Equazione di Klein-Gordon

L'equazione di Klein–Gordon è un primo tentativo di rendere relativistica l'equazione di Schrödinger. Tuttavia l'equazione di K-G non ammette un'interpretazione probabilistica naturale, inoltre non considera una delle caratteristiche fondamentali di una particella quantistica, ovvero lo spin.

Definizione

L'equazione di Klein-Gordon, che descrive il moto delle particelle scalari (con spin nullo), nasce dall'esigenza di voler inserire il formalismo della relatività ristretta all'interno della meccanica quantistica, e quindi di riscrivere con la notazione covariante l'equazione di Schrödinger:

$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi ={\hat {H}}\psi$$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi ={\hat H}\psi$

con

${\hat {H}}=-\hbar ^{2}{\frac {\nabla ^{2}}{2m}}+{\hat {U}}\left(\mathbf {x} \right)$${\hat H}=-\hbar ^{2}{\frac {\nabla ^{2}}{2m}}+{\hat U}\left({\mathbf {x}}\right)$

Per realizzare un'equazione quantistica relativistica per il moto di una particella libera, si può procedere sostituendo all'espressione non relativistica per l'operatore energia cinetica:

${\hat {E}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}$${\hat E}={\frac {{\hat p}^{2}}{2m}}$

l'espressione relativistica per l'energia totale (che tiene conto dell'operatore energia cinetica e della massa a riposo):

${\hat {E}}={\sqrt {{\hat {p}}^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}$${\hat {E}}={\sqrt {{\hat {p}}^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}$

Si potrebbe allora banalmente cercare una soluzione in maniera simile a quanto fatto con l'equazione di Schrödinger:

${\hat {E}}\psi ={\sqrt {{\hat {p}}^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}\psi$${\hat {E}}\psi ={\sqrt {{\hat {p}}^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}\psi$

ma in questo modo, quando si va a sostituire all'impulso l'operatore nabla, ci si trova di fronte alla radice quadrata di un operatore.

L'idea per ovviare a questo inconveniente è quindi di proporre una sorta di quadrato di quest'ultima equazione:

${\hat {E}}^{2}\psi =\left({\hat {p}}^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}\right)\psi$${\hat {E}}^{2}\psi =\left({\hat {p}}^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}\right)\psi$

che, esplicitando l'operatore energia e l'operatore impulso, diventa:

$\left({\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\right)\psi +{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi =0$$\left({\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\right)\psi +{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi =0$

Scritta per la prima volta da Klein-Gordon, in notazione covariante assume una forma molto compatta:

$\partial _{\mu }\partial ^{\mu }\psi +{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi =0$$\partial _{\mu }\partial ^{\mu }\psi +{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi =0$

Definendo l'operatore d'Alembertiano come: $\Box \equiv \partial _{\mu }\partial ^{\mu }$$\Box \equiv \partial _{\mu }\partial ^{\mu }$ l'equazione si riscrive:

$(\Box +{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}})\psi =0$$(\Box +{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}})\psi =0$

La Lagrangiana di Klein-Gordon

L'equazione di Klein–Gordon può essere ricavata dalla seguente azione

${\mathcal {S}}=c^{2}\int \left(\eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }{\bar {\psi }}\partial _{\nu }\psi -{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}{\bar {\psi }}\psi \right)\mathrm {d} ^{4}x$${\mathcal {S}}=c^{2}\int \left(\eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }{\bar {\psi }}\partial _{\nu }\psi -{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}{\bar {\psi }}\psi \right)\mathrm {d} ^{4}x$

ovvero dalla seguente Lagrangiana

${\mathcal {L}}=c^{2}\left(\eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }{\bar {\psi }}\partial _{\nu }\psi -{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}{\bar {\psi }}\psi \right)$${\mathcal {L}}=c^{2}\left(\eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }{\bar {\psi }}\partial _{\nu }\psi -{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}{\bar {\psi }}\psi \right)$

dove $\eta ^{\mu \nu }$$\eta ^{{\mu \nu }}$ è la metrica dello spazio, $\psi$$\psi$ è il campo di Klein–Gordon e $m$$m$ è la sua massa. Il complesso coniugato di $\psi$$\psi$ è scritto come ${\bar {\psi }}.$${\bar {\psi }}.$

Inconvenienti dell'Equazione di Klein-Gordon

Il vantaggio di questa equazione di Klein-Gordon è quello di trattare tempo e spazio nello stesso modo, mentre l'operatore d'alembertiano risulta essere un invariante. Per contro, però, ci sono alcuni inconvenienti. Innanzitutto, come soluzione di tale equazione, possono esistere anche stati ad energia negativa, quindi c'era il problema di dare un significato alla funzione d'onda.

Per Schrödinger, infatti, il modulo quadro della funzione d'onda rappresenta la densità di probabilità:

$|\psi \left({\vec {r}},t\right)|^{2}=\rho \left({\vec {r}},t\right)_{S}$$|\psi \left({\vec {r}},t\right)|^{2}=\rho \left({\vec {r}},t\right)_{S}$

e quindi

$\int \operatorname {d} ^{3}r|\psi \left({\vec {r}},t\right)|^{2}=1$$\int \operatorname {d} ^{3}r|\psi \left({\vec {r}},t\right)|^{2}=1$

ottenendo:

${\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} t}}\int \operatorname {d} ^{3}r\left|\psi \left({\vec {r}},t\right)\right|^{2}=0$${\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} t}}\int \operatorname {d} ^{3}r\left|\psi \left({\vec {r}},t\right)\right|^{2}=0$

Questa proprietà dovrà essere verificata anche per la densità di probabilità ottenuta dall'equazione di Klein-Gordon:

$\rho \left({\vec {r}},t\right)_{KG}={\frac {i\hbar }{2mc^{2}}}\left[{\bar {\psi }}{\frac {\partial \psi }{\partial t}}-{\psi }{\frac {\partial {\bar {\psi }}}{\partial t}}\right]$$\rho \left({\vec {r}},t\right)_{KG}={\frac {i\hbar }{2mc^{2}}}\left[{\bar {\psi }}{\frac {\partial \psi }{\partial t}}-{\psi }{\frac {\partial {\bar {\psi }}}{\partial t}}\right]$

Questa ρ_KG non è sempre definita positiva, ma può anche essere negativa o nulla.

Prima di capire che questa equazione era utile per descrivere le particelle a spin intero, fu Dirac a preoccuparsi di realizzare un'equazione quantistica relativistica che ovviasse, per quanto possibile, agli inconvenienti introdotti da quella di Klein-Gordon, ottenendo alla fine la altrettanto famosa equazione di Dirac.

Si osservi per i bosoni massivi con spin 1, le equazioni del campo sono descritte dalla Lagrangiana di Proca.

Bibliografia

• (EN) Sakurai, J. J., Advanced Quantum Mechanics, Addison Wesley, 1967, ISBN 0-201-06710-2.
• (EN) Davydov, A.S., Quantum Mechanics, 2nd Edition, Pergamon, 1976, ISBN 0-08-020437-6.

Voci correlate

• Bosone vettore
• Bosone (fisica)
• Lagrangiana di Proca
• Meccanica lagrangiana
• Mesone
• Teorema di Noether

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Equazione di Klein-Gordon, in MathWorld, Wolfram Research.
• Linear Klein–Gordon Equation at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• Nonlinear Klein–Gordon Equation at EqWorld: The World of Mathematical Equations.