Funzione cubica

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Polinomio di terzo grado

In matematica per funzione cubica si intende una funzione data da un'espressione della forma

f(x)=ax^3+bx^2+cx+d,

dove a è un numero reale o complesso diverso da zero; in altre parole una funzione cubica è una funzione data da un polinomio di terzo grado. La derivata di una funzione cubica è una funzione quadratica, mentre l'integrale di una funzione cubica è una funzione quartica.

Derivata e punti critici[modifica | modifica sorgente]

La derivata della funzione cubica, f'(x)=3ax^2+2bx+c e la richiesta f'(x)=0 implicano

x=\frac{-b \pm \sqrt {b^2-3ac\  }}{3a} .

Questa espressione simile alla formula per la soluzione dell'equazione quadratica, può essere usata per trovare i punti critici di una funzione cubica. Si trova quindi che

se b^2-3ac > 0\, , allora la funzione cubica ha due punti critici, un massimo locale e un minimo locale;
se b^2-3ac < 0, allora non vi sono punti critici.
se b^2-3ac = 0, allora non vi sono estremanti, ma vi è un punto di flesso in -b/3a

Cubiche bipartite[modifica | modifica sorgente]

La curva di equazione

y^2 = x(x-a)(x-b) dove 0 < a < b

viene chiamato cubica bipartita. Essa si incontra nella teoria delle curve ellittiche.

Si può ottenere il suo grafico con qualche strumento per la raffigurazione delle funzioni reali applicato alla funzione

g(x) = \sqrt{x(x-a)(x-b)}

corrispondente alla metà superiore della cubica bipartita. Essa è definita nell'insieme dell'asse reale

(0,a) \cup (b,+\infty).

Formula per le radici[modifica | modifica sorgente]

La formula generale che consente di trovare i valori esatti delle radici delle funzioni cubiche è piuttosto complicata. Quindi può essere opportuno servirsi in alternativa del test della radice razionale o ricercare una soluzione numerica.

Riferiamoci alle costanti che compaiono nell'espressione

f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d = a(x - x_1)(x - x_2)(x - x_3)

Valutiamo

q = \frac{3ac-b^2}{9a^2} e
r = \frac{9abc - 27a^2d - 2b^3}{54a^3}

e successivamente

s = \sqrt[3]{\frac{r}{2} + \sqrt{\frac{q^3}{27}+\frac{r^2}{4}}} e
t = \sqrt[3]{\frac{r}{2} - \sqrt{\frac{q^3}{27}+\frac{r^2}{4}}} .

Le soluzioni sono date da

x_1 = s+t-\frac{{b}}{{3}}
x_2=-\frac{1}{2}(s+t)-\frac{b}{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}(s-t)i
x_3=-\frac{1}{2}(s+t)-\frac{b}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}(s-t)i

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