Ettagono

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Un ettagono regolare.
Una costruzione di Neusi dell'angolo interno in ettagono regolare.

In geometria, un ettagono (o eptagono dal greco) è un poligono che ha sette lati e sette angoli. Si dice ettagono regolare un ettagono convesso con tutti i lati della stessa lunghezza e con gli angoli interni della stessa ampiezza (la somma degli angoli interni è sempre 900°), pari a 5\pi/7 radianti, circa 128,571 gradi. L'area di un ettagono regolare di lato a è data da

A = \frac{7}{4}a^2 \cot \frac{\pi}{7} \simeq 3{,}63391 a^2.

Un ettagono regolare non è costruibile con riga e compasso ma è costruibile con un righello graduato e compasso. Questo tipo di costruzione è chiamata costruzione di Neusi. È inoltre costruibile con il compasso, la riga ed il trisettore di angolo. L'impossibilità della costruzione tramite riga e compasso segue dall'osservazione che 2\cos(2\pi/7) \approx 1,247 è uno zero del polinomio irriducibile cubico x^3+x^2-2x-1. Di conseguenza questo polinomio è il polinomio minimo di 2\cos(2\pi/7), mentre il grado del polinomio minimo per un numero costruibile deve essere una potenza di 2.

Costruzione esatta[modifica | modifica wikitesto]

Una costruzione esatta, per quanto non ottenuta con l'uso classico di riga e compasso, può essere ottenuta grazie a una costruzione di Neusi (vedi figura accanto). OPQR è un quadrato di lato unitario; la retta verticale identificata dal punto A è l'asse del segmento OP mentre l'arco QB è tracciato con centro in O. La costruzione di Neusi comporta la ricerca di un segmento di lunghezza unitaria passante per P e i cui estremi cadano sull'asse di OP e sull'arco QB: l'angolo PAO è l'angolo interno dell'ettagono.

Costruzione approssimata[modifica | modifica wikitesto]

Approximated Heptagon Inscribed in a Circle.gif

Con riga e compasso classici un ettagono regolare non può essere costruito in modo esatto. Esiste tuttavia una costruzione molto semplice: usando come lato dell'ettagono l'altezza del triangolo equilatero costruito sul raggio del cerchio in cui si vuole inscrivere l'ettagono stesso, si ottiene un errore sull'angolo al centro pari a poco più di un decimo di grado.

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