Ellisse

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Ellisse - a indica la lunghezza del semiasse maggiore, b quella del semiasse minore, F1 ed F2 identificano i due fuochi, c indica la distanza di uno qualunque dei fuochi dal centro e infine la somma è costante per definizione di ellisse e risulta pari a 2a, lunghezza dell'asse maggiore.
Tipi di sezioni coniche:
1. Parabola
2. Circonferenza ed ellisse
3. Iperbole

In geometria, un'ellisse (dal greco ἔλλειψις, col significato di "mancanza")[1] è una curva piana ottenuta intersecando un cono con un piano in modo da produrre una curva chiusa.

Affinché la sezione conica produca una curva chiusa, l'inclinazione del piano deve essere superiore a quella della generatrice del cono rispetto al suo asse. Per contro, le due sezioni coniche ottenute con piani aventi inclinazione pari o inferiore a quella della retta generatrice rispetto all'asse del cono danno vita ad altri due tipi di curve che sono però aperte e illimitate: la parabola e l'iperbole.

La circonferenza è un caso speciale di ellisse che si ottiene quando l'intersezione viene fatta con un piano ortogonale all'asse del cono.

Un'ellisse è anche il luogo geometrico dei punti del piano per i quali la somma delle distanze da due punti fissi detti fuochi rimane costante.

L'ellisse può essere anche una proiezione verticale su un piano orizzontale di una circonferenza appartenente ad un piano inclinato: se il piano inclinato forma un angolo con il piano orizzontale, la proiezione verticale della circonferenza è un'ellisse di eccentricità .

Dopo la circonferenza, si tratta infine della più semplice tra le figure di Lissajous, ottenuta dalla composizione dei due moti verticale e orizzontale di tipo sinusoidale della stessa frequenza.

In base alle leggi di Keplero, l'orbita di un pianeta è un'ellisse con il Sole che ne occupa uno dei due fuochi.

Elementi di una ellisse[modifica | modifica wikitesto]

Dimostrazione geometrica del fatto che la somma, costante per definizione, delle distanze di un punto qualsiasi dell'ellisse dai due fuochi risulta pari a 2a, lunghezza dell'asse maggiore. Essendo costante, per definizione, la somma suddetta e questo indipendentemente dal punto preso in considerazione, si può decidere di scegliere quello che si ritiene più conveniente ai fini della dimostrazione. Se in particolare si sceglie il punto B si nota come la somma sia pari proprio alla lunghezza 2a dell'asse maggiore.

L'ellisse è una curva simile a un cerchio allungato in una direzione: è un esempio di sezione conica e può essere definita come il luogo dei punti del piano per i quali la somma delle distanze da due punti fissi, detti fuochi, rimane costante. Se i due fuochi coincidono si ha una circonferenza, che può quindi considerarsi un caso particolare di ellisse (ad eccentricità nulla).

È una curva simmetrica sia rispetto all'asse delle ascisse, sia rispetto all'asse delle ordinate, sia rispetto al centro. La distanza tra i punti antipodali dell'ellisse, vale a dire tra punti simmetrici rispetto al suo centro, è massima lungo l'asse maggiore (che contiene anche i due fuochi) ed è minima lungo l'asse minore perpendicolare a quello maggiore. Il semiasse maggiore è una delle due metà dell'asse maggiore: parte dal centro, passa attraverso un fuoco e arriva all'ellisse. Analogamente il semiasse minore è metà dell'asse minore. I due assi sono per l'ellisse l'equivalente del diametro per la circonferenza, mentre i due semiassi sono l'equivalente del raggio.

La dimensione e la forma di un'ellisse sono determinate da due costanti reali positive, dette convenzionalmente e . La costante maggiore è la lunghezza del semiasse maggiore mentre la costante minore quella del semiasse minore.

Equazioni[modifica | modifica wikitesto]

Relazione tra i parametri a, b e c di un'ellisse. Se scegliamo in particolare il punto C, dovendo essere costante e pari a 2a la somma delle distanze dei due fuochi da C ed essendoci simmetria rispetto al punto C, ciascuna delle due distanze sarà pari ad a. Applicando il teorema di Pitagora si ricava che

L'equazione dell'ellisse si trova eguagliando la somma delle distanze fra i due fuochi ed e un punto generico con il doppio del semiasse maggiore:

e questo equivale a:

Per trovare l'equazione canonica o normale dell'ellisse, con centro nell'origine e i fuochi sull'asse delle (cioè ), sostituiamo , , , , . Dopo alcuni passaggi si ricava che l'ellisse centrata nell'origine di un sistema di assi cartesiani con l'asse maggiore posto lungo l'asse delle ascisse è definita dall'equazione:

La stessa ellisse è rappresentata anche dall'equazione parametrica:

che fa uso delle funzioni trigonometriche seno e coseno.

Eccentricità[modifica | modifica wikitesto]

L'eccentricità di un'ellisse è compresa tra e ed è il rapporto della distanza tra i due fuochi ed e la lunghezza dell'asse maggiore :

L'eccentricità rende conto della forma più o meno schiacciata dell'ellisse: quando è uguale a , i due fuochi coincidono e l'ellisse degenera in una circonferenza di raggio . Facendo tendere l'eccentricità a , l'ellisse si schiaccia sempre più e quando assume il valore unitario essa degenera in un segmento lungo percorso due volte, quindi la lunghezza dell'ellisse è uguale a .

Semilato retto

Semilato retto[modifica | modifica wikitesto]

Il semilato retto di un'ellisse, solitamente denotato dalla lettera , è la distanza tra ciascuno dei fuochi dell'ellisse e l'ellisse stessa misurata lungo una linea perpendicolare all'asse maggiore. È legato ad e dalla formula

Corde e diametri[modifica | modifica wikitesto]

Come per le altre coniche, anche per l'ellisse vale la proprietà seguente:

i punti medi di un fascio di corde parallele sono allineati.

Il segmento che congiunge i punti medi di un fascio di corde parallele prende il nome di diametro dell'ellisse. I punti medi delle corde parallele ad un diametro dell'ellisse costituiscono il diametro coniugato al diametro dato. Due diametri coniugati si intersecano nel centro dell'ellisse. Gli assi di simmetria dell'ellisse sono gli unici diametri coniugati perpendicolari tra loro. La retta tangente ad un'ellisse nell'estremo di un diametro è sempre parallela al diametro coniugato.

Equazione in coordinate polari relative a uno dei fuochi[modifica | modifica wikitesto]

Coordinate polari con centro in uno dei fuochi.

In coordinate polari, un'ellisse con un fuoco nell'origine e con la coordinata angolare misurata a partire dall'asse maggiore è rappresentata dall'equazione:

dove denota il semilato retto e la coordinata angolare è l'angolo che la retta r passante per forma con l'asse maggiore (vedere figura a lato).

Se si considera la retta passante per il fuoco e la coordinata angolare è l'angolo che la retta passante per forma con l'asse maggiore, l'equazione diviene:

Area[modifica | modifica wikitesto]

L'area racchiusa da un'ellisse è data da

Tangente a un'ellisse in un suo punto: formula dello sdoppiamento[modifica | modifica wikitesto]

Tangente a un'ellisse in un suo punto P0(x0,y0).
Coefficiente angolare:
Equazione:

L'equazione della retta tangente all'ellisse in un suo punto è:

Il suo coefficiente angolare è dato da:

Dimostrazione algebrica[modifica | modifica wikitesto]

Scriviamo un sistema di tre equazioni: la prima è l'equazione dell'ellisse, la seconda impone l'appartenenza all'ellisse del punto , la terza impone il passaggio della tangente per il punto con inclinazione da determinare:

Nella prima e seconda equazione i secondi membri sono uguali a e quindi anche i primi membri saranno tra essi uguali:

Consideriamo l'equazione della tangente:

Sostituendo nella prima equazione:

Per la legge di annullamento del prodotto:

Facilmente verificabile poiché il punto appartiene all'ellisse.

Nel secondo fattore invece:

Poiché e :

(coefficiente angolare della retta tangente nel punto )

Sostituiamo la pendenza m nell'equazione della retta:

Per ipotesi nel sistema

Quindi:

Dimostrazione differenziale[modifica | modifica wikitesto]

Una dimostrazione alternativa può essere fatta ricorrendo alla derivata della "funzione" ellisse[2] nel punto : basta infatti ricordare che la derivata di una funzione in un suo punto coincide con il coefficiente angolare della retta tangente nel punto stesso. Effettuando quindi la derivata rispetto a dell'equazione dell'ellisse otteniamo:

Poiché , come detto, coincide con la tangente, ovvero con il coefficiente angolare , si ottiene

che calcolata nel punto fornisce:

Proprietà tangenziale[modifica | modifica wikitesto]

TangenteEllisse.png

Una tangente all'ellisse in un suo punto forma angoli uguali con le rette passanti per e per ciascuno dei due fuochi.

Per dimostrare questa proprietà si può ricorrere al teorema di Erone in base al quale data una retta e due punti ed ad essa esterni, il punto della retta che minimizza la somma è quello per il quale i segmenti e formano angoli uguali con la retta .

Consideriamo a tale scopo un'ellisse con fuochi ed : un suo qualunque punto soddisfa la condizione

Si tenga inoltre presente che per un qualunque punto interno all'ellisse vale la condizione

Consideriamo ora una retta passante per un punto dell'ellisse tale da formare angoli uguali con i segmenti e : per il teorema di Erone il punto è il punto della retta che rende minima la somma . Ciò implica che la retta deve essere tangente all'ellisse: infatti se così non fosse, la retta entrerebbe dentro l'ellisse e detto un suo punto ad essa interno varrebbe la condizione in contrasto con il teorema di Erone per il quale in e non in si sarebbe dovuta registrare la minima somma. Resta così dimostrata l'affermazione iniziale.

Vediamo alcune conseguenze di questo enunciato.

In un tavolo da biliardo a forma di ellisse una palla lanciata da uno dei due fuochi verrà riflessa dal bordo e passerà necessariamente per l'altro fuoco. La stessa cosa si verificherà in uno specchio concavo a forma di ellisse nel quale tutti i raggi luminosi emessi da uno dei due fuochi passeranno necessariamente per l'altro fuoco indipendentemente dalla direzione seguita: da qui deriva il nome di fuochi dati a questi due particolari punti dell'ellisse. Analogamente, in una camera a forma di ellisse le onde sonore che partono da uno dei due fuochi raggiungeranno l'altro da tutte le direzioni e poiché la distanza percorsa nel tragitto da un fuoco all'altro è sempre la stessa le onde arriveranno tutte sincronizzate: questo spiega perché due persone poste nei due fuochi possono comunicare facilmente anche da lunghe distanze, mentre due persone, anche notevolmente più vicine tra loro ma non situate nei fuochi, potrebbero non sentire le parole dell'altra.

Tangente a un'ellisse passante per un suo punto[modifica | modifica wikitesto]

Costruzione della retta tangente all'ellisse nel suo punto P

Si consideri una ellisse di fuochi , e asse maggiore e un punto appartenente all'ellisse. Esistono due metodi grafici per tracciare la tangente in un punto dell'ellisse.[3]

Primo metodo[modifica | modifica wikitesto]

Tracciare i segmenti e . Tracciare la bisettrice dell'angolo . Tracciare la retta perpendicolare a s nel punto . La retta è la retta tangente cercata.

Basta dimostrare che tale retta soddisfa la proprietà tangenziale precedentemente descritta. Infatti gli angoli e sono congruenti in quanto differenza di angoli rispettivamente congruenti (ai due angoli retti sono sottratti gli angoli e congruenti per la bisettrice)

Secondo metodo[modifica | modifica wikitesto]

Tracciare la circonferenza di centro e raggio . Tracciare il segmento e prolungarlo fino ad incontrare il punto sulla circonferenza. Tracciare . Tracciare il segmento . Fissare il punto medio di . La retta passante per i punti e è la retta tangente cercata.

È possibile infatti dimostrare che tale retta soddisfa la proprietà tangenziale precedentemente descritta. in quanto differenza di segmenti congruenti ( e . Quindi il triangolo è isoscele e la mediana relativa alla base è anche bisettrice e dunque gli angoli e sono congruenti. D'altra parte gli angoli e sono congruenti in quanto opposti al vertice. E quindi e sono congruenti per la proprietà transitiva.

Tangenti a un'ellisse passante per un punto esterno[modifica | modifica wikitesto]

Tangenti a un'ellisse centrata nell'origine condotte da un punto P(xp,yp) ad essa esterno.
I coefficienti angolari delle due rette si ottengono risolvendo l'equazione di secondo grado:

I coefficienti angolari delle tangenti a un'ellisse : condotte da un punto ad essa esterno si ricavano dalla risoluzione della seguente equazione di secondo grado:

con e .

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Si traslano l'ellisse e il punto di un vettore , in modo da ottenere l'ellisse : e il punto , con e . Sapendo che nella traslazione si conserva anche il parallelismo, allora i coefficienti angolari delle tangenti a passanti per sono uguali a quelli delle tangenti a passanti per il punto . Si scrive il sistema di due equazioni con la prima relativa all'equazione dell'ellisse e la seconda relativa al fascio di rette passanti per il punto

Si impone la condizione di tangenza, ovvero che il discriminante si annulli:

Costruzione geometrica delle rette tangenti ad una ellisse condotte da un punto esterno[modifica | modifica wikitesto]

Rette tangenti ad una ellisse condotte da un punto esterno

È data una ellisse di fuochi , e asse maggiore , e un punto esterno all'ellisse. Esistono due metodi per tracciare le rette tangenti all'ellisse condotte dal punto esterno .[3]

Primo metodo[modifica | modifica wikitesto]

Tracciare la circonferenza di centro e raggio . Tracciare la circonferenza di centro e raggio . Le due circonferenze si intersecano nei punti e . Tracciare i segmenti e . Fissare i punti ed di intersezione tra i due segmenti e l'ellisse. Le rette e sono le rette tangenti cercate.

Basta dimostrare infatti che tali rette soddisfano la proprietà tangenziale sopra descritta. Anzitutto si osserva che i triangoli e sono congruenti perché hanno i tre lati ordinatamente congruenti: è in comune, perché raggi della stessa circonferenza e in quanto differenze di segmenti rispettivamente congruenti, infatti e . In particolare gli angoli . D'altra parte anche gli angoli e quindi la proprietà tangenziale è dimostrata.

Secondo metodo[modifica | modifica wikitesto]

Tracciare la circonferenza di centro e raggio . Tracciare la circonferenza di centro e raggio . Le due circonferenze si intersecano nei punti e . Tracciare i segmenti e . Condurre per la retta perpendicolare al segmento . Condurre per la retta perpendicolare al segmento . Le rette ed sono le rette tangenti cercate.

Dalla dimostrazione precedente si osserva che è bisettrice dell'angolo al vertice del triangolo isoscele e quindi è anche altezza.

Equazione generale di un'ellisse[modifica | modifica wikitesto]

L'equazione generale dell'ellisse avente i fuochi ed posti in posizione generica sul piano cartesiano e avente il semiasse maggiore denotato con è data da

dove i parametri , , , , ed sono uguali a

Lunghezza[modifica | modifica wikitesto]

La lunghezza dell'ellisse è

ed è l'eccentricità.

dove la funzione è l'integrale ellittico completo di seconda specie.

Lo sviluppo in serie è:

Una semplice ma poco raffinata approssimazione per la lunghezza è

che fornisce il risultato esatto quando l'ellisse è una circonferenza, cioè per , mentre dà un risultato approssimato per eccesso negli altri casi. Nel caso limite in cui la formula dà , mentre il valore esatto è . La formula è più precisa per ellissi con bassa eccentricità. Utilizzare questa formula equivale ad assumere che l'ellisse abbia la stessa lunghezza di una circonferenza che ha raggio uguale alla media quadratica dei semiassi dell'ellisse.

Un'approssimazione migliore si ottiene con uno sviluppo in serie nel modo seguente: posto si ha

Anche in questo caso l'approssimazione è migliore per le ellissi di bassa eccentricità.

Due formule approssimate sono dovute a Ramanujan[4]:

Entrambe le formule danno il risultato esatto per una circonferenza. Nel caso di ellisse degenere in un segmento (, ) la prima dà , mentre la seconda dà , quando il risultato esatto è .

Metodo della tangente[modifica | modifica wikitesto]

Fissare i due fuochi e e l'asse maggiore di lunghezza (con ). Costruire una circonferenza di centro e raggio . Fissare sulla circonferenza un punto generico . Tracciare il raggio . Tracciare il segmento e l'asse di tale segmento (retta perpendicolare al segmento passante per il suo punto medio ) che interseca nel punto . Il punto è equidistante da e da in quanto sta sull'asse del segmento . Dunque . D'altra parte e quindi . Quindi è un punto dell'ellisse. Questo metodo viene detto della tangente in quanto la retta è la tangente all'ellisse nel punto , infatti gode della proprietà tangenziale, precedentemente descritta.

Metodo del giardiniere[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Ellisse del giardiniere.

In questo caso sono note le lunghezze degli assi che danno il rettangolo di ingombro (rettangolo circoscritto all'ellisse). In breve, basta immaginare che la linea rossa nella figura qui accanto sia la corda utilizzata dal "giardiniere" per tracciare l'ellisse.

Film[modifica | modifica wikitesto]

  • Nel film Agorà del 2009, Ipazia, interpretata da Rachel Weisz, studiando l'orbita della Terra attorno al Sole, traccia sulla sabbia un'ellisse con il metodo del giardiniere. In alcuni momenti si vede anche un cono di Apollonio.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ ellisse, in Treccani.it – Vocabolario Treccani on line, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 15 marzo 2011.
  2. ^ Una ellisse con gli assi paralleli agli assi cartesiani non è una funzione in quanto ad ogni ascissa interna all'ellisse corrispondono due valori di anziché uno e uno solo: sono però funzioni le due semiellissi che la compongono e il risultato è identico per ciascuna di esse.
  3. ^ a b Cfr. il sito Nabla, Publisher of books and software in mathematics and computer science [1]
  4. ^ (EN) Srinivasa Ramanujan Aiyangar, Godfrey Harold Hardy e P. Veṅkatesvara Seshu Aiyar, Collected Papers of Srinivasa Ramanujan, American Mathematical Soc., 1° gennaio 1927, ISBN 9780821820766. URL consultato il 14 febbraio 2016.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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