Principio di indeterminazione di Heisenberg

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Werner Karl Heisenberg nel 1927, quando si occupò dei principi della meccanica quantistica e in particolare del principio di indeterminazione.

In meccanica quantistica, il principio di indeterminazione di Heisenberg stabilisce i limiti nella conoscenza e nella misurazione dei valori di grandezze fisiche coniugate[1] o, nelle formulazioni più recenti e generali, incompatibili[3] in un sistema fisico.

Nella forma più nota, viene espresso dalla relazione

fra l'incertezza sulla posizione () e quella sulla quantità di moto () di una particella, dove è la costante di Planck ridotta.

Enunciato nel 1927 da Werner Karl Heisenberg[4] e confermato da innumerevoli esperimenti, rappresenta un concetto cardine della meccanica quantistica e sancisce una radicale rottura rispetto alle leggi della meccanica classica.

Introduzione[modifica | modifica wikitesto]

« Nell'ambito della realtà le cui condizioni sono formulate dalla teoria quantistica, le leggi naturali non conducono quindi a una completa determinazione di ciò che accade nello spazio e nel tempo; l'accadere (all'interno delle frequenze determinate per mezzo delle connessioni) è piuttosto rimesso al gioco del caso. »
(Werner Karl Heisenberg,[5] 1942)

Nella formulazione moderna, introdotta da E. H. Kennard[6] sempre nel 1927, l'indeterminazione precedente assume la forma di una disuguaglianza del prodotto tra la deviazione standard della posizione e quella della quantità di moto di una particella:

.

La relazione indica che il prodotto delle due deviazioni standard è sempre maggiore di o al più uguale ad un valore minimo. In questi termini il principio d'indeterminazione implica che per una particella non è possibile misurare (nello stesso istante temporale o in tempi successivi[7]), e quindi non è possibile conoscere, un definito valore della posizione e della quantità di moto con precisione assoluta, ovvero con incertezza nulla. Tanto più si tenta di ridurre l'incertezza () su una variabile, tanto più aumenta l'incertezza sull'altra (relazione di proporzionalità inversa tra le due deviazioni standard).

In termini più generali, quando due grandezze fisiche, dette osservabili fisiche, non possono essere misurate entrambe sullo stesso sistema sono dette complementari. Esempi di coppie di osservabili complementari sono le componenti dei vettori di spin (o del momento angolare), la posizione e la velocità in una direzione. Osservabili complementari hanno necessariamente commutatore non nullo, e risultano pertanto anche incompatibili. In tal senso, l'indeterminazione è legata al principio di complementarità e al dualismo onda-particella, secondo cui le particelle subatomiche esibiscono proprietà sia corpuscolari, sia ondulatorie. Poiché il principio d'indeterminazione esprime l'impossibilità di determinare con precisione a priori illimitata i valori di due variabili incompatibili, l'osservatore dovrà scegliere quale misura privilegiare e disporre gli strumenti di conseguenza. Si noti che il principio d'indeterminazione non si applica a tutte le possibili coppie di osservabili. Ad esempio, è sempre possibile, in linea di principio, misurare contemporaneamente posizione e carica elettrica con precisione arbitraria. In maniera analoga, mentre il principio d'indeterminazione si applica alla misura di e della componente della quantità di moto lungo , questo non si applica alla misura contemporanea di e di (dato che ). Infine, tale principio non pone invece vincoli alla misura di una singola grandezza, che può essere determinata con precisione arbitraria.

I dettagli del processo di misura, così come l'interpretazione della meccanica quantistica e dei suoi postulati, stabiliscono una serie di relazioni e disuguaglianze d'indeterminazione[8] che possono essere correlate di volta in volta all'indeterminazione intrinseca (disuguaglianza di Robertson), all'impossibilità di conoscere i dettagli di un sistema senza perturbarlo (indeterminazione di Heisenberg), alla mancata presenza di significato di due osservabili in contemporanea per lo stesso sistema (principio di complementarità di Bohr), o anche ai limiti di precisione degli apparati di misura. Negli anni si è appurato che dai postulati della meccanica quantistica è possibile ricavare tali relazioni (sia la formulazione originale,[9] [10] sia quelle successive[6][11][12][13]), cioè dimostrare perché certe coppie di grandezze fisiche non siano misurabili, contemporaneamente o in successione, con precisione arbitraria (e men che meno assoluta).

Il ruolo del principio d'indeterminazione nella fisica moderna e nei fondamenti della meccanica quantistica è stato oggetto di un lungo dibattito.[14] Strettamente parlando, le relazioni di indeterminazione sono ricavate come conseguenza dei postulati della meccanica quantistica. Secondo un possibile punto di vista, l'importanza della scoperta di Heisenberg è quindi principalmente storica, rilevante più che altro per aver messo in evidenza le proprietà di una teoria completamente diversa dalla fisica classica.[15] Tuttavia, secondo un diverso punto di vista, il principio d'indeterminazione nella sua forma più generale di indeterminismo quantico resta un principio d'assoluta generalità che, al pari del principio di relatività, risulta fondamento della fisica moderna.[14]

Indeterminazione e non commutatività[modifica | modifica wikitesto]

Nella formulazione hamiltoniana della meccanica quantistica, le variabili fisiche sono rappresentate da operatori autoaggiunti,[16] come (posizione della particella) e (componente del momento della particella lungo ).

Questi due operatori non commutano, come si vede calcolando i prodotti e su una funzione d'onda monodimensionale  :

.

Dal confronto è evidente che il commutatore tra e risulta essere non nullo :

Il commutatore di e coincide, a meno della costante , con l'esempio fatto sopra:

.

Eliminando la generica funzione d'onda da tutti i membri, si trova il valore del commutatore tra e come equazione fra operatori:

.

In generale, due grandezze osservabili e , corrispondenti ad operatori autoaggiunti e che non commutano, sono dette incompatibili.[2]

In particolare, se il commutatore vale , le corrispondenti osservabili incompatibili ( e , ad esempio) sono anche canonicamente coniugate.[19]

Il principio d'indeterminazione di Heisenberg riguarda osservabili incompatibili e coniugate, il cui commutatore è del tipo .[20] Tali osservabili non sono conoscibili entrambe, a seguito di misure simultanee o successive, con precisione arbitraria. Ad esempio, il valore del commutatore tra e impone che la posizione e il momento lineare lungo tale direzione siano grandezze incompatibili e coniugate, ovvero non determinabili entrambe con precisione arbitraria.

Nel caso dei momenti angolari atomici dell'idrogeno, E. U. Condon[21] nel 1929 produsse tre esempi d'apparente violazione della relazione d'indeterminazione di Heisenberg[22]. In tutti e tre i casi si trattava d'osservabili incompatibili ma non coniugate, il cui commutatore è del tipo . Per queste osservabili non vale la disuguaglianza di Heisenberg (che si applica ad osservabili incompatibili e coniugate), ma solo quella di Robertson,[23] che si applica a tutte le osservabili incompatibili. L'apparente violazione era in realtà risolta, data l'inapplicabilità dell'indeterminazione di Heisenberg ai tre esempi di Condon.

Disuguaglianza di Robertson[modifica | modifica wikitesto]

Facendo uso delle deviazioni standard e di due osservabili incompatibili e associate a un sistema quantistico, il principio di indeterminazione è espresso da una disuguaglianza dimostrata per la prima volta da E. H. Kennard[6] nel 1927 per l'indeterminazione posizione/momento, ed estesa nel 1929 da H. P. Robertson[11] al caso di due generiche variabili incompatibili:

Il secondo termine contiene il valore d'aspettazione del commutatore calcolato per una specifica funzione d'onda del sistema quantistico:

Potrebbe quindi accadere che, anche con commutatore non nullo , il valore d'aspettazione sia nullo. Infatti

dipende dal valore di che, a seconda della forma dell'operatore e della funzione d'onda , potrebbe essere .[24]

La condizione di validità della disuguaglianza di Robertson:

non coincide quindi con quella per la validità della disuguaglianza di Heisenberg:

.

Ciò dipende dal fatto che le due disuguaglianze, in apparenza molto simili, sono in effetti profondamente differenti. Mentre Heisenberg si applica nel caso di misure (con incertezze e ) delle osservabili e sullo stesso sistema (indeterminazione operazionale), la disuguaglianza di Robertson fa riferimento alla distribuzione dei valori (con deviazioni standard e ) delle osservabili e in un insieme statistico di sistemi quantistici identici (indeterminazione intrinseca).

Entrambi i tipi d'indeterminazione furono introdotti da Heisenberg[4] nel suo articolo del 1927 (rispettivamente, nel primo e nel secondo paragrafo) ma, a causa di un errore interpretativo, Heisenberg assunse si trattasse della medesima indeterminazione. La differenza tra i due casi:[25]
interazione-disturbo, che si riferisce all'impossibilità sperimentale (operazionale) di specificare con precisione arbitraria i valori di due variabili incompatibili (come e ) effettuando misure su un singolo sistema fisico;
statistico o di dispersione, per cui il prodotto delle deviazioni standard di due osservabili incompatibili ha un limite inferiore dato da
fu compresa da Karl Popper[26] solo molto dopo, verso la metà degli anni '30 del Novecento.

Mentre si riferisce a misure di variabili incompatibili effettuate sullo stesso sistema fisico, - che trova la sua espressione matematica compiuta nelle disuguaglianze introdotte da Kennard[6] nel 1927 e da Robertson[11] nel 1929 - si riferisce invece alla dispersione dei risultati di misure di due osservabili incompatibili, effettuate su campioni diversi di sistemi quantistici tutti preparati in modo identico. Si tratta quindi, come ebbe a dire de Broglie[27] nel 1969, di relazioni d'incertezza pre-misura e post-misura .

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Presi gli operatori e (associati alle grandezze osservabili A e B) si possono definire gli scarti dalla media come e .
Di conseguenza le varianze hanno la forma e . Il prodotto delle varianze può essere riscritto come:

ovvero la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Per procedere riscriviamo in funzione del commutatore e dell'anticommutatore

e notiamo che dato che le traslazioni non influenzano i commutatori.
Supponendo di poter scrivere (questo è vero, ad esempio, per tutte le coppie di grandezze coniugate, per le quali ), otteniamo

ovvero

che è il principio di indeterminazione nella sua forma più generale.
Nel caso particolare dell'indeterminazione fra posizione e momento, dato che , si ottiene .

Disuguaglianza di Schrödinger[modifica | modifica wikitesto]

L'incertezza della misura dovuta all'indeterminazione quantistica è radicalmente diversa dalla correlazione statistica. La disuguaglianza di Robertson implica infatti tra le grandezze osservabili e covarianza e correlazione nulle.

La covarianza statistica tra e - esprimibile come la differenza tra il valore atteso del loro prodotto e il prodotto dei loro valori attesi - viene in molti casi rappresentata mediante l'Indice di correlazione di Pearson :

.

Si distinguono tre possibili casi di correlazione:

  • Se , le variabili e si dicono incorrelate;
  • Se , le variabili e si dicono direttamente correlate, oppure correlate positivamente;
  • Se , le variabili e si dicono inversamente correlate, oppure correlate negativamente.

Stati quantici con correlazione non nulla sono ad esempio gli stati coerenti e quelli strizzati (squeezed).
Se si ha una correlazione quantistica tra gli operatori e :

con

dove denota l'anti-commutatore tra due operatori, si ottiene una disuguaglianza, introdotta da Erwin Schrödinger[28] nel 1930, diversa da quella di Robertson:

È immediato verificare che, se la correlazione quantistica è assente , la disuguaglianza di Schrödinger si riduce a quella di Robertson:

.

La disuguaglianza di Schrödinger mostra inoltre che l'indeterminazione intrinseca (disuguaglianza di Robertson) e il termine legato alla correlazione quantistica

sono indipendenti, e contribuiscono in quadratura al prodotto delle due deviazioni standard .

Indeterminazione operazionale e intrinseca[modifica | modifica wikitesto]

Le disuguaglianze di Kennard e Robertson riguardano l'indeterminazione intrinseca di osservabili quantistiche, quantificata dalla deviazione standard . L'indeterminazione di Heisenberg riguardava invece un errore sistematico: il disturbo prodotto sul sistema quantistico dall'atto di misurazione mediante un apparato classico (indeterminazione operazionale).

Se indichiamo[8] con l'errore sulla misura dell'osservabile e con il disturbo prodotto su una successiva misura della variabile incompatibile dalla precedente misura di , l'indeterminazione operazionale di Heisenberg per misure successive (prima , poi ) diventa

Usando lo stesso formalismo, è possibile descrivere un'altra situazione fisica, spesso confusa con la precedente, ovvero il caso di misurazioni simultanee ( e contemporaneamente):

Due misure simultanee su e sono necessariamente[29] weak (deboli) o unsharp (smussate).[30] Ciascuna estrae quindi solo parzialmente l'informazione disponibile sul sistema.[31]

L'indeterminazione intrinseca di Robertson è invece espressa, nel formalismo utilizzato,[8] in modo analogo a quello dell'articolo originale del 1929:

Nel 2003 Masanao Ozawa[12] ha proposto una disuguaglianza che include sia l'indeterminazione intrinseca, sia quella operazionale:

Col tempo, si sono accumulate crescenti evidenze sperimentali [32] [33] [34] [35] del fatto che l'indeterminazione quantica complessiva di un sistema non può essere spiegata solo dal termine operazionale di Heisenberg, ma richiede la compresenza di tutti e tre gli addendi della disuguaglianza di Ozawa.

Nel 2012 Kazou Fujikawa[13] ha suggerito un'altra relazione d'indeterminazione che, come quella di Ozawa, combina sia l'indeterminazione intrinseca sia quella operazionale, ma è espressa in una forma assai simile a quella originale di Heisenberg. Sommando la disuguaglianza di Robertson con quella di Ozawa, Fujikawa ha ottenuto:

.

I quattro addendi possono essere riscritti come

.

Definendo:

come l'inaccuratezza nella misura del valore dell'osservabile e

come la fluttuazione risultante nella misura dell'osservabile incompatibile , Fujikawa ha ottenuto una relazione formalmente simile a quella di Heisenberg, valida sia per l'indeterminazione operazionale, sia per quella intrinseca:

.

Indeterminazione energia/tempo[modifica | modifica wikitesto]

L'indeterminazione energia/tempo è strutturalmente differente dalle altre. Questa caratteristica non fu immediatamente compresa: nell'articolo[4] del 1927, Heisenberg introdusse tre relazioni d'indeterminazione (posizione / momento - tempo / energia - angolo / azione ) ritenendole sostanzialmente equivalenti, perché tutte basate sul commutatore canonico

dove è l'operatore hamiltoniano, associato all'energia totale del sistema quantistico.

Ma, mentre e sono variabili continue, in meccanica quantistica l'azione risulta spesso discreta, in quanto soggetta alla condizione di quantizzazione di Wilson-Sommerfeld . L'indeterminazione azione/angolo non è quindi equivalente a quella posizione/momento.[36]

Lo stesso avviene - per ragioni diverse - anche per l'indeterminazione energia/tempo. In meccanica quantistica non relativistica, come in meccanica classica, il tempo svolge un ruolo privilegiato: è il parametro d'evoluzione delle grandezze fisiche, non una grandezza fisica esso stesso. Non è quindi possibile associarvi alcun operatore autoaggiunto , che caratterizzarebbe un'osservabile quantica. Di conseguenza, non esiste il commutatore

e non è quindi possibile esprimere l'indeterminazione temporale intrinseca mediante la disuguaglianza di Robertson

.

Nel 1933 Wolfgang Pauli[37] ha dimostrato che, se per assurdo esistesse l'operatore autoaggiunto , si potrebbe estrarre una quantità infinita d'energia da un sistema quantistico con energia finita , associata all'operatore hamiltoniano .

Anche l'indeterminazione energia/tempo si manifesta in due forme diverse: come indeterminazione operazionale (in caso di misura del sistema) o intrinseca (evoluzione spontanea del sistema).

Indeterminazione temporale operazionale[modifica | modifica wikitesto]

Secondo l'interpretazione più comune (ma non sempre corretta) dell'indeterminazione energia/tempo operazionale, nella disuguaglianza

rappresenta il minimo intervallo temporale necessario per effettuare la misura dell'energia del sistema con precisione . Ciò è vero se non si conosce la forma analitica dell'operatore hamiltoniano del sistema. Se invece l'hamiltoniano è noto, l'energia di un sistema si può misurare, in un intervallo temporale arbitrariamente breve, con precisione arbitraria.[38]

« Aharonov e Bohm[39] hanno mostrato che il tempo nella relazione d'indeterminazione è l'intervallo temporale in cui il sistema resta imperturbato, non il tempo durante il quale l'apparato sperimentale è acceso. La meccanica quantistica odierna stabilisce che tutte le osservabili possano essere misurate con accuratezza arbitrariamente buona in un tempo (esterno) arbitrariamente breve, e l'energia non costituisce eccezione.[40] »
(Debashis Sen,[8] 2014)

Se invece si considera come la durata di una perturbazione energetica esterna, risulta essere la differenza tra due valori esatti dell' energia del sistema, misurati nell'intervallo . Quanto appena enunciato risulta valido in una teoria perturbativa al I° ordine.[41]

Indeterminazione temporale intrinseca[modifica | modifica wikitesto]

« Si dice spesso che il principio d'indeterminazione significa che in meccanica quantistica l'energia non è esattamente conservata - vi è permesso di ''prendere in prestito'' un'energia , purché la ''restituiate'' in un tempo ; quanto più grande è la violazione, tanto più breve sarà la sua durata. Ora è vero che ci sono molte interpretazioni più o meno legittime del principio d'indeterminazione energia-tempo, ma questa non è una di esse. In nessun punto la meccanica quantistica autorizza la violazione della conservazione dell'energia e certamente una tale licenza non rientra affatto nella derivazione dell'equazione . Ma il principio di indeterminazione è straordinariamente solido: può essere usato anche in modo scorretto senza dare luogo a risultati gravemente sbagliati; di conseguenza i fisici hanno preso l'abitudine di applicarlo con noncuranza eccessiva. »
(David J. Griffiths,[42] 2005)

I sistemi quantistici che non siano in un'autostato dell'Hamiltoniana presentano, oltre ad un'eventuale indeterminazione di tipo operazionale, un'indeterminazione energia/tempo intrinseca, che risulta ineliminabile.

Siccome non esiste il commutatore

,

non è possibile esprimere l'indeterminazione temporale intrinseca mediante la disuguaglianza di Robertson

.

Tuttavia l'analisi di Fourier,[44] unitamente al dualismo onda/particella espresso dalla relazione

,

permettono di formulare l'indeterminazione energia/tempo intrinseca:

.

Resta da capire cosa sia in questo caso . Sicuramente non è la deviazione standard di un insieme di misure del tempo (che si riferirebbero eventualmente ad un'indeterminazione operazionale). Si tratta, approssimativamente, dell'intervallo temporale necessario - che indichiamo con - per avere un cambiamento significativo del sistema quantistico. Riscriviamo quindi l'equazione precedente nella forma

.
  • Leonid Mandelstam e Igor Tamm[45] hanno trovato nel 1945 un modo per esprimere .

Sia un'osservabile arbitraria. Il calcolo della derivata temporale del valore d'aspettazione porta a concludere che, se vale la disuguaglianza precedente, allora

dove è l'intervallo di tempo necessario perché il valore d'aspettazione di possa variare di una deviazione standard . Chiaramente la durata di dipende criticamente dalla scelta dell'osservabile che si considera: il cambiamento potrebbe essere rapido per una e lento per un'altra. Ma se è piccolo, allora tutte le osservabili devono cambiare in modo molto graduale, viceversa se una qualunque delle osservabili cambia rapidamente, deve essere grande l'indeterminazione dell'energia.[46]

  • Lev Vaidman[47] ha proposto nel 1992 un'interpretazione alternativa di , che risulta ora essere

dove è il minimo intervallo di tempo necessario perché un sistema con deviazione standard in energia possa evolvere dallo stato iniziale ad uno stato ortogonale al primo:

.

Lo stato ortogonale può rappresentare un decadimento (con variazione d'energia ), oppure semplicemente un'evoluzione del sistema che conservi l'energia iniziale .

Verifiche sperimentali[modifica | modifica wikitesto]

Confronto tra la distribuzione lorentziana (blu) e quella gaussiana (rosso). In entrambi i casi il massimo è 1.0 e la FWHM vale = w = 2.[48]

La disuguaglianza di Kennard, relativa alla preparazione di un sistema quantistico, è stata oggetto di verifica sperimentale a partire dalla fine degli anni '60 del secolo scorso mediante esperimenti di diffrazione o interferenza.[8] L'ampiezza della singola fenditura (diffrazione) o la distanza tra le due fenditure (interferenza) sono state assunte come misure dell'incertezza posizionale . L'indeterminazione sul momento veniva stimata a partire dalla distribuzione delle particelle rivelate sullo schermo di fondo, derivando dalla distribuzione osservata la deviazione standard . Nel 1969 C. Shull realizzò il primo esperimento di diffrazione neutronica per la verifica dell'indeterminazione di Kennard.[49] Solo negli anni '80 del Novecento furono fatte misure d'interferometria neutronica.[50] [51] Nel 2002 venne pubblicata[52] una verifica della relazione di Kennard misurando l'aumento dello sparpagliamento in momento di molecole di fullerene C dopo l'attraversamento di una fenditura d'ampiezza variabile.

Le prime verifiche della relazione d'indeterminazione operazionale (errore/disturbo) risalgono al 2012. Tali esperimenti si basano sulla derivazione indiretta del disturbo indotto su componenti dello spin di neutroni[32] oppure su misure deboli (weak) d'ottica quantistica[33][34][35] per riuscire a caratterizzare direttamente il disturbo provocato su un sistema dall'interazione con un apparato di misura. Tutti questi esperimenti hanno confermato che la sola disuguaglianza di Heisenberg non è sufficiente a giustificare i risultati, e bisogna ricorrere a quella di Ozawa per ottenere un accordo tra previsione teorica e dati sperimentali.

Decadimento esponenziale in funzione del tempo. L'asse verticale mostra la percentuale di particelle iniziali (con energia ) ancora presenti dopo un tempo . Dopo un tempo di dimezzamento si ha la soprav- vivenza di metà della popolazione iniziale:
Per
Per
Per
Per
Per
Per

Un sistema che non sia in un autostato dell'energia può decadere da un livello eccitato ad un livello energetico più basso . Detta la sua vita media, esso ha frequenza di transizione (con ) per decadimento spontaneo pari a e quindi è la probabilità che, nell'intervallo temporale , cambi l'energia del sistema. La probabilità che, dopo un tempo , il sistema sia ancora caratterizzato dal valore dell'energia è data da

dove è l'ampiezza a metà altezza (FWHM) della distribuzione di Lorentz in energia del sistema.

Per sistemi instabili la verifica dell'indeterminazione energia/tempo intrinseca si traduce quindi in quella della relazione

.

Misurando l'energia per un insieme statistico di sistemi identici si ottiene sperimentalmente la distribuzione lorentziana, e da questa si ricava la relativa FWHM. D'altra parte, il decadimento esponenziale di un insieme statistico di sistemi identici può essere ricostruito contandone i decadimenti per un lungo periodo, ricavando la curva esponenziale e da questa la vita media come tangente alla curva nell'origine. Disponendo dei valori sperimentali di e è immediato calcolare che il loro prodotto sia uguale a . Con questo metodo è stata verificata la relazione d'indeterminazione energia/tempo intrinseca per numerosi decadimenti atomici, nucleari, di mesoni e barioni.

Dibattito Bohr-Einstein[modifica | modifica wikitesto]

Albert Einstein non era soddisfatto del principio di indeterminazione e sfidò Niels Bohr con il seguente famoso esperimento mentale:

"Riempiamo una scatola con del materiale radioattivo che emette radiazioni casuali. La scatola ha uno sportello, che viene aperto e chiuso immediatamente, da un orologio, a un preciso istante, permettendo così a un po' di radiazione di uscire. In questo modo il tempo è già noto con precisione. Vogliamo ancora misurare la variabile coniugata energia, con precisione. Non c'è problema dice Einstein: pesiamo la scatola prima e dopo. L'equivalenza tra massa ed energia, derivante dalla relatività speciale ci permetterà di determinare precisamente quanta energia ha lasciato la scatola".

Bohr ribatté come segue, per di più applicando l'equivalenza massa-energia sviluppata proprio da Einstein: "Se l'energia esce, la scatola è più leggera e si solleverà leggermente sulla bilancia. Questo cambia la posizione dell'orologio. Quindi l'orologio devia dal nostro sistema di riferimento stazionario, e quindi per la relatività speciale, la sua misurazione del tempo sarà diversa dalla nostra, portando a un inevitabile margine d'errore". Infatti, un'analisi dettagliata mostra che l'imprecisione è correttamente data dalla relazione di Heisenberg.

All'interno della diffusa (ma non universalmente accettata) interpretazione di Copenaghen della meccanica quantistica, il principio di indeterminazione è inteso come il fatto che a un livello elementare, l'Universo fisico non esiste in forma deterministica, ma piuttosto come una collezione di probabilità, o potenziali. Ad esempio, il modello (distribuzione di probabilità) prodotto da milioni di fotoni che passano attraverso una fessura di diffrazione, può essere calcolato usando la meccanica quantistica, ma il percorso esatto di ogni fotone non può essere predetto da nessun metodo conosciuto. L'interpretazione di Copenaghen sostiene che non può essere predetto da nessun metodo. Ed è questa interpretazione che Einstein stava mettendo in discussione quando disse: "Non credo che Dio abbia scelto di giocare a dadi con l'universo". Bohr, che era uno degli autori dell'interpretazione di Copenaghen rispose: "Einstein, smettila di dire a Dio cosa fare con i suoi dadi". Più tardi Stephen Hawking aggiunse "Einstein sbagliò quando disse: «Dio non gioca a dadi». La considerazione dei buchi neri suggerisce infatti non solo che Dio gioca a dadi, ma che a volte ci confonda gettandoli dove non li si può vedere". Einstein era convinto che questa interpretazione fosse errata. Il suo ragionamento era che tutte le distribuzioni di probabilità precedentemente conosciute sorgessero da eventi deterministici.

La distribuzione di un lancio di moneta può essere descritta con una distribuzione di probabilità equiprobabile (50% testa e 50% croce). Ma questo non significa che i movimenti fisici siano impredicibili. La meccanica classica può essere usata per calcolare esattamente come ogni moneta atterrerà, se le forze agenti su di essa sono conosciute. E la distribuzione testa/croce si allineerà con la distribuzione di probabilità (date forze iniziali casuali). Einstein assunse che ci fossero delle variabili nascoste nella meccanica quantistica che sottostanno alle probabilità osservate. Né Einstein né altri sono mai riusciti a costruire una teoria della variabile nascosta soddisfacente, e la disuguaglianza di Bell illustra alcuni aspetti critici di questa ricerca. Anche se il comportamento di una particella individuale è casuale, è correlato al comportamento delle altre particelle. Quindi, se il principio di indeterminazione è il risultato di qualche processo deterministico, deve essere il caso che particelle poste a grande distanza trasmettano istantaneamente l'informazione a tutte le altre, per assicurare che ci sia una correlazione nel comportamento.

Rilevanza epistemologica[modifica | modifica wikitesto]

Il principio ha forti implicazioni sulla filosofia della scienza e sul dibattito epistemologico del XX secolo sancendo l'impossibilità, da parte della scienza, di pervenire ad una conoscenza della realtà fisica completa o totale ovvero pienamente deterministica, aprendo definitivamente la strada all'incertezza o indeterminazione anche nelle scienze dure nella forma tipica espressa dai concetti probabilità e statistica, già emersi con la nascita e lo sviluppo della fisica statistica e lo studio dei fenomeni caotici. Il principio rappresenta dunque la fine della visione deterministica espressa da Laplace nel contesto della fisica classica e, assieme ad altri principi della meccanica quantistica, sancisce la nascita della fisica moderna.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ In meccanica quantistica si dicono canonicamente coniugate o semplicemente coniugate due osservabili incompatibili il cui commutatore valga .
  2. ^ a b D. J. Griffiths, Introduzione alla meccanica quantistica, C.E.A., Milano 2005, p. 118.
  3. ^ In meccanica quantistica si dicono incompatibili[2] due grandezze associate a operatori autoaggiunti che non commutano fra loro: .
  4. ^ a b c W. Heisenberg, Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik [Sul contenuto intuitivo della cinematica e della meccanica nella teoria quantistica], in Zeitschrift für Physik, vol. 43, nº 4, 1927, pp. 172–178. Traduzione italiana di S. Boffi, Il principio di indeterminazione, Università degli studi di Pavia, Pavia 1990, pp. 45-74, ISBN 8885159036, on-line: www2.pv.infn.it/~boffi/Werner.pdf
  5. ^ Si tratta di un manoscritto del 1942, pubblicato solo nel 1984 col titolo Ordnung der Wirklichkeit [Ordinamento della realtà], nell'ambito delle opere complete di W. Heisenberg. Traduzione italiana di G. Gembillo e G. Gregorio, Indeterminazione e realtà, Guida, Napoli 1991, p. 128, ISBN-10 8878351016, ISBN-13 9788878351011.
  6. ^ a b c d E. H. Kennard, Zur Quantenmechanik einfacher Bewegungstypen [Sulla meccanica quantistica di tipi semplici di moto], in Zeitschrift für Physik, vol. 44, nº 4, 1927, pp. 326–352, DOI:10.1007/BF01391200.
  7. ^ Una misura quantistica (di von Neumann) della posizione provoca il collasso della funzione d'onda che lascerà la particella in un autostato della posizione. Quindi una successiva misura del momento non potrà coincidere con un autovalore del momento (ad incertezza nulla), ma sarà necessariamente affetta da un'incertezza .
  8. ^ a b c d e D. Sen, The uncertainty relations in quantum mechanics (PDF), in Current Science, vol. 107, nº 2, 2014, p. 203–218.
  9. ^ P. Busch, P. Lahti, R. F. Werner, Proof of Heisenberg's Error-Disturbance Relation, in Physical Review Letters, vol. 111, nº 16, 2013, arXiv:1306.1565, Bibcode:2013PhRvL.111p0405B.
  10. ^ P. Busch, P. Lahti, R. F. Werner, Heisenberg uncertainty for qubit measurements, in Physical Review A, vol. 89, 2014, arXiv:1311.0837, Bibcode:2014PhRvA..89a2129B, DOI:10.1103/PhysRevA.89.012129.
  11. ^ a b c H. P. Robertson, The Uncertainty Principle, in Phys. Rev., vol. 34, 1929, pp. 163–64, Bibcode:1929PhRv...34..163R, DOI:10.1103/PhysRev.34.163.
  12. ^ a b M. Ozawa, Universally valid reformulation of the Heisenberg uncertainty principle on noise and disturbance in measurement, in Physical Review A, vol. 67, nº 4, 2003, p. 42105, arXiv:quant-ph/0207121, Bibcode:2003PhRvA..67d2105O, DOI:10.1103/PhysRevA.67.042105.
  13. ^ a b K. Fujikawa, Universally valid Heisenberg uncertainty relation, in Physical Review A, vol. 85, nº 6, 2012, arXiv:1205.1360, Bibcode:2012PhRvA..85f2117F, DOI:10.1103/PhysRevA.85.062117.
  14. ^ a b Jan Hilgevoord, Jos Uffink, The Uncertainty Principle, plato.stanford.edu.
  15. ^ Come scrisse Richard Feynman:
    (EN)

    « I would like to put the uncertainty principle in its historical place: When the revolutionary ideas of quantum physics were first coming out, people still tried to understand them in terms of old-fashioned ideas (such as, light goes in straight lines). But at a certain point the old-fashioned ideas began to fail, so a warning was developed that said, in effect, "Your old-fashioned ideas are no damned good when..." If you get rid of all the old-fashioned ideas and instead use the ideas I'm explaining in these lectures - adding arrows for all the ways an event can happen - there is no need for an uncertainty principle! ..." »

    (IT)

    « Vorrei mettere il principio di indeterminazione nel suo contesto storico: quando furono concepite per la prima volta le idee rivoluzionarie della fisica quantistica, si tentava di capirle in termini di idee antiquate (come ad esempio, la luce che si propaga in linee rette). Ma a un certo punto le vecchie idee cominciarono a fallire e quindi un avvertimento fu sviluppato per dire, in effetti, "Le vecchie idee non sono buone quando ...". Se invece si rimuovono le vecchie idee e si usano invece le idee che sto spiegando in queste lezioni - aggiungere frecce [cammini] per tutti i modi in cui un evento può accadere - non c'è bisogno del principio di indeterminazione! ... »

    (Richard Feynman Richard Feynman, QED: The Strange Theory of Light and Matter, 1985, pp. 55-56, ISBN 9780691083889.)
  16. ^ Gli operatori autoaggiunti hanno spettro degli autovalori associati nel campo dei numeri reali. Siccome gli operatori quantistici rappresentano osservabili fisiche misurabili, l'esito delle misure deve essere un numero reale; caratteristica garantita appunto dalla scelta di operatori autoaggiunti.
  17. ^ P. A. M. Dirac, The fundamental equations of quantum mechanics, in Proceedings of the Royal Society, A109, 1925, pp. 642-653, DOI:10.1098/rspa.1925.0150.
  18. ^ H. J. Grönewold, On the Principles of elementary quantum mechanics, in Physica, vol. 12, 1946, pp. 405-460, DOI:10.1016/S0031-8914(46)80059-4.
  19. ^ Le grandezze classiche e sono canonicamente coniugate se la loro parentesi di Poisson vale .
    Dirac [17] propose nel 1925 che per le corrispondenti osservabili quantistiche si abbia .
    Grönewold dimostrò (teorema di Grönewold-Van Hove) nel 1946 che tale corrispondenza non ha invece validità generale, ma che esiste una correlazione sistematica tra i commutatori quantistici e una versione modificata delle parentesi di Poisson, le parentesi di Moyal.[18]
  20. ^ Tutti e tre i casi analizzati da W. Heisenberg nell'articolo del 1927 (posizione/momento, energia/tempo, azione/angolo) hanno commutatori del tipo .
  21. ^ E. U. Condon, Remarks on uncertainty principles, in Science, nº 69, 1929, pp. 573-574.
  22. ^ Sostanzialmente, se lo stato del sistema atomico coincide con un autostato di con autovalore 0, in quello stato la relazione d'indeterminazione diventa , permettento un'apparente violazione dell'indeterminazione di Heisenberg.
  23. ^ S. Boffi, Da Laplace a Heisenberg - Un'introduzione alla meccanica quantistica e alle sue applicazioni, P.U.P., Pavia 2010, p. 182
  24. ^ È esattamente quanto succede nelle tre eccezioni di Condon. Lo stato del sistema atomico coincide con un autostato di con autovalore 0. In quello stato, la relazione d'indeterminazione diventa , e quindi viene meno la condizione d'applicabilità della disuguaglianza di Robertson riportata appena sotto.
  25. ^ Jammer M., The philosophy of quantum mechanics, John Wiley \& Sons, New York 1974, p.80.
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  28. ^ E. Schrödinger, Zum Heisenbergschen Unschärfeprinzip [Sul principio d'indeterminazione di Heisenberg], in Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften", Physikalisch-Mathematische Klasse, vol. 14, 1930, pp. 296-303.
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  30. ^ A. Peres, Quantum Theory: Concepts and Methods, Kluwer, Dordrecht 1995, pp. 387-390.
  31. ^ Se la misura fosse invece quella prevista da von Neumann (sharp o strong), si estrarrebbe completamente l'informazione relativa o all'osservabile , o alla , ma non sarebbe possibile la contemporanea misura dell'altra osservabile.
  32. ^ a b L. A. Rozema, A. Darabi, D. H. Mahler, A. Hayat, Y. Soudagar, A. M. Steinberg, Violation of Heisenberg's Measurement-Disturbance Relationship by Weak Measurements, in Physical Review Letters, vol. 109, 2012, arXiv:1208.0034v2, Bibcode:2012PhRvL.109j0404R, DOI:10.1103/PhysRevLett.109.100404.
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  34. ^ a b S.-Y. Baek, F. Kaneda, M. Ozawa, K. Edamatsu, Experimental violation and reformulation of the Heisenberg's error-disturbance uncertainty relation, in Scientific Reports, vol. 3, 2013, p. 2221, Bibcode:2013NatSR...3E2221B, DOI:10.1038/srep02221.
  35. ^ a b M. Ringbauer, D. N. Biggerstaff, M. A. Broome, A. Fedrizzi, C. Branciard, A. G. White, Experimental Joint Quantum Measurements with Minimum Uncertainty, in Physical Review Letters, vol. 112, 2014, p. 020401, arXiv:1308.5688, Bibcode:2014PhRvL.112b0401R.
  36. ^ Per una trattazione più approfondita su questo argomento, si veda S. Boffi, Il principio di indeterminazione, Università degli studi di Pavia, Pavia 1990, pp. 79-80, ISBN 8885159036, on-line: www2.pv.infn.it/~boffi/Werner.pdf
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  42. ^ D. J. Griffiths, Introduzione alla meccanica quantistica, C.E.A., Milano 2005, p. 124.
  43. ^ D. Gabor, Acoustical quanta and the theory of hearing, in Nature, nº 159, 1947, pp. 591-594.
  44. ^ Il limite di Gabor[43] riguarda la risoluzione simultanea in tempo e frequenza di un'onda, e stabilisce che la funzione d'onda non possa essere contemporaneamente limitata sia nell'intervallo temporale, sia nella banda di frequenza.
  45. ^ L. Mandelstam, I. Tamm, The uncertainty relation between energy and time in non-relativistic quantum mechanics, in Journal of Physics (USSR), nº 9, 1945, pp. 249-254.
  46. ^ D. J. Griffiths, Introduzione alla meccanica quantistica, C.E.A., Milano 2005, p. 122.
  47. ^ L. Vaidman, Minimum time for the evolution to an orthogonal quantum state, in American Journal of Physics, nº 60, 1992, pp. 182-183.
  48. ^ In statistica le distribuzioni sono invece normalizzate in modo d'avere area unitaria.
  49. ^ C. Shull, Single-slit diffraction of neutrons, in Physical Review, vol. 179, 1969, pp. 752-754.
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Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

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