Equazione di Klein-Gordon

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L'equazione di Klein–Gordon è un primo tentativo di rendere relativistica l'equazione di Schrödinger. Tuttavia l'equazione di K-G non ammette un'interpretazione probabilistica naturale, inoltre non considera una delle caratteristiche fondamentali di una particella quantistica, ovvero lo spin.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

L'equazione di Klein-Gordon, che descrive il moto delle particelle scalari (con spin nullo), nasce dall'esigenza di voler inserire il formalismo della relatività ristretta all'interno della meccanica quantistica, e quindi di riscrivere con la notazione covariante l'equazione di Schrödinger:

con

Per realizzare un'equazione quantistica relativistica per il moto di una particella libera, si può procedere sostituendo all'espressione non relativistica per l'operatore energia cinetica:

l'espressione relativistica per l'energia totale (che tiene conto dell'operatore energia cinetica e della massa a riposo):

Si potrebbe allora banalmente cercare una soluzione in maniera simile a quanto fatto con l'equazione di Schrödinger:

ma in questo modo, quando si va a sostituire all'impulso l'operatore nabla, ci si trova di fronte alla radice quadrata di un operatore.

L'idea per ovviare a questo inconveniente è quindi di proporre una sorta di quadrato di quest'ultima equazione:

che, esplicitando l'operatore energia e l'operatore impulso, diventa:

Scritta per la prima volta da Klein-Gordon, in notazione covariante assume una forma molto compatta:[1]

Definendo l'operatore d'Alembertiano come: l'equazione si riscrive:

La Lagrangiana di Klein-Gordon[modifica | modifica wikitesto]

L'equazione di Klein–Gordon può essere ricavata dalla seguente azione

ovvero dalla seguente Lagrangiana

dove è la metrica dello spazio, è il campo di Klein–Gordon e è la sua massa. Il complesso coniugato di è scritto come

Inconvenienti dell'Equazione di Klein-Gordon[modifica | modifica wikitesto]

Il vantaggio di questa equazione di Klein-Gordon è quello di trattare tempo e spazio nello stesso modo, mentre l'operatore d'alembertiano risulta essere un invariante. Per contro, però, ci sono alcuni inconvenienti. Innanzitutto, come soluzione di tale equazione, possono esistere anche stati a energia negativa, quindi c'era il problema di dare un significato alla funzione d'onda.

Per Schrödinger, infatti, il modulo quadro della funzione d'onda rappresenta la densità di probabilità:

e quindi

ottenendo:

Questa proprietà dovrà essere verificata anche per la densità di probabilità ottenuta dall'equazione di Klein-Gordon:

Questa ρKG non è sempre definita positiva, ma può anche essere negativa o nulla.

Prima di capire che questa equazione era utile per descrivere le particelle a spin intero, fu Dirac a preoccuparsi di realizzare un'equazione quantistica relativistica che ovviasse, per quanto possibile, agli inconvenienti introdotti da quella di Klein-Gordon, ottenendo alla fine la altrettanto famosa equazione di Dirac.

Si osservi per i bosoni massivi con spin 1, le equazioni del campo sono descritte dalla Lagrangiana di Proca.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ usando la segnatura (+,-,-,-)

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Sakurai, J. J., Advanced Quantum Mechanics, Addison Wesley, 1967, ISBN 0-201-06710-2.
  • (EN) Davydov, A.S., Quantum Mechanics, 2nd Edition, Pergamon, 1976, ISBN 0-08-020437-6.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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