Principio di indeterminazione di Heisenberg

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.
Werner Karl Heisenberg nel 1927, quando si occupò dei principi della meccanica quantistica e in particolare del principio di indeterminazione.

In meccanica quantistica, il principio di indeterminazione di Heisenberg stabilisce i limiti nella conoscenza o determinazione dei valori che grandezze fisiche coniugate[1] o, secondo una formulazione più recente e generale, incompatibili[2] assumono in un sistema fisico.

Fu enunciato nel 1927 dal fisico tedesco Werner Karl Heisenberg[3] Nella forma più nota viene espresso dalla relazione:

in cui è l'incertezza sulla posizione, quella sulla quantità di moto e la costante di Planck ridotta.

Il principio di indeterminazione, confermato da oltre ottant'anni d'esperimenti, rappresenta un cardine della meccanica quantistica e sancisce una radicale rottura rispetto alle leggi della meccanica classica.

Introduzione[modifica | modifica wikitesto]

« Nell'ambito della realtà le cui condizioni sono formulate dalla teoria quantistica, le leggi naturali non conducono quindi a una completa determinazione di ciò che accade nello spazio e nel tempo; l'accadere (all'interno delle frequenze determinate per mezzo delle connessioni) è piuttosto rimesso al gioco del caso. »
(Werner Heisenberg, 1942[4])

Nella formulazione moderna, introdotta da E. H. Kennard[5] sempre nel 1927, l'indeterminazione precedente assume la forma di una disuguaglianza del prodotto tra la deviazione standard della posizione e quella della quantità di moto di una particella:

.

La relazione indica che il prodotto delle due deviazioni standard è sempre maggiore di o al più uguale ad un valore minimo. In questi termini il principio d'indeterminazione implica che per una particella non è possibile misurare (nello stesso istante temporale o in tempi successivi[6]), e quindi non è possibile conoscere, un definito valore della posizione e della quantità di moto con precisione assoluta, ovvero con incertezza nulla. Tanto più si tenta di ridurre l'incertezza () su una variabile, tanto più aumenta l'incertezza sull'altra (relazione di proporzionalità inversa tra le due deviazioni standard).

In termini più generali, quando due grandezze fisiche, dette osservabili fisiche, non possono essere misurate entrambe sullo stesso sistema sono dette complementari. Esempi di coppie di osservabili complementari sono le componenti dei vettori di spin (o del momento angolare), la posizione e la velocità in una direzione. Osservabili complementari hanno necessariamente commutatore non nullo, e risultano pertanto anche incompatibili. In tal senso l'indeterminazione è legata al principio di complementarità e al dualismo onda-particella, secondo cui le particelle subatomiche esibiscono proprietà sia corpuscolari, sia ondulatorie. Poiché il principio d'indeterminazione esprime l'impossibilità di determinare con precisione a priori illimitata i valori di due variabili incompatibili, l'osservatore dovrà scegliere quale misura privilegiare e disporre gli strumenti di conseguenza. Si noti che il principio d'indeterminazione non si applica a tutte le possibili coppie di osservabili. Ad esempio è sempre possibile, in linea di principio, misurare contemporaneamente posizione e carica elettrica con precisione arbitraria. In maniera analoga, mentre il principio d'indeterminazione si applica alla misura di e della componente della quantità di moto lungo , questo non si applica alla misura contemporanea di e di (dato che ). Infine, tale principio non pone invece vincoli alla misura di una singola grandezza, che può essere determinata con precisione arbitraria.

I dettagli del processo di misura, così come l'interpretazione della meccanica quantistica e dei suoi postulati, stabiliscono una serie di relazioni e disuguaglianze d'indeterminazione[7] che possono essere correlate di volta in volta all'indeterminazione intrinseca (disuguaglianza di Robertson), all'impossibilità di conoscere i dettagli di un sistema senza perturbarlo (indeterminazione di Heisenberg), alla mancata presenza di significato di due osservabili in contemporanea per lo stesso sistema (principio di complementarità di Bohr), o anche ai limiti di precisione degli apparati di misura.

Negli anni si è appurato che dai postulati della meccanica quantistica è possibile ricavare tale principio (sia la formulazione originale,[8] [9] sia quelle successive[5][10][11][12]), cioè dimostrare perché certe coppie di grandezze fisiche non siano misurabili, contemporaneamente o in successione, con precisione arbitraria (men che meno assoluta).

Quindi, strettamente parlando, esso ha perso (in quanto dimostrabile) la valenza di principio fisico. Tuttavia, nella sua forma più generale di indeterminismo quantico, resta un principio d'assoluta generalità che, al pari del principio di relatività, risulta fondamento della fisica moderna.

Indeterminazione e non commutatività[modifica | modifica wikitesto]

In meccanica quantistica, le variabili fisiche sono rappresentate da operatori autoaggiunti,[13] come (posizione della particella) e (componente del momento della particella lungo ).

Questi due operatori non commutano, come si vede calcolando i prodotti e su una funzione d'onda monodimensionale  :

.

Dal confronto è evidente che il commutatore tra e risulta essere non nullo :

Il commutatore di e coincide, a meno della costante , con l'esempio fatto sopra:

.

Eliminando la generica funzione d'onda da tutti i membri, si trova il valore del commutatore tra e come equazione fra operatori:

.

In generale, due grandezze osservabili e , corrispondenti ad operatori autoaggiunti e che non commutano, sono dette incompatibili.[14]

In particolare, se il commutatore vale , le corrispondenti osservabili incompatibili ( e , ad esempio) sono anche canonicamente coniugate.[17]

Il principio d'indeterminazione di Heisenberg riguarda osservabili incompatibili e coniugate, il cui commutatore è del tipo .[18] Tali osservabili non sono conoscibili entrambe, a seguito di misure simultanee o successive, con precisione arbitraria. Ad esempio, il valore del commutatore tra e impone che la posizione e il momento lineare lungo tale direzione siano grandezze incompatibili e coniugate, ovvero non determinabili entrambe con precisione arbitraria.

Nel caso dei momenti angolari atomici dell'idrogeno, E. U. Condon[19] nel 1929 produsse tre esempi d'apparente violazione della relazione d'indeterminazione di Heisenberg[20]. In tutti e tre i casi si trattava d'osservabili incompatibili ma non coniugate, il cui commutatore è del tipo . Per queste osservabili non vale la disuguaglianza di Heisenberg (che si applica ad osservabili incompatibili e coniugate), ma solo quella di Robertson,[21] che si applica a tutte le osservabili incompatibili. L'apparente violazione era in realtà risolta, data l'inapplicabilità dell'indeterminazione di Heisenberg ai tre esempi di Condon.

Disuguaglianza di Robertson[modifica | modifica wikitesto]

Facendo uso delle deviazioni standard e di due osservabili incompatibili e associate a un sistema quantistico, il principio di indeterminazione è espresso da una disuguaglianza dimostrata per la prima volta da E. H. Kennard[5] nel 1927 per l'indeterminazione posizione/momento, ed estesa nel 1929 da H. P. Robertson[10] al caso di due generiche variabili incompatibili:

Il secondo termine contiene il valore d'aspettazione del commutatore calcolato per una specifica funzione d'onda del sistema quantistico:

Potrebbe quindi accadere che, anche con commutatore non nullo , il valore d'aspettazione sia nullo. Infatti

dipende dal valore di che, a seconda della forma dell'operatore e della funzione d'onda , potrebbe essere .[22]

La condizione di validità della disuguaglianza di Robertson:

non coincide quindi con quella per la validità della disuguaglianza di Heisenberg:

.

Ciò dipende dal fatto che le due disuguaglianze, in apparenza molto simili, sono in effetti profondamente differenti. Mentre Heisenberg si applica nel caso di misure (con incertezze e ) delle osservabili e sullo stesso sistema (indeterminazione operazionale), la disuguaglianza di Robertson fa riferimento alla distribuzione dei valori (con deviazioni standard e ) delle osservabili e in un insieme statistico di sistemi quantistici identici (indeterminazione intrinseca).

Entrambi i tipi d'indeterminazione furono introdotti da Heisenberg[3] nel suo articolo del 1927 (rispettivamente, nel primo e nel secondo paragrafo) ma, a causa di un errore interpretativo, Heisenberg assunse si trattasse della medesima indeterminazione. La differenza tra i due casi:[23]
interazione-disturbo, che si riferisce all'impossibilità sperimentale (operazionale) di specificare con precisione arbitraria i valori di due variabili incompatibili (come e ) effettuando misure su un singolo sistema fisico;
statistico o di dispersione, per cui il prodotto delle deviazioni standard di due osservabili incompatibili ha un limite inferiore dato da
fu compresa da Karl Popper[24] solo molto dopo, verso la metà degli anni '30 del Novecento.

Mentre si riferisce a misure di variabili incompatibili effettuate sullo stesso sistema fisico, - che trova la sua espressione matematica compiuta nelle disuguaglianze introdotte da Kennard[5] nel 1927 e da Robertson[10] nel 1929 - si riferisce invece alla dispersione dei risultati di misure di due osservabili incompatibili, effettuate su campioni diversi di sistemi quantistici tutti preparati in modo identico. Si tratta quindi, come ebbe a dire de Broglie[25] nel 1969, di relazioni d'incertezza pre-misura e post-misura .

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Presi gli operatori e (associati alle grandezze osservabili A e B) si possono definire gli scarti dalla media come e .
Di conseguenza le varianze hanno la forma e . Il prodotto delle varianze può essere riscritto come:

ovvero la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Per procedere riscriviamo in funzione del commutatore e dell'anticommutatore

e notiamo che dato che le traslazioni non influenzano i commutatori.
Supponendo di poter scrivere (questo è vero, ad esempio, per tutte le coppie di grandezze coniugate, per le quali ), otteniamo

ovvero

che è il principio di indeterminazione nella sua forma più generale.
Nel caso particolare dell'indeterminazione fra posizione e momento, dato che , si ottiene , ovvero .

Disuguaglianza di Schrödinger[modifica | modifica wikitesto]

L'incertezza della misura dovuta all'indeterminazione quantistica è radicalmente diversa dalla correlazione statistica. La disuguaglianza di Robertson implica infatti tra le grandezze osservabili e covarianza e correlazione nulle.

La covarianza statistica tra e - esprimibile come la differenza tra il valore atteso del loro prodotto e il prodotto dei loro valori attesi - viene in molti casi rappresentata mediante l'Indice di correlazione di Pearson :

.

Si distinguono tre possibili casi di correlazione:

  • Se , le variabili e si dicono incorrelate;
  • Se , le variabili e si dicono direttamente correlate, oppure correlate positivamente;
  • Se , le variabili e si dicono inversamente correlate, oppure correlate negativamente.

Stati quantici con correlazione non nulla sono ad esempio gli stati coerenti e quelli strizzati (squeezed).
Se si ha una correlazione quantistica tra gli operatori e :

con

dove denota l'anti-commutatore tra due operatori, si ottiene una disuguaglianza, introdotta da Erwin Schrödinger[26] nel 1930, diversa da quella di Robertson:

È immediato verificare che, se la correlazione quantistica è assente , la disuguaglianza di Schrödinger si riduce a quella di Robertson:

.

La disuguaglianza di Schrödinger mostra inoltre che l'indeterminazione intrinseca (disuguaglianza di Robertson) e il termine legato alla correlazione quantistica

sono indipendenti, e contribuiscono in quadratura al prodotto delle due deviazioni standard .

Indeterminazione intrinseca ed operazionale[modifica | modifica wikitesto]

Le disuguaglianze di Kennard e Robertson riguardano l'indeterminazione intrinseca di osservabili quantistiche, quantificata dalla deviazione standard . L'indeterminazione di Heisenberg riguardava invece un errore sistematico: il disturbo prodotto sul sistema quantistico dall'atto di misurazione mediante un apparato classico (indeterminazione operazionale).

Se indichiamo[7] con l'errore sulla misura dell'osservabile e con il disturbo prodotto su una successiva misura della variabile incompatibile dalla precedente misura di , l'indeterminazione operazionale di Heisenberg per misure successive (prima , poi ) diventa

Usando lo stesso formalismo, è possibile descrivere un'altra situazione fisica, spesso confusa con la precedente, ovvero il caso di misurazioni simultanee ( e contemporaneamente):

Due misure simultanee su e sono necessariamente[27] weak (deboli) o unsharp (smussate).[28] Ciascuna estrae quindi solo parzialmente l'informazione disponibile sul sistema.[29]

L'indeterminazione intrinseca di Robertson è invece espressa, nel formalismo utilizzato,[7] in modo analogo a quello dell'articolo originale del 1929:

Nel 2003 Masanao Ozawa[11] ha proposto una disuguaglianza che include sia l'indeterminazione intrinseca, sia quella operazionale:

Col tempo, si sono accumulate crescenti evidenze sperimentali [30] [31] [32] [33] del fatto che l'indeterminazione quantica complessiva di un sistema non può essere spiegata solo dal termine operazionale di Heisenberg, ma richiede la compresenza di tutti e tre gli addendi della disuguaglianza di Ozawa.

Nel 2012 Kazou Fujikawa[12] ha suggerito un'altra relazione d'indeterminazione che, come quella di Ozawa, combina sia l'indeterminazione intrinseca sia quella operazionale, ma è espressa in una forma assai simile a quella originale di Heisenberg. Sommando la disuguaglianza di Robertson con quella di Ozawa, Fujikawa ha ottenuto:

.

I quattro addendi possono essere riscritti come

.

Definendo:

come l'inaccuratezza nella misura del valore dell'osservabile e

come la fluttuazione risultante nella misura dell'osservabile incompatibile , Fujikawa ha ottenuto una relazione formalmente simile a quella di Heisenberg, valida sia per l'indeterminazione operazionale, sia per quella intrinseca:

.

L'indeterminazione per energia e tempo[modifica | modifica wikitesto]

Il principio di indeterminazione, formulato per la coppia posizione-movimento, è anche applicabile alla coppia energia e tempo, fatto di notevole importanza e che, come tale, ha conseguenze molto rilevanti. Queste conseguenze possono essere chiarite meglio partendo da un esempio pratico. Per misurare l'energia di un fotone si può fare uso della formula di Planck:

che manifesta la proporzionalità diretta tra l'energia E e la frequenza del fotone . In pratica però, per misurare la frequenza si devono contare le oscillazioni in un intervallo di tempo determinato: per fare ciò bisogna che si verifichi almeno un'oscillazione completa. Ecco perché l'intervallo di tempo deve essere determinato: non si può infatti stabilire la frequenza di una radiazione in meno tempo di quello che la luce impiega per fare un'oscillazione completa. Perciò per le onde radio si impiega più tempo a stabilire la frequenza rispetto alla radiazione visibile, perché per compiere un'oscillazione le prime impiegano molto più tempo delle seconde.

Questa premessa sottolinea che c'è sempre un limite ineliminabile con cui si può conoscere la frequenza di un fotone o di qualunque altra particella: se infatti si misura solo parte dell'oscillazione, il valore della frequenza (e, per conseguenza, quello dell'energia) è indeterminato; perciò, una determinazione esatta del valore energetico della particella implica un campionamento piuttosto lungo dell'onda. Ma se in un esperimento interessa sapere quando avviene un evento, lo si deve fare a scapito della misura dell'energia, perché in simili situazioni non è più possibile misurare oscillazioni complete. Ecco che energia e tempo risultano essere non compatibili fra loro, perché una precisa misurazione dell'una rende imprecisa quella dell'altro e viceversa. Usando poi i formalismi matematici, il prodotto degli errori sulle misurazioni dell'energia e del tempo in alcuni casi ha proprietà analoghe a quelle del prodotto della coppia posizione-momento e risulta quindi essere:

da cui deriva che

da cui si vede che l'indeterminazione sull'energia e sul tempo sono inversamente proporzionali. Bisogna sottolineare però questa relazione ha un significato diverso rispetto a quella che lega posizione e impulso. Intanto queste ultime sono variabili dinamiche misurabili in ogni istante; invece il tempo (almeno in meccanica quantistica non relativistica) è una variabile indipendente, quindi non è una grandezza osservabile in senso stretto. Per questo, anche se una particella non può avere simultaneamente posizione e impulso ben definiti, l'energia si può misurare con precisione arbitraria in ogni istante di tempo: è la differenza tra due valori esatti dell'energia misurati in due istanti diversi. A volte si dice che è possibile "prendere in prestito" un'energia purché sia "restituita" entro , violando quindi la conservazione dell'energia per breve tempo. Questa però non è un'interpretazione legittima del principio: è più corretto dire che se la durata di uno stato (ad es. la vita media di una particella) è limitata, la sua energia è indefinita.

La conseguenza estrema di tutto questo è il fatto che il vuoto non sia poi così vuoto, ma in realtà ricco di fluttuazioni energetiche di brevissima durata, che provocano effetti come la schermatura della carica elettrica e il mascheramento di quella di colore. Infatti, nella elettrodinamica quantistica (QED), il vuoto è considerato come se fosse denso di coppie elettrone-positrone che si creano e si annichilano in un tempo così breve da non poter essere osservate e dette virtuali. Questa peculiarità del vuoto è ben visibile però, perché queste particelle, pur essendo virtuali, interagiscono con le particelle reali, schermandone la carica elettrica: se, per esempio, un elettrone venisse inserito in questo vuoto, la sua carica verrebbe parzialmente indebolita. Anche la cromodinamica quantistica (QCD), per spiegare il mascheramento della carica di colore dei quark all'interno del vuoto, ritiene quest'ultimo "popolato" da coppie quark-antiquark virtuali che si comportano esattamente come gli elettroni e positroni virtuali nella QED.

Un'altra conseguenza, che eviterebbe la violazione del principio di conservazione dell'energia, sarebbe la creazione di coppie di particelle in cui una delle due ha energia positiva e l'altra negativa, come è dimostrato dalle soluzioni negative che si possono ottenere nell'equazione di Dirac e come è suggerito da Stephen Hawking per spiegare come i buchi neri possano emettere particelle e perdere massa, teoria recentemente dimostrata vera dallo stesso fisico. Infatti proprio come il vuoto in QED e QCD, quello che circonda un buco nero ha le stesse proprietà. Il fatto che i buchi neri emettano particelle è pertanto spiegabile ipotizzando che le particelle non vengano emesse direttamente dal buco nero, ma dai suoi dintorni e in particolare da questo vuoto quantistico, ricco di fluttuazioni: la forte gravità del buco nero attrae anche queste particelle virtuali e a volte può capitare che solo una delle due cada nel buco; l'altra riuscirebbe a sfuggire e potrebbe essere osservata perché, avendo persa la sua compagna, si trasformerebbe in una particella reale. E delle due particelle create nel vuoto quella attratta dal buco nero è quella con energia negativa, possedendo una minore energia potenziale. Quello che ne risulta, è che la massa del buco nero è, seppur insensibilmente, diminuita.

Indeterminazione e stringhe[modifica | modifica wikitesto]

Il principio di Werner Heisenberg è fondamentale anche nella teoria delle stringhe, con la quale risulta essere perfettamente coerente, sebbene in maniera diversa rispetto alla meccanica quantistica. In particolare, l'indeterminazione è strettamente correlata con la tensione della stringa, attraverso un parametro fondamentale, e con la sua lunghezza. La novità sta nel fatto che, nella teoria delle stringhe, a un momento infinito non corrisponde, come dovrebbe essere tradizionalmente, una dimensione di lunghezza pari a zero. Questo perché la relazione tra momento e lunghezza è:

,

dove è la lunghezza di stringa, è il suo momento, è la costante di Planck rinormalizzata e è un parametro, il quale svolge un ruolo primario nella teoria delle stringhe, in quanto l'uguaglianza

esprime il suo legame con la tensione propria della stringa; in questo modo deve esistere una minima lunghezza di stringa osservabile, ovvero

.

Perciò, tutti i problemi legati alla distanza pari a zero, così importanti nella teoria quantistica dei campi, per la teoria delle stringhe diventano irrilevanti. Infatti, se la teoria delle stringhe è una teoria quantistica della gravità, allora l'entità della scala di lunghezza deve essere almeno quella della scala di Planck, data dalla combinazione tra costante di gravitazione universale, velocità della luce e costante di Planck rinormalizzata:

.

Interpretazioni[modifica | modifica wikitesto]

Albert Einstein non era soddisfatto del principio di indeterminazione e sfidò Niels Bohr con il seguente famoso esperimento mentale:

"Riempiamo una scatola con del materiale radioattivo che emette radiazioni casuali. La scatola ha uno sportello, che viene aperto e chiuso immediatamente, da un orologio, a un preciso istante, permettendo così a un po' di radiazione di uscire. In questo modo il tempo è già noto con precisione. Vogliamo ancora misurare la variabile coniugata energia, con precisione. Non c'è problema dice Einstein: pesiamo la scatola prima e dopo. L'equivalenza tra massa ed energia, derivante dalla relatività speciale ci permetterà di determinare precisamente quanta energia ha lasciato la scatola".

Bohr ribatté come segue, per di più applicando l'equivalenza massa-energia sviluppata proprio da Einstein: "Se l'energia esce, la scatola è più leggera e si solleverà leggermente sulla bilancia. Questo cambia la posizione dell'orologio. Quindi l'orologio devia dal nostro sistema di riferimento stazionario, e quindi per la relatività speciale, la sua misurazione del tempo sarà diversa dalla nostra, portando a un inevitabile margine d'errore". Infatti, un'analisi dettagliata mostra che l'imprecisione è correttamente data dalla relazione di Heisenberg.

All'interno della diffusa (ma non universalmente accettata) interpretazione di Copenaghen della meccanica quantistica, il principio di indeterminazione è inteso come il fatto che a un livello elementare, l'Universo fisico non esiste in forma deterministica, ma piuttosto come una collezione di probabilità, o potenziali. Ad esempio, il modello (distribuzione di probabilità) prodotto da milioni di fotoni che passano attraverso una fessura di diffrazione, può essere calcolato usando la meccanica quantistica, ma il percorso esatto di ogni fotone non può essere predetto da nessun metodo conosciuto. L'interpretazione di Copenaghen sostiene che non può essere predetto da nessun metodo. Ed è questa interpretazione che Einstein stava mettendo in discussione quando disse: "Non credo che Dio abbia scelto di giocare a dadi con l'universo". Bohr, che era uno degli autori dell'interpretazione di Copenaghen rispose: "Einstein, smettila di dire a Dio cosa fare con i suoi dadi". Più tardi Stephen Hawking aggiunse "Einstein sbagliò quando disse: «Dio non gioca a dadi». La considerazione dei buchi neri suggerisce infatti non solo che Dio gioca a dadi, ma che a volte ci confonda gettandoli dove non li si può vedere". Einstein era convinto che questa interpretazione fosse errata. Il suo ragionamento era che tutte le distribuzioni di probabilità precedentemente conosciute sorgessero da eventi deterministici.

La distribuzione di un lancio di moneta può essere descritta con una distribuzione di probabilità equiprobabile (50% testa e 50% croce). Ma questo non significa che i movimenti fisici siano impredicibili. La meccanica classica può essere usata per calcolare esattamente come ogni moneta atterrerà, se le forze agenti su di essa sono conosciute. E la distribuzione testa/croce si allineerà con la distribuzione di probabilità (date forze iniziali casuali). Einstein assunse che ci fossero delle variabili nascoste nella meccanica quantistica che sottostanno alle probabilità osservate. Né Einstein né altri sono mai riusciti a costruire una teoria della variabile nascosta soddisfacente, e la disuguaglianza di Bell illustra alcuni aspetti critici di questa ricerca. Anche se il comportamento di una particella individuale è casuale, è correlato al comportamento delle altre particelle. Quindi, se il principio di indeterminazione è il risultato di qualche processo deterministico, deve essere il caso che particelle poste a grande distanza trasmettano istantaneamente l'informazione a tutte le altre, per assicurare che ci sia una correlazione nel comportamento.

Portata epistemologica[modifica | modifica wikitesto]

Il principio ha forti implicazioni sulla filosofia della scienza e sul dibattito epistemologico del XX secolo sancendo l'impossibilità, da parte della scienza, di pervenire ad una conoscenza della realtà fisica completa o totale ovvero pienamente deterministica, aprendo definitivamente la strada all'incertezza o indeterminazione anche nelle scienze dure nella forma tipica espressa dai concetti probabilità e statistica, già emersi con la nascita e lo sviluppo della fisica statistica e lo studio dei fenomeni caotici. Il principio rappresenta dunque la fine della visione deterministica espressa da Laplace nel contesto della fisica classica e, assieme ad altri principi della meccanica quantistica, sancisce la nascita della fisica moderna.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ In meccanica quantistica si dicono canonicamente coniugate o semplicemente coniugate due osservabili incompatibili il cui commutatore valga .
  2. ^ In meccanica quantistica si dicono incompatibili due grandezze associate a operatori autoaggiunti che non commutano fra loro: . Vedi D. J. Griffiths, Introduzione alla meccanica quantistica, C.E.A., Milano 2005, p. 118.
  3. ^ a b W. Heisenberg, Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik [Sul contenuto intuitivo della cinematica e della meccanica nella teoria quantistica], in Zeitschrift für Physik, vol. 43, nº 4, 1927, pp. 172–178. Traduzione italiana di S. Boffi, Il principio di indeterminazione, Università degli studi di Pavia, Pavia 1990, pp. 45-74, ISBN 8885159036, on-line: www2.pv.infn.it/~boffi/Werner.pdf
  4. ^ Si tratta di un manoscritto del 1942, pubblicato solo nel 1984 col titolo Ordnung der Wirklichkeit [Ordinamento della realtà], nell'ambito delle opere complete di W. Heisenberg. Traduzione italiana di G. Gembillo e G. Gregorio, Indeterminazione e realtà, Guida, Napoli 1991, p. 128, ISBN-10 8878351016, ISBN-13 9788878351011.
  5. ^ a b c d E. H. Kennard, Zur Quantenmechanik einfacher Bewegungstypen [Sulla meccanica quantistica di tipi semplici di moto], in Zeitschrift für Physik, vol. 44, nº 4, 1927, pp. 326–352, DOI:10.1007/BF01391200.
  6. ^ Una misura quantistica (di von Neumann) della posizione provoca il collasso della funzione d'onda che lascerà la particella in un autostato della posizione. Quindi una successiva misura del momento non potrà coincidere con un autovalore del momento (ad incertezza nulla), ma sarà necessariamente affetta da un'incertezza .
  7. ^ a b c D. Sen, The uncertainty relations in quantum mechanics (PDF), in Current Science, vol. 107, nº 2, 2014, p. 203–218.
  8. ^ P. Busch, P. Lahti, R. F. Werner, Proof of Heisenberg's Error-Disturbance Relation, in Physical Review Letters, vol. 111, nº 16, 2013, arXiv:1306.1565, Bibcode:2013PhRvL.111p0405B.
  9. ^ P. Busch, P. Lahti, R. F. Werner, Heisenberg uncertainty for qubit measurements, in Physical Review A, vol. 89, 2014, arXiv:1311.0837, Bibcode:2014PhRvA..89a2129B, DOI:10.1103/PhysRevA.89.012129.
  10. ^ a b c H. P. Robertson, The Uncertainty Principle, in Phys. Rev., vol. 34, 1929, pp. 163–64, Bibcode:1929PhRv...34..163R, DOI:10.1103/PhysRev.34.163.
  11. ^ a b M. Ozawa, Universally valid reformulation of the Heisenberg uncertainty principle on noise and disturbance in measurement, in Physical Review A, vol. 67, nº 4, 2003, p. 42105, arXiv:quant-ph/0207121, Bibcode:2003PhRvA..67d2105O, DOI:10.1103/PhysRevA.67.042105.
  12. ^ a b K. Fujikawa, Universally valid Heisenberg uncertainty relation, in Physical Review A, vol. 85, nº 6, 2012, arXiv:1205.1360, Bibcode:2012PhRvA..85f2117F, DOI:10.1103/PhysRevA.85.062117.
  13. ^ Gli operatori autoaggiunti hanno spettro degli autovalori associati nel campo dei numeri reali. Siccome gli operatori quantistici rappresentano osservabili fisiche misurabili, l'esito delle misure deve essere un numero reale; caratteristica garantita appunto dalla scelta di operatori autoaggiunti.
  14. ^ D. J. Griffiths, Introduzione alla meccanica quantistica, CEA, Milano 2005, p. 118.
  15. ^ P. A. M. Dirac, The fundamental equations of quantum mechanics, in Proceedings of the Royal Society, A109, 1925, pp. 642-653, DOI:10.1098/rspa.1925.0150.
  16. ^ H. J. Grönewold, On the Principles of elementary quantum mechanics, in Physica, vol. 12, 1946, pp. 405-460, DOI:10.1016/S0031-8914(46)80059-4.
  17. ^ Le grandezze classiche e sono canonicamente coniugate se la loro parentesi di Poisson vale .
    Dirac [15] propose nel 1925 che per le corrispondenti osservabili quantistiche si abbia . Nel 1946, Grönewold dimostrò (teorema di Grönewold-Van Hove) che tale corrispondenza non ha invece validità generale, ma che esiste una correlazione sistematica tra i commutatori quantistici e una versione modificata delle parentesi di Poisson, le parentesi di Moyal[16].
  18. ^ Tutti e tre i casi analizzati da W. Heisenberg nell'articolo del 1927 (posizione/momento, energia/tempo, azione/angolo) hanno commutatori del tipo .
  19. ^ E. U. Condon, Remarks on uncertainty principles, in Science, nº 69, 1929, pp. 573-574.
  20. ^ Sostanzialmente, se lo stato del sistema atomico coincide con un autostato di con autovalore 0, in quello stato la relazione d'indeterminazione diventa , permettento un'apparente violazione dell'indeterminazione di Heisenberg.
  21. ^ S. Boffi, Da Laplace a Heisenberg - Un'introduzione alla meccanica quantistica e alle sue applicazioni, P.U.P., Pavia 2010, p. 182
  22. ^ È esattamente quanto succede nelle tre eccezioni di Condon. Lo stato del sistema atomico coincide con un autostato di con autovalore 0. In quello stato, la relazione d'indeterminazione diventa , e quindi viene meno la condizione d'applicabilità della disuguaglianza di Robertson riportata appena sotto.
  23. ^ Jammer M., The philosophy of quantum mechanics, John Wiley \& Sons, New York 1974, p.80.
  24. ^ K. Popper, Logik der Forschung, Springer-Verlag, Berlin 1934. Traduzione italiana: Logica della scoperta scientifica - Il carattere autocorrettivo della scienza, Einaudi, Torino 1970.
  25. ^ De Broglie L., Sur l'interpretation des relations d'incertitude, "Comptes rendus de l'Academie des Sciences", 268, 1969, pp.277-280.
  26. ^ E. Schrödinger, Zum Heisenbergschen Unschärfeprinzip [Sul principio d'indeterminazione di Heisenberg], in Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften", Physikalisch-Mathematische Klasse, vol. 14, 1930, pp. 296-303.
  27. ^ G. Björk, J. Söderholm, A. Trifonov, T. Tsegaye, A. Karlsson, Complementarity and the uncertainty relations, in Physical Review, A60, 1999, p. 1878, arXiv:quant-ph/9904069, Bibcode:1999PhRvA..60.1874B.
  28. ^ A. Peres, Quantum Theory: Concepts and Methods, Kluwer, Dordrecht 1995, pp. 387-390.
  29. ^ Se la misura fosse invece quella prevista da von Neumann (sharp o strong), si estrarrebbe completamente l'informazione relativa o all'osservabile , o alla , ma non sarebbe possibile la contemporanea misura dell'altra osservabile.
  30. ^ L. A. Rozema, A. Darabi, D. H. Mahler, A. Hayat, Y. Soudagar, A. M. Steinberg, Violation of Heisenberg's Measurement-Disturbance Relationship by Weak Measurements, in Physical Review Letters, vol. 109, 2012, arXiv:1208.0034v2, Bibcode:2012PhRvL.109j0404R, DOI:10.1103/PhysRevLett.109.100404.
  31. ^ J. Erhart, S. Sponar, G. Sulyok, G. Badurek, M. Ozawa, Y. Hasegawa, Experimental demonstration of a universally valid error-disturbance uncertainty relation in spin measurements, in Nature Physics, vol. 8, nº 3, 2012, p. 185-189, arXiv:1201.1833, Bibcode:2012NatPh...8..185E, DOI:10.1038/nphys2194.
  32. ^ S.-Y. Baek, F. Kaneda, M. Ozawa, K. Edamatsu, Experimental violation and reformulation of the Heisenberg's error-disturbance uncertainty relation, in Scientific Reports, vol. 3, 2013, p. 2221, Bibcode:2013NatSR...3E2221B, DOI:10.1038/srep02221.
  33. ^ M. Ringbauer, D. N. Biggerstaff, M. A. Broome, A. Fedrizzi, C. Branciard, A. G. White, Experimental Joint Quantum Measurements with Minimum Uncertainty, in Physical Review Letters, vol. 112, 2014, p. 020401, arXiv:1308.5688, Bibcode:2014PhRvL.112b0401R.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • W. O. Amrein e A. M. Berthier, On support properties of -functions and their Fourier transforms, in J. Funct. Anal., vol. 24, 1977, pp. 258-267.
  • L. Anna, Effetto Heisenberg - La rivoluzione scientifica che ha cambiato la storia, Armando, Roma 2001, ISBN 8883581822.
  • J. D. Barrow, Impossibilità, Rizzoli, Milano 1998.
  • M. Benedicks, On Fourier transforms of functions supported on sets of finite Lebesgue measure, in J. Math. Anal. Appl., vol. 106, 1985, pp. 180–183, DOI:10.1016/0022-247X(85)90140-4.
  • A. Bertagna, Il controllo dell'indeterminato. Potemkin villages e altri nonluoghi, Quodlibet, Macerata 2010.
  • S. Boffi, Da Laplace a Heisenberg - Un'introduzione alla meccanica quantistica e alle sue applicazioni, Pavia University Press, Pavia 2010.
  • D. Bohm, Causalità e caso, CUEN, Napoli 1997.
  • N. Bohr, I quanti e la vita, Bollati Boringhieri, Torino 1999.
  • A. Bonami, B. Demange e Ph. Jaming, Hermite functions and uncertainty principles for the Fourier and the windowed Fourier transforms., in Rev. Mat. Iberoamericana, vol. 19, 2003, pp. 23-55.
  • G. Boniolo (a cura di), Filosofia della fisica, Bruno Mondadori, Milano 2000.
  • M. Born, Filosofia naturale della causalità e del caso, Boringhieri, Torino 1962.
  • G. Careri, Ordine e disordine nella materia, Laterza, Roma Bari 1982.
  • R. Feynman, QED La strana teoria della luce e della materia, Adelphi, Milano 1989.
  • G. Folland e A. Sitaram, The Uncertainty Principle: A Mathematical Survey (PDF), in Journal of Fourier Analysis and Applications, vol. 3, nº 3, maggio 1997, pp. 207–238, DOI:10.1007/BF02649110, 98f:42006.
  • K. W. Ford, La fisica delle particelle, EST Mondadori, Milano 1980.
  • K. W. Ford, Il mondo dei quanti, Bollati Boringhieri, Torino 2006.
  • H. Fritzsch, Quark. I mattoni del mondo, Boringhieri, Torino 1983.
  • M. Gell-Mann, Il quark e il giaguaro, Bollati Boringhieri, Torino 2000.
  • D. J. Griffiths, Introduzione alla meccanica quantistica, Casa Editrice Ambrosiana, Milano 2005.
  • G. H. Hardy, A theorem concerning Fourier transforms, in J. London Math. Soc., vol. 8, 1933, pp. 227–231, DOI:10.1112/jlms/s1-8.3.227.
  • V. Havin e B. Jöricke, The Uncertainty Principle in Harmonic Analysis, Springer-Verlag, 1994.
  • W. Heisenberg, Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik, in Zeitschrift für Physik, vol. 43, 1927, pp. 172–198, DOI:10.1007/BF01397280. Traduzione inglese: J. A. Wheeler, H. Zurek, Quantum Theory and Measurement Princeton University Press, Princeton 1983, pp. 62–84. Traduzioni italiane: a) di S. Boffi, Il principio di indeterminazione, Università degli studi di Pavia, Pavia 1990, pp. 45-74, ISBN 8885159036, on-line: www2.pv.infn.it/~boffi/Werner.pdf ; b) di S. Boffi, Onde e particelle in armonia - Alle sorgenti della meccanica quantistica, Jaca Book, Milano 1991, pp. 147-182, ISBN-10 8816402822, ISBN-13 9788816402829; c) di G. Gembillo, G. Gregorio, Indeterminazione e realtà, Guida, Napoli 1991, pp. 35-67, ISBN-10 8878351016, ISBN-13 9788878351011.
  • W. Heisenberg, Oltre le frontiere della scienza, Editori Riuniti, Roma 1984.
  • W. Heisenberg, Indeterminazione e realtà, Guida, Napoli 1991, ISBN-10 8878351016, ISBN-13 9788878351011.
  • L. Hörmander, A uniqueness theorem of Beurling for Fourier transform pairs, in Ark. Mat., vol. 29, 1991, pp. 231-240.
  • Ph. Jaming, Nazarov's uncertainty principles in higher dimension, in J. Approx. Theory, vol. 149, 2007, pp. 30-41, DOI:10.1016/j.jat.2007.04.005.
  • G. Kane, Il giardino delle particelle, Longanesi, Milano 1997.
  • L. M. Krauss, Il cuore oscuro dell'universo, Mondadori, Milano 1990.
  • M. Lachièze-Rey, Oltre lo spazio e e il tempo, Bollati Boringhieri, Torino 2004.
  • R. Laughlin, Un universo diverso, Codice, Torino 2005.
  • Leonid Mandelstam e Igor Tamm, The uncertainty relation between energy and time in nonrelativistic quantum mechanics, in Izv. Akad. Nauk SSSR (ser. Fiz.), vol. 9, 1945, pp. 122–128. English translation: J. Phys. (USSR) 9, 249-254 (1945).
  • F. Nazarov, Local estimates for exponential polynomials and their applications to inequalities of the uncertainty principle type,, in St. Petersburg Math. J., vol. 5, 1994, pp. 663-717.
  • A. Peres, Quantum Theory: Concepts and Methods, Kluwer, Dordrecht 1995.
  • L. Randall, Passaggi curvi, Il Saggiatore, Milano 2005.
  • (EN) A. Sitaram, Uncertainty principle, mathematical, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002..
  • L. Smolin, La vita del cosmo, Einaudi, Torino 1998.
  • G. ‘t Hooft, Il mondo subatomico, Editori Riuniti, Roma 2000.
  • A. Zeilinger, Il velo di Einstein, Einaudi, Torino 2005.
  • Q. Zheng e T. Kobayashi, Quantum Optics as a Relativistic Theory of Light, in Physics Essays, vol. 9, 1996, p. 447, DOI:10.4006/1.3029255. Annual Report, Department of Physics, School of Science, University of Tokyo (1992) 240.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

Meccanica quantistica Portale Meccanica quantistica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di meccanica quantistica
Controllo di autorità GND: (DE4186953-9