Asse di un segmento

Asse $r$ del segmento $AB$

In geometria euclidea l'asse di un segmento è la retta perpendicolare al segmento passante per il suo punto medio. È definito il luogo dei punti del piano che hanno uguale distanza dai due estremi del segmento.

Si può dimostrare mediante il teorema di Pitagora che un qualsiasi punto $X$ sulla retta $r$ è equidistante sia da $A$ che da $B$, formalmente ${\overline {XA}}={\overline {XB}}$.

Dimostrazione con il teorema di Pitagora

Si hanno le ipotesi:

1. ${\overline {AM}}={\overline {BM}}$;
2. il segmento e l'asse sono ortogonali.$${\overline {XA}}^{2}={\overline {AM}}^{2}+{\overline {XM}}^{2}={\overline {BM}}^{2}+{\overline {XM}}^{2}={\overline {XB}}^{2}$$$${\overline {AX}}={\overline {XB}}\qquad \forall X\in r$$

Costruzione con righello e compasso

Costruzione con righello e compasso con $r={\overline {AB}}$

Per costruire l'asse del segmento $AB$ con righello e compasso si disegnano due cerchi di raggio uguale, purché sia $r>{\frac {1}{2}}{\overline {AB}}$, e i cui centri sono gli estremi del segmento.

L'asse è determinato dai punti di intersezione delle due circonferenze. La retta viene determinata senza conoscere il punto medio $M$, perciò si può ottenere tramite intersezione tra l'asse e il segmento.

Metodo analitico

Siano sul piano cartesiano $A=(x_{A},y_{A})$ e $B=(x_{B},y_{B})$ le coordinate dei due estremi, allora il punto medio è $M=(x_{M},y_{M})={\biggl (}{\frac {x_{A}+x_{B}}{2}},{\frac {y_{A}+y_{B}}{2}}{\biggr )}$ e il segmento appartiene alla retta di coefficiente angolare $m_{AB}={\frac {y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{a}}}$.

L'asse $r$ è per definizione perpendicolare ad $AB$, perciò ha coefficiente angolare $m_{r}=-{\frac {1}{m_{AB}}}$ e deve passare per $M$, da cui si ricava l'intercetta $q_{r}=y_{M}-m_{r}\cdot x_{M}$. Perciò l'equazione dell'asse è:$$y=m_{r}\cdot x+q_{r}$$

Proprietà dell'asse di un segmento

In un triangolo, tutti gli assi dei lati si incontrano nel circocentro O, che coincide con il centro della circonferenza circoscritta circoscritta al triangolo e sono sempre su di essi anche i centri J dei cerchi di Johnson. Il circocentro è interno al triangolo acutangolo, sul punto medio dell'ipotenusa del triangolo rettangolo e esterno all'ottusangolo.

Gli assi dei segmenti che individuano i lati di un poligono regolare si incontrano in un punto interno al poligono che è il centro della circonferenza inscritta e della circonferenza circoscritta.

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Bisection, su MathWorld, Wolfram Research.