Covarianza (probabilità)

In statistica e in teoria della probabilità, la covarianza di due variabili statistiche o variabili aleatorie è un numero che fornisce una misura di quanto le due varino assieme, ovvero della loro dipendenza.

Probabilità

Definizione

La covarianza di due variabili aleatorie $X$ e $Y$ è il valore atteso dei prodotti delle loro distanze dalla media:

$\mathrm {Cov} (X,Y)=\mathbb {E} {\Big [}{\big (}X-\mathbb {E} [X]{\big )}(Y-\mathbb {E} [Y]{\big )}{\Big ]}.$

La covarianza di $X$ e $Y$ può anche essere espressa come la differenza tra il valore atteso del loro prodotto e il prodotto dei loro valori attesi:

$\mathrm {Cov} (X,Y)=\mathbb {E} [XY]-\mathbb {E} [X]\mathbb {E} [Y].$

Infatti per la linearità del valore atteso risulta

$\mathbb {E} {\Big [}XY-X\mathbb {E} [Y]-\mathbb {E} [X]Y+\mathbb {E} [X]\mathbb {E} [Y]{\Big ]}=\mathbb {E} [XY]-\mathbb {E} [X]\mathbb {E} [Y]-\mathbb {E} [X]\mathbb {E} [Y]+\mathbb {E} [X]\mathbb {E} [Y]=\mathbb {E} [XY]-\mathbb {E} [X]\mathbb {E} [Y].$

Proprietà

La covarianza rispetta le seguenti proprietà, per variabili aleatorie $X$, $Y$ e $Z$, e costanti $a$ e $b$:

• ${\text{Cov}}(X,Y)={\text{Cov}}(Y,X)\$
• ${\text{Cov}}(aX+b,Y)=a{\text{Cov}}(X,Y)\$
• ${\text{Cov}}(X+Y,Z)={\text{Cov}}(X,Z)+{\text{Cov}}(Y,Z)\$

Due variabili aleatorie indipendenti hanno covarianza nulla, poiché dalla loro indipendenza segue

$\mathbb {E} [XY]=\mathbb {E} [X]\mathbb {E} [Y].$

Due variabili aleatorie che hanno covarianza nulla sono incorrelate.

Due variabili aleatorie dipendenti possono essere incorrelate. Ad esempio, se $X$ è una variabile aleatoria di legge uniforme sull'intervallo $[-1,1]$ e $Y=X^{2}$, allora

$\textstyle {\text{Cov}}(X,Y)={\text{Cov}}(X,X^{2})=\mathbb {E} [X^{3}]-\mathbb {E} [X]\mathbb {E} [X^{2}]=0-0\mathbb {E} [X^{2}]=0.$

Varianza

La covarianza può essere considerata una generalizzazione della varianza

${\text{Var}}(X)={\text{Cov}}(X,X)\$

e compare come termine di correzione nella relazione

${\text{Var}}(X+Y)={\text{Var}}(X)+{\text{Var}}(Y)+2{\text{Cov}}(X,Y).$

Più in generale, per variabili aleatorie $X_{1},\ldots ,X_{n}$ e $Y_{1},\ldots ,Y_{m}$ vale

$\textstyle {\text{Var}}(\sum _{i}X_{i})={\text{Cov}}(\sum _{i}X_{i},\sum _{j}X_{j})=\sum _{i,j}{\text{Cov}}(X_{i},X_{j})=\sum _{i}{\text{Var}}(X_{i})+2\sum _{i>j}{\text{Cov}}(X_{i},X_{j}),$

come caso particolare di

$\textstyle {\text{Cov}}\left(\sum _{i}X_{i},\sum _{j}Y_{j}\right)=\sum _{i,j}{\text{Cov}}(X_{i},Y_{j}).$

Statistica

In statistica la covarianza di due variabili statistiche $X$ e $Y$, indicata come $\textstyle \sigma _{X,Y}={\text{Cov}}(X,Y)$, è un indice di variabilità congiunta.

Su una popolazione di $N$ osservazioni congiunte $(x_{i},y_{i})$, di rispettive medie ${\bar {x}}$ e ${\bar {y}}$, la covarianza osservata è

$\sigma _{X,Y}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-{\bar {x}})(y_{i}-{\bar {y}})={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}y_{i}-\left({\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}\right)\left({\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}y_{i}\right).$

Uno stimatore della covarianza su un campione di $n$ osservazioni congiunte $(x_{i},y_{i})$ è

$s_{X,Y}={\frac {\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}}{n-1}}-{\frac {\sum _{i=1}^{n}x_{i}}{n-1}}{\frac {\sum _{i=1}^{n}y_{i}}{n}}.$

La varianza e la covarianza intervengono per definire l'indice di correlazione di Bravais-Pearson

$\rho _{X,Y}={\frac {\sum _{i}(x_{i}-{\bar {x}})(y_{i}-{\bar {y}})}{\sqrt {\sum _{j}(x_{j}-{\bar {x}})^{2}\sum _{k}(y_{k}-{\bar {y}})^{2}}}}={\frac {{\text{Cov}}(X,Y)}{\sqrt {{\text{Var}}(X){\text{Var}}(Y)}}}$

Voci correlate

• Valore atteso
• Variabili dipendenti e indipendenti
• Varianza
• Matrice delle covarianze

Collegamenti esterni

• Covarianza, in Thesaurus del Nuovo soggettario, BNCF, marzo 2013.