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In statistica e in teoria della probabilità, la covarianza di due variabili statistiche o variabili aleatorie è un numero che fornisce una misura di quanto le due varino assieme, ovvero della loro dipendenza.
La covarianza di due variabili aleatorie
e
è il valore atteso dei prodotti delle loro distanze dalla media:
![{\mathrm {Cov}}(X,Y)={\mathbb {E}}{\Big [}{\big (}X-{\mathbb {E}}[X]{\big )}(Y-{\mathbb {E}}[Y]{\big )}{\Big ]}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1b4e97291f5a14448d11eda3022bfb37e684683)
La covarianza di
e
può anche essere espressa come la differenza tra il valore atteso del loro prodotto e il prodotto dei loro valori attesi:
![{\mathrm {Cov}}(X,Y)={\mathbb {E}}[XY]-{\mathbb {E}}[X]{\mathbb {E}}[Y].](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4515606b58170160273c078a4a75c94246e2c784)
Infatti per la linearità del valore atteso risulta
![{\mathbb {E}}{\Big [}XY-X{\mathbb {E}}[Y]-{\mathbb {E}}[X]Y+{\mathbb {E}}[X]{\mathbb {E}}[Y]{\Big ]}={\mathbb {E}}[XY]-{\mathbb {E}}[X]{\mathbb {E}}[Y]-{\mathbb {E}}[X]{\mathbb {E}}[Y]+{\mathbb {E}}[X]{\mathbb {E}}[Y]={\mathbb {E}}[XY]-{\mathbb {E}}[X]{\mathbb {E}}[Y].](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fedbae37411f45d00c15597e88d4bcad234135be)
La covarianza rispetta le seguenti proprietà, per variabili aleatorie
,
e
, e costanti
e
:



Due variabili aleatorie indipendenti hanno covarianza nulla, poiché dalla loro indipendenza segue
![{\displaystyle \mathbb {E} [XY]=\mathbb {E} [X]\mathbb {E} [Y].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a3eb430ddfd0a1e6f74fab9eda04c21cb87b2c6)
Due variabili aleatorie che hanno covarianza nulla sono incorrelate.
Due variabili aleatorie dipendenti possono essere incorrelate. Ad esempio, se
è una variabile aleatoria di legge uniforme sull'intervallo
e
, allora
![{\displaystyle \textstyle {\text{Cov}}(X,Y)={\text{Cov}}(X,X^{2})=\mathbb {E} [X^{3}]-\mathbb {E} [X]\mathbb {E} [X^{2}]=0-0\mathbb {E} [X^{2}]=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd086bdaabfa47fb3351554aa1db823331123f38)
La covarianza può essere considerata una generalizzazione della varianza

e compare come termine di correzione nella relazione

Più in generale, per variabili aleatorie
e
vale

come caso particolare di

In statistica la covarianza di due variabili statistiche
e
, indicata come
, è un indice di variabilità congiunta.
Su una popolazione di
osservazioni congiunte
, di rispettive medie
e
, la covarianza osservata è

Uno stimatore della covarianza su un campione di
osservazioni congiunte
è

La varianza e la covarianza intervengono per definire l'indice di correlazione di Bravais-Pearson
