Leggi di Keplero

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Le leggi di Keplero sono tre leggi concernenti il movimento dei pianeti. Sono il principale contributo di Johannes von Kepler all'astronomia e alla meccanica.

L'astronomo tedesco le derivò studiando le osservazioni di Tycho Brahe. Isaac Newton, successivamente, dedusse dalle leggi di Keplero la spiegazione dinamica dei moti planetari introducendo, quale causa del moto, una forza, detta forza di gravitazione universale. Newton dimostrò anche il teorema inverso, ossia che dalla sua legge generale del moto e dalla forza di gravità si ottengono, in maniera equivalente, le leggi di Keplero.

Prima Legge (Legge delle orbite ellittiche, 1609)[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Derivazione delle leggi di Keplero.
Parametri caratteristici dell'orbita

La prima legge afferma che:

« L'orbita descritta da un pianeta è un'ellisse, di cui il Sole occupa uno dei due fuochi. »

Con questa definizione capiamo quindi che la distanza della terra dal sole non è sempre uguale ma cambia. Infatti il punto in cui il nostro pianeta si trova più distante dal sole è detto afelio, mentre il punto in cui la Terra è più vicino si chiama perielio.

Keplero propone un modello eliocentrico in cui le orbite non sono circolari, rinunciando così, per la prima volta, alle forme perfette; egli è supportato, nel farlo, dai dati osservativi ottenuti da Tycho Brahe.

Osserviamo che, poiché l'ellisse è una figura piana, i moti dei pianeti avvengono in un piano, detto piano orbitale. Per la Terra tale piano è detto eclittica.

Nella figura a fianco è rappresentata un'orbita ellittica, con indicati i suoi parametri caratteristici: semiasse maggiore (a), semiasse minore (b), semi-distanza focale (c), eccentricità (e).

Tra questi parametri esistono le relazioni varie tra i seguenti pianeti attorno al Sole:

L'ellisse in figura ha un'eccentricità di circa 0,5 : un'ellisse con tale caratteristica è assai frequente tra le orbite degli asteroidi. I pianeti hanno invece eccentricità molto più piccole: 0,0167 per la Terra, 0,0934 per Marte e 0,2482 per Plutone (pianeta nano).

Le parti più importanti dell'ellisse sono il raggio vettore che unisce il centro del sole al centro di un pianeta. Poi troviamo la linea degli apsidi, che è la retta passante per i due fuochi dell’ellisse insieme ai suoi punti di intersezione con l’ellisse chiamati apsidi o vertici.

La distanza dei pianeti dal Sole non è costante, ma varia da un massimo (afelio) a un minimo (perielio).

La prima legge di Keplero è molto importante perché essa separa definitivamente la teoria eliocentrica di Nicolò Copernico con la teoria geocentrica di Tolomeo.

Con questa legge propone un modello eliocentrico in cui le orbite non sono circolari ma ellittiche, e in questo modo fu il primo a rinunciare alla forma perfetta.

Seconda Legge (Legge delle aree, 1609)[modifica | modifica wikitesto]

Illustrazione della legge delle aree

La seconda legge afferma che:

« Il segmento (raggio vettore) che unisce il centro del Sole con il centro del pianeta descrive aree uguali in tempi uguali. »

La velocità orbitale al perielio è maggiore a quella all’afelio perché la parte di orbita che il pianeta percorre nello stesso periodo di tempo è maggiore. L’area descritta dal raggio vettore però rimane invariata perché la sua lunghezza nei due casi è differente.

Conseguenze della seconda legge[modifica | modifica wikitesto]

  • La velocità orbitale non è costante, ma varia lungo l'orbita. Le due aree evidenziate nella figura qui a fianco sono infatti uguali e vengono quindi percorse nello stesso tempo. In prossimità del perielio, dove il raggio vettore è più corto che nell'afelio, l'arco di ellisse è corrispondentemente più lungo. Ne segue quindi che la velocità orbitale è massima al perielio e minima all'afelio.
  • Il momento angolare orbitale del pianeta si conserva (vedi riquadro sotto per la dimostrazione).
  • La velocità lungo una determinata orbita è inversamente proporzionale al modulo del raggio vettore. Questa è una conseguenza della conservazione del momento angolare. Se L, dato dal prodotto di m, r e vt è costante, allora ne discende che vt è inversamente proporzionale a r (si veda "momento angolare" per la definizione di L, m, r e vt).
  • Sul pianeta viene esercitata una forza centrale, cioè diretta secondo la congiungente tra il pianeta e il Sole. La seconda legge della dinamica per i sistemi in rotazione è

dove M è il momento meccanico applicato. Poiché L si conserva, la sua variazione è nulla e quindi anche M è nullo. Questo può accadere solo se F è parallelo a r, cioè è diretto come la congiungente con il Sole.

Keplero velocità areolare.jpg

La seconda legge di Keplero risulta quindi generalizzabile a un qualsiasi moto centrale, legando l'accelerazione tangenziale alla velocità areolare. Nella figura qui a fianco OA rappresenta il raggio vettore e AB la traiettoria del pianeta nel tempo Δ t. Se Δ t è sufficientemente piccolo, AB può essere approssimato da un segmento di retta. Sia inoltre θ l'angolo tra il raggio vettore e AB. Nel tempo Δ t viene quindi descritta un'area

La velocità areolare è quindi

essendo

la velocità orbitale istantanea. Poiché è il modulo del momento angolare, risulta . Se è costante, anche L lo è.

La seconda legge di Keplero non è altro che la conservazione del Momento angolare (la costanza del momento angolare, deriva, a sua volta, dal fatto che la forza è centrale).

Terza Legge (Legge dei periodi, 1619)[modifica | modifica wikitesto]

Keplero terza legge.jpg

La terza legge afferma che:

« I quadrati dei tempi che i pianeti impiegano a percorrere le loro orbite sono proporzionali al cubo delle loro distanze medie dal sole. »

Il rapporto tra il quadrato del periodo di rivoluzione e il cubo del semiasse maggiore dell'orbita è lo stesso per tutti i pianeti

Questa legge può essere espressa in forma matematica nel modo seguente:

dove è il semiasse maggiore dell'orbita, T il periodo di rivoluzione e K una costante (a volte detta di Keplero), che dipende dal corpo celeste attorno al quale avviene il moto di rivoluzione.

Se si considera il moto di rivoluzione dei pianeti del sistema solare attorno al Sole, si misurano le distanze in unità astronomiche e il tempo in anni solari, K vale 1. Rimarchiamo il fatto che la terza legge vale anche per i satelliti che orbitano intorno ai pianeta: il valore della costante, cambia da pianeta a pianeta mentre per un fissato pianeta, essa è uguale per tutti i satelliti del suddetto pianeta. Per un'orbita circolare la formula si riduce a

dove r è il raggio dell'orbita.

Si può dimostrare che , con per il caso gravitazionale e massa ridotta. La dimostrazione è particolarmente semplice nel caso di orbita circolare di raggio e nell'approssimazione in cui una massa (per esempio quella del sole) sia molto più grande dell'altra (pianeta), ovvero . La forza di attrazione gravitazionale è , e la forza centrifuga (supponendo fissa) è dove è la pulsazione e il periodo. Uguagliando le due forze si ottiene

Limiti di validità delle leggi di Keplero[modifica | modifica wikitesto]

Va specificato che le leggi di Keplero sono esatte se e solo se sono soddisfatte le seguenti ipotesi:

  • la massa del pianeta è trascurabile rispetto a quella della stella di riferimento;
  • si possono trascurare le interazioni tra diversi pianeti (tali interazioni portano a leggere perturbazioni sulla forma delle orbite);
  • l'intensità della gravità permette di trascurare gli effetti della teoria della relatività generale.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Frederick J. Bueche, Fisica, Milano, Principato, 1991,
  • Paride Nobel, Fenomeni Fisici, Napoli, Editrice Ferraro, 1994 ISBN 88-7271-126-6

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