rappresentano le punte della stella. Anche in questo caso tutto dipende dai legami del triangolo con il pentagono, il pentagramma infatti è ottenibile prolungando i lati del pentagono regolare che formano degli angoli esterni di 72° [3], la stessa ampiezza degli angoli alla base del triangolo aureo.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ La dimostrazione dell'esistenza dell'incommensurabilità viene però storicamente attribuita alla dimostrazione della stessa tra il lato del quadrato e la sua diagonale
  2. ^ Solitamente si parla di "spirale di Fibonacci" limitatamente al caso del rettangolo aureo, le spirali ricavate, infatti, in tutte e due i casi, sono differenti, basti considerare la prima è il risultato di archi di 90° (ovvero quarti di cerchio) questo invece di archi di 108°, il risultato quindi per quanto all'occhio simile, e forse persino indistinguibile, non può essere identico.
  3. ^ 108° è l'ampiezza dell'angolo del pentagono regolabile ricavabile con la nota formula 180 - (360/n)

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