Traiettoria

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La traiettoria è il luogo geometrico delle posizioni assunte dal centro di massa di un corpo in moto. In meccanica classica è in generale una curva continua e derivabile nello spazio euclideo tridimensionale. Può essere ricavata a partire dalla legge oraria, separandola nelle equazioni parametriche nel tempo delle tre coordinate estrinseche, mentre non è possibile il contrario poiché nella traiettoria non sono presenti informazioni sulla velocità.

Coordinate intrinseche cartesiane[modifica | modifica wikitesto]

Può essere spesso utile esprimere la traiettoria in modo autoreferenziale nel triedro fondamentale, composto dai vettori di Frenet tridimensionali ottenuti successivamente dal versore tangente col procedimento di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt:

Un sistema di Frenet in tre dimensioni e il relativo piano osculatore evidenziato
Versore tangente[modifica | modifica wikitesto]

Viene definito come appartenente alla tangente alla traiettoria, cioè la sua approssimazione al prim'ordine, con verso quello di percorrenza.

Parametrizzare naturalmente la curva significa adimensionalizzarla nella velocità scalare. Ciò è particolarmente utile per le coordinate intrinseche poiché il vettore tangente coincide con la velocità vettoriale adimensionale:

,

e l'azione cinematica[1] S, definita intensiva (propria cioè di un corpo di massa unitaria che la percorra) e unicamente cinetica, se la traiettoria è naturalmente parametrizzata diventa uguale alla semidurata del moto:

.
Versore normale[modifica | modifica wikitesto]

Comincia ora l'ortogonalizzazione: poiché però ds ha per definizione solo componente tangente, dovremo avere a disposizione un altro vettore, che ricaviamo di nuovo intrinsecamente come . A questo punto:

Se è naturalmente parametrizzato, il versore normale si riduce a:

.

I versori tangente e normale generano un piano, chiamato piano osculatore Πtn della curva.

Velocità e accelerazione appartengono a questo piano:

Versore binormale[modifica | modifica wikitesto]

Ovviamente sarebbe possibile anche in questo caso definirlo con l'ortogonalizzazione. Essendo però il caso di interesse tridimensionale, il terzo elemento della base è anche semplicemente definibile:

Se è naturalmente parametrizzato, questo si riduce semplicemente a:

Va aggiunto notevolmente che se il versore si mantiene costante nel sistema di riferimento considerato, lo fa anche il piano osculatore: il moto si definisce allora piano.

Curvature estrinseche[modifica | modifica wikitesto]

Sono curvature piane legate ad un sistema di riferimento esterno alla curva, e non definibili in un sistema solidale alla curva. Risolvendo l'equazione differenziale vettoriale del prim'ordine chiamata Formula di Frenet-Serret a tre dimensioni:

Formalmente, il Teorema fondamentale delle curve afferma nel caso tridimensionale che date le curvature estrinseche: sufficientemente differenziabili, con: (ne basta cioè una), esiste un'unica curva naturalmente parametrizzata avente date curvature , a meno di isometrie, che si trova risolvendo l'equazione naturale nelle curvature. Se valgono inoltre per la prima equazione scalare della formula di Frenet:

Ma allora[2]:

Il cerchio osculatore
Curvatura normale[modifica | modifica wikitesto]

Dalla prima equazione della formula di Frenet:

Inoltre dalla relazione subito sopra che lega le curvature solo nelle prime due derivate:

Costituisce allora un'approssimazione di second'ordine della curva indirettamente sotto forma del circonferenza osculatrice Κ, per definizione:

Il luogo dei suoi centri CΓ, detti di curvatura è l'evoluta della traiettoria. Nei punti di massima curvatura locale il cerchio osculatore non è mai secato dalla traiettoria.

Avvitamento geodesico[modifica | modifica wikitesto]

Dall'ultima equazione della formula di Frenet:

Inoltre dalla relazione che lega le curvature in tutte e tre le derivate:

Costituisce un indice dell'aplanarità del moto, anche sotto forma della circonferenza d'avvitamento Γ, per definizione:

Nel moto piano è nulla non avendo lo spostamento una componente binormale: il piano osculatore rimane per tutto il moto unico, ed è quindi rinominabile piano del moto, un moto elicoidale che è unico lungo tutto il moto: il piano osculatore si sposta di moto uniforme, in particolare rettilineo poiché la binormale mantiene la propria orientazione costante.

Equazione di Lancret[modifica | modifica wikitesto]

Si può definire anche una terza curvatura, sintesi delle precedenti poiché definita come:

Vale ovviamente il Teorema di Pitagora per via dell'ortogonalità della base (il triedro fondamentale)[3]:

E quindi vale l'equazione detta di Lancret:

.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ il nome è giustificato in quanto le sue geodetiche per massa costante sono le Equazioni di Lagrange
  2. ^ Coxeter 1969, p. 322
  3. ^ Kreyszig, E. Differential Geometry. New York: Dover, p. 47, 1991

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