Covarianza (probabilità)

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In statistica e in teoria della probabilità, la covarianza di due variabili statistiche o variabili aleatorie è un numero che fornisce una misura di quanto le due varino assieme, ovvero della loro dipendenza.

Probabilità[modifica | modifica wikitesto]

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

La covarianza di due variabili aleatorie e è il valore atteso dei prodotti delle loro distanze dalla media:

La covarianza di e può anche essere espressa come la differenza tra il valore atteso del loro prodotto e il prodotto dei loro valori attesi:

Infatti per la linearità del valore atteso risulta

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

La covarianza rispetta le seguenti proprietà, per variabili aleatorie , e , e costanti e :

Due variabili aleatorie indipendenti hanno covarianza nulla, poiché dalla loro indipendenza segue

Due variabili aleatorie che hanno covarianza nulla sono incorrelate.

Due variabili aleatorie dipendenti possono essere incorrelate. Ad esempio, se è una variabile aleatoria di legge uniforme sull'intervallo e , allora

Varianza[modifica | modifica wikitesto]

La covarianza può essere considerata una generalizzazione della varianza

e compare come termine di correzione nella relazione

Più in generale, per variabili aleatorie e vale

come caso particolare di

Statistica[modifica | modifica wikitesto]

In statistica la covarianza di due variabili statistiche e , indicata come , è un indice di variabilità congiunta.

Su una popolazione di osservazioni congiunte , di rispettive medie e , la covarianza osservata è

Uno stimatore della covarianza su un campione di osservazioni congiunte è

La varianza e la covarianza intervengono per definire l'indice di correlazione di Bravais-Pearson

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]