Equazione di Klein-Gordon

L'equazione di Klein–Gordon è un primo tentativo di rendere relativistica l'equazione di Schrödinger. Tuttavia l'equazione di K-G non ammette un'interpretazione probabilistica naturale, inoltre non considera una delle caratteristiche fondamentali di una particella quantistica, ovvero lo spin.

Definizione

L'equazione di Klein-Gordon, che descrive il moto delle particelle scalari (con spin nullo), nasce dall'esigenza di voler inserire il formalismo della relatività ristretta all'interno della meccanica quantistica, e quindi di riscrivere con la notazione covariante l'equazione di Schrödinger:

$i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}={\hat {H}}\psi$

con

${\hat {H}}=-\hbar ^{2}{\frac {\nabla ^{2}}{2m}}+{\hat {U}}\left(\mathbf {x} \right)$

Per realizzare un'equazione quantistica relativistica per il moto di una particella libera, si può procedere sostituendo all'espressione non relativistica per l'operatore energia cinetica:

${\hat {E}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}$

l'espressione relativistica per l'energia totale (che tiene conto dell'operatore energia cinetica e della massa a riposo):

${\hat {E}}={\sqrt {{\hat {p}}^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}$

Si potrebbe allora banalmente cercare una soluzione in maniera simile a quanto fatto con l'equazione di Schrödinger:

${\hat {E}}\psi ={\sqrt {{\hat {p}}^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}\psi$

ma in questo modo, quando si va a sostituire all'impulso l'operatore nabla, ci si trova di fronte alla radice quadrata di un operatore.

L'idea per ovviare a questo inconveniente è quindi di proporre una sorta di quadrato di quest'ultima equazione:

${\hat {E}}^{2}\psi =\left({\hat {p}}^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}\right)\psi$

che, esplicitando l'operatore energia e l'operatore impulso, diventa:

$\left({\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\right)\psi +{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi =0$

Scritta per la prima volta da Klein-Gordon, in notazione covariante assume una forma molto compatta:

$\partial _{\mu }\partial ^{\mu }\psi +{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi =0$

Definendo l'operatore d'Alembertiano come: $\Box \equiv \partial _{\mu }\partial ^{\mu }$ l'equazione si riscrive:

$\left(\Box +{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\right)\psi =0$

La Lagrangiana di Klein-Gordon

L'equazione di Klein–Gordon può essere ricavata dalla seguente azione

${\mathcal {S}}=c^{2}\int \left(\eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }{\bar {\psi }}\partial _{\nu }\psi -{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}{\bar {\psi }}\psi \right)\mathrm {d} ^{4}x$

ovvero dalla seguente Lagrangiana

${\mathcal {L}}=c^{2}\left(\eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }{\bar {\psi }}\partial _{\nu }\psi -{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}{\bar {\psi }}\psi \right)$

dove $\eta ^{\mu \nu }$ è la metrica dello spazio, $\psi$ è il campo di Klein–Gordon e $m$ è la sua massa. Il complesso coniugato di $\psi$ è scritto come ${\bar {\psi }}.$

Inconvenienti dell'Equazione di Klein-Gordon

Il vantaggio di questa equazione di Klein-Gordon è quello di trattare tempo e spazio nello stesso modo, mentre l'operatore d'alembertiano risulta essere un invariante. Per contro, però, ci sono alcuni inconvenienti. Innanzitutto, come soluzione di tale equazione, possono esistere anche stati a energia negativa, quindi c'era il problema di dare un significato alla funzione d'onda.

Per Schrödinger, infatti, il modulo quadro della funzione d'onda rappresenta la densità di probabilità:

$|\psi \left({\vec {r}},t\right)|^{2}=\rho \left({\vec {r}},t\right)_{S}$

e quindi

$\int \operatorname {d} ^{3}r|\psi \left({\vec {r}},t\right)|^{2}=1$

ottenendo:

${\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} t}}\int \operatorname {d} ^{3}r\left|\psi \left({\vec {r}},t\right)\right|^{2}=0$

Questa proprietà dovrà essere verificata anche per la densità di probabilità ottenuta dall'equazione di Klein-Gordon:

$\rho \left({\vec {r}},t\right)_{KG}={\frac {i\hbar }{2mc^{2}}}\left[{\bar {\psi }}{\frac {\partial \psi }{\partial t}}-{\psi }{\frac {\partial {\bar {\psi }}}{\partial t}}\right]$

Questa ρ_KG non è sempre definita positiva, ma può anche essere negativa o nulla.

Prima di capire che questa equazione era utile per descrivere le particelle a spin intero, fu Dirac a preoccuparsi di realizzare un'equazione quantistica relativistica che ovviasse, per quanto possibile, agli inconvenienti introdotti da quella di Klein-Gordon, ottenendo alla fine la altrettanto famosa equazione di Dirac.

Si osservi per i bosoni massivi con spin 1, le equazioni del campo sono descritte dalla Lagrangiana di Proca.

Bibliografia

• (EN) Sakurai, J. J., Advanced Quantum Mechanics, Addison Wesley, 1967, ISBN 0-201-06710-2.
• (EN) Davydov, A.S., Quantum Mechanics, 2nd Edition, Pergamon, 1976, ISBN 0-08-020437-6.

Voci correlate

• Bosone vettore
• Bosone (fisica)
• Lagrangiana di Proca
• Meccanica lagrangiana
• Mesone
• Teorema di Noether

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Equazione di Klein-Gordon, in MathWorld, Wolfram Research.
• Linear Klein–Gordon Equation at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• Nonlinear Klein–Gordon Equation at EqWorld: The World of Mathematical Equations.