Funzione quadratica

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In algebra, una funzione quadratica è una funzione in una o più variabili definita in modo esplicito attraverso un polinomio di secondo grado. Ad esempio, una funzione quadratica nelle variabili x, y, z ha la seguente forma generale: con almeno uno tra diverso da 0.

Una funzione quadratica in una variabile ha forma[1]:

Il suo grafico è una parabola con l'asse di simmetria parallelo all'asse y. Uguagliando a zero una funzione quadratica si ottiene una equazione di secondo grado; le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono dette radici del polinomio associato.

Grafico di una funzione quadratica definita da un polinomio di secondo grado con due radici reali e nessuna radice complessa

Una funzione quadratica in due variabili ha forma: con non contemporaneamente nulli. Il grafico di una funzione quadratica è, in generale, una ipersuperficie detta quadrica. Il sottoinsieme di descritto da è una sezione conica (ellisse, circonferenza, parabola, iperbole).

I coefficienti del polinomio che definisce la funzione possono essere reali o complessi, perché un polinomio può essere definito su qualunque anello. Nel caso in cui tutti i coefficienti dei termini di secondo grado siano uguali a zero, si parla di caso degenere della funzione.

I polinomi di secondo grado (e quindi anche le funzioni quadratiche) sono generalizzate sugli spazi vettoriali dal concetto di forma quadratica.

Etimologia[modifica | modifica wikitesto]

L'aggettivo quadratico deriva dal latino quadratum (quadrato). Un termine di secondo grado è detto quadrato perché rappresenta l'area di un quadrato di lato .

Forme nel caso in una variabile[modifica | modifica wikitesto]

Una funzione quadratica in una variabile può essere espressa in tre forme:

  • , forma normale;
  • , forma fattorizzata, con radici del polinomio associato;
  • , forma del vertice, dove sono le coordinate cartesiane del verice della parabola data dal grafico.

La conversione dalla forma normale a quella fattorizzata si effettua calcolando le radici del polinomio; la conversione dalla forma normale a quella del vertice si effettua attraverso il completamento del quadrato; la forma normale si ricava dalle altre due eseguendo le operazioni indicate.

Grafico della funzione in una variabile[modifica | modifica wikitesto]

A prescindere dalla forma dell'espressione, il grafico di una funzione quadratica in una variabile è una parabola. Da questo si ha, equivalentemente, che una parabola può essere descritta come .

Se , la parabola volge la concavità verso l'alto; se , la parabola volge la concavità verso il basso.

Il coefficiente controlla la curvatura del grafico: maggiore è il suo valore assoluto, più stretta è la parabola. I coefficienti e concorrono a definire la posizione dell'asse di simmetria della parabola, quindi la coordinata del vertice, data da . Il coefficiente controlla l'altezza della parabola; in particolare essa intercetta l'asse y nel punto di coordinate .

Vertice[modifica | modifica wikitesto]

Il vertice è il massimo o minimo assoluto della parabola. Se la funzione è nella forma del vertice, le sue coordinate sono .

Attraverso il completamento del quadrato, la forma normale

può essere trasformata in

;

ponendo (discriminante)

allora il vertice ha coordinate

quindi l'asse di simmetria passa per il vertice.

Se la funzione è in forma fattorizzata, sfruttando la simmetria della parabola, si dimostra che le coordinate del vertice possono essere calcolate equivalentemente come .

Siccome il punto di vertice è un massimo o un minimo della funzione quadratica, esso può essere trovato attraverso i teoremi dell'analisi matematica. Quindi, il punto di vertice deve essere radice della derivata:

in questo punto la funzione vale

quindi le coordinate del vertice sono:

in accordo con quanto trovato prima.

Radici della funzione in una variabile[modifica | modifica wikitesto]

Magnifying glass icon mgx2.svgLo stesso argomento in dettaglio: Equazione di secondo grado.
Grafico di una funzione quadratica con discriminante positivo con: *Radici e intersezioni con l'asse y in rosso *Vertice e asse di simmetria in blu *Fuoco e direttrice in rosa
Visualizzazione delle radici complesse di una funzione quadratica: la parabola è ruotata di 180° intorno al suo vertice (arancione). Le sue intersezioni con l'asse x sono ruotati di 90° intorno al loro punto medio e il piano cartesiano è interpretato come il piano complesso[2]

Le radici (o zeri) di una funzione in una variabile sono i valori di per i quali . Per il teorema fondamentale dell'algebra per una funzione quadratica le radici sono due (eventualmente coincidenti). Attraverso il completamento del quadrato si trova che:

.

Quindi a seconda del segno del discriminante si possono avere tre casi:

  • due radici reali e distinte,
  • due radici reali e coincidenti, con ,
  • due radici complesse distinte.

Il modulo delle radici non può essere più grande di [3], dove è la sezione aurea ().

Radice quadrata della funzione in una variabile[modifica | modifica wikitesto]

La funzione data dalla radice quadrata di una funzione quadratica in una variabile ha forma ed ha come grafico una ellisse o una iperbole.

Se il grafico è un'iperbole. La direzione dell'asse dell'iperbole è determinata dall'ordinata del vertice: se è negativa l'asse trasverso è verticale, se è negativa l'asse trasverso è orizzontale.

Se il grafico è un'ellisse se esistono due radici reali e distinte; altrimenti è un punto (radici coincidenti), oppure non esiste grafico sul piano cartesiano (radici complesse).

Iterazione[modifica | modifica wikitesto]

Iterare una funzione significa applicarla ripetutamente, sostituendo alla variabile indipendente il valore della funzione trovato nella iterazione precedente. L'iterazione n-esima viene indicata con ; la notazione può essere estesa ai numeri negativi se è possibile iterare la funzione inversa (se esiste) di . Non è sempre possibile scrivere l'espressione analitica di . Di seguito sono trattati due casi di funzioni quadratiche iterate in cui può essere scritto la forma analitica in modo esplicito.

Per la funzione (con parametri reali) la forma iterata è

ponendo

allora

quindi per induzione

sempre per induzione si ha che

allora è la soluzione esplicita.

La mappa logistica con parametro può essere risolta solo in alcuni casi, almeno uno dei quali è caotico e uno non lo è. Nel caso caotico la soluzione è

dove la condizione iniziale è data da . Per razionale, dopo un numero finito di iterazioni, entra in una sequenza periodica. Per irrazionale non si ripete mai con sensibile dipendenza dalle condizioni iniziali; siccome la maggior parte dei è irrazionale, il comportamento è caotico.

La soluzione della mappa logistica con è per .

Se , per ogni valore di diverso dal valore instabile , il termine per , quindi .

Funzione quadratica in due variabili[modifica | modifica wikitesto]

Magnifying glass icon mgx2.svgLo stesso argomento in dettaglio: Quadrica e Forma quadratica.

Una funzione quadratica in due variabili è una funzione definita da un polinomio di secondo grado della forma:

dove sono costanti e non sono contemporaneamente nulli. Il grafico di questa funzione è una superficie(quadrica). L'insieme descritto da è l'intersezione tra la superficie e il piano ovvero una sezione conica.

Massimi e minimi[modifica | modifica wikitesto]

Se la funzione non ha massimi né minimi; il grafico è un paraboloide iperbolico.

Se la funzione ha un punto di massimo () o di minimo (); il suo grafico è un paraboloide ellittico. Le coordinate del punto di massimo o minimo sono .

Se e la funzione non ha massimi né minimi; il suo grafico è un cilindro parabolico.

Se e la funzione raggiunge un punto di massimo () o minimo (); il suo grafico è un cilindro parabolico.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Roberto Ferrauto, Maurizio Campitelli, Armando Ferrauto e Albero Lanzara, I numeri e le funzioni, vol. 2, Roma, Società editrice Dante Aligieri, 2007, p. 95, ISBN 9788853406705.
  2. ^ Complex Roots Made Visible - Math Fun Facts, su math.hmc.edu. URL consultato il 1 ottobre 2016.
  3. ^ (EN) Nick Lord, Golden bound for the roots of quadratic equation, in Mathematical Gazzette, nº 91, novembre 2007, p. 549.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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