Equazione di Dirac

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L'equazione di Dirac è l'equazione d'onda che descrive in modo relativisticamente invariante il moto dei fermioni.

È stata formulata nel 1928 da Paul Dirac nel tentativo di ovviare agli inconvenienti generati dall'equazione di Klein-Gordon (la più immediata formulazione relativistica dell'equazione di Schrodinger), che presenta una difficoltà nell'interpretazione della funzione d'onda, portando a densità di probabilità che possono essere anche negative o nulle, oltre ad ammettere soluzioni ad energia negativa.

L'equazione di Dirac descrive le particelle mediante uno spinore composto da quattro funzioni d'onda (spinore di Dirac), naturale estensione dello spinore a due componenti non relativistico. È stata un passo fondamentale verso una teoria unificata dei principi della meccanica quantistica e della relatività ristretta, permettendo di definire una densità di probabilità sempre consistente. Inoltre ha consentito di spiegare la struttura fine dello spettro dell'atomo di idrogeno e il fattore giromagnetico dell'elettrone.

Anche l'equazione di Dirac ammette soluzioni ad energia negativa. Dirac ipotizzò l'esistenza di un mare infinito di particelle che occupano tali stati ad energia negativa. Dopo lo sviluppo della teoria quantistica dei campi gli stati ad energia negativa furono identificati con le antiparticelle, con l'introduzione di un nuovo numero quantico (che vale +1 per le particelle e -1 per le antiparticelle), in modo da risolvere alcuni paradossi originati dall'ipotesi del mare di Dirac.

Formulazione matematica[modifica | modifica wikitesto]

Utilizziamo la notazione:

e le unità naturali ().

Dirac, partendo dall'equazione di Klein-Gordon:

propone una sorta di radice quadrata di quest'ultima.

Si supponga, infatti, di poter scrivere:

(nel secondo membro abbiamo utilizzato la notazione di Einstein e la convenzione che con le lettere i,j,k indicano sommatorie da 1 a 3 per le componenti spaziali)

il cui quadrato dà:

svolgendo i calcoli otteniamo

, e m sono numeri, quindi commutano con tutte le quantità nell'equazione, otteniamo

(Nell'ultimo passaggio abbiamo usato la definizione di anticommutatore ed il fatto che il prodotto di due tensori può esser scritto come la metà della somma commutatore anticommutatore)

Il tensore è simmetrico, per questo annulla il commutatore quindi rimane

Questa uguaglianza porta ad alcune condizioni sui coefficienti:

Appare evidente, pertanto, che questi coefficienti sono in realtà matrici e non numeri. La prima scelta potrebbero essere le matrici di Pauli, che però sono tre, mentre le matrici da determinare sono 4. Si può suggerire, allora, di creare una base matriciale composta dalle tre matrici di Pauli con l'aggiunta dell'identità: questa è una base completa dello spazio di matrici 2×2, ma se si pone ad esempio β=I, si può verificare che, ad esempio, αxβ + βαx = 2αx=0, ma ciò non è possibile, perché la matrice αx è sicuramente non nulla. Per ovviare a questo inconveniente fu allora necessario passare ad una dimensione maggiore, costruendo delle matrici 4×4. Quelle che Dirac scelse furono (rappresentazione chirale delle matrici γ):

dove

Ponendo poi:

l'equazione viene scritta con le gamma o matrici di Dirac:

dove

mentre i è l'unità immaginaria.

In questo modo le soluzioni dell'equazione del moto sono dei vettori a quattro componenti: una soluzione particolare prende il nome di spinore di Dirac. Inoltre la densità di probabilità, in questo modo, risulta positiva sempre:

Non si riescono, però, ad eliminare le energie negative, che restano quindi come possibili autovalori dell'equazione. Per interpretare questo risultato dell'equazione, Dirac propose un'interpretazione secondo cui esiste un mare di fermioni alcuni dei quali sono in un livello eccitato, e dunque hanno un'energia positiva, ma in tale mare esistono delle lacune che dunque sono ad energia negativa; quando una particella in uno stato eccitato incontra una lacuna, ecco che cade in uno stato non eccitato emettendo della radiazione elettromagnetica (un fenomeno simile alla diseccitazione di atomo in cui un elettrone cade in un livello energetico a meno energia emettendo un fotone, sempre che nella nuvola elettronica dell'atomo esista una lacuna). Tale fenomeno è molto simile all'annichilazione di una particella con un'antiparticella come per esempio l'annichilazione di un elettrone con un positrone, con conseguente emissione di due fotoni, che può essere descritto dall'equazione di Dirac, là dove l'antiparticella viene descritta dalla soluzione dell'equazione di Dirac con energia negativa. Per cui, in un certo senso, si può affermare che Dirac predisse l'esistenza dell'antimateria e il fenomeno dell'annichilazione con la materia, sebbene le sue idee sull'esistenza del mare di fermioni siano state rigettate dalla comunità scientifica perché portavano a delle incongruenze interne alla teoria.

Proprietà dell'hamiltoniana di Dirac[modifica | modifica wikitesto]

L'hamiltoniana di Dirac per una particella libera, , non commuta con il momento angolare orbitale e nemmeno con il momento angolare di spin. Tuttavia, essa commuta con l'operatore momento angolare totale e con l'operatore di elicità.

Commutazione con il momento angolare orbitale[modifica | modifica wikitesto]

Il momento angolare orbitale può essere scritto come Possiamo riscrivere la componente i-esima del momento come , in questa espressione vale la notazione di Einstein e è il tensore completamente antisimmetrico (o tensore di Levi-Civita) a tre indici (i,j,k).

Calcoliamo il commutatore con una componente del momento angolare:

Nell'ultimo passaggio abbiamo usato la seguente proprietà del commutatore .

Tutte le quantità nelle equazioni sono operatori, quindi la commutazione non è immediata.

Il secondo termine è nullo poiché non è nello stesso spazio di Hilbert di r e p, o per essere più rigorosi, il termine con r e p è moltiplicato per una matrice identità nello spazio di e quindi commuta con stesso.

Il primo termine, sfruttando le proprietà del commutatore, può essere scritto come

Con la stessa argomentazione usata per possiamo elidere il secondo termine.

Rimane

dove abbiamo esplicitato la scrittura del momento angolare. Con l'asterisco sulla indichiamo che non utilizzeremo più la notazione di Einstein per questo simbolo e i suoi indici, ma vale ancora per tutti gli altri simboli e relativi indici.

Il segno meno in viene dal fatto che il tensore antisimmetrico in un caso sarebbe positivo e nell'altro negativo, non ci interessa quale dei due, dato che una scelta opportuna del tensore a fattor comune correggerebbe il segno.

Utilizzando l'antisimmetria del commutatore possiamo scrivere:

Adesso scomponiamo i commutatori come abbiamo fatto in precedenza:

Utilizziamo adesso le relazioni di commutazione e . Svolgendo i calcoli

Ora notiamo che nell'ultimo termine abbiamo una sottrazione che inverte gli indici, questo è equivalente a sommare gli indici ripetuti sul tensore di Levi-Civita.

Il commutatore cercato è quindi:

Ad esempio calcoliamo:

Questo sarà:

Commutazione con il momento angolare di spin[modifica | modifica wikitesto]

L'hamiltoniana di Dirac non commuta con il momento angolare di spin.

La k-esima componente del momento angolare di spin può essere scritto come una matrice a blocchi

Ricordando le regole di commutazione delle matrici di Pauli possiamo scrivere

(per portare al primo membro abbiamo moltiplicato da ambo le parti per il tensore di Levi-Civita, inoltre specifichiamo che non deve essere applicata la notazione di Einstein)

Sostituendo nella matrice troviamo

Lasciamo in sospeso il calcolo e ricaviamo il commutatore

troviamo che ci restituisce proprio la matrice precedente

Quindi troviamo la definizione del momento angolare di spin scritto tramite le matrici

Adesso calcoliamo il commutatore

Per svolgere questi calcoli abbiamo utilizzato le regole di commutazione. Nello svolgimento successivo ci serviremo di queste uguaglianze che discendono direttamente dagli anticommutatori delle matrici

Scriviamo esplicitamente l'hamiltoniana di Dirac

Per chiarezza dobbiamo dividere l'ultimo termine in quattro membri e procedere separatamente. Calcoliamo il primo termine

Ricordiamo che è un numero poiché è la n-esima componente dell'impulso, quindi il suo commutatore con una matrice è zero. Per gli altri commutatori utilizziamo le regole di commutazione elencate in precedenza

Calcoliamo il secondo termine

Calcoliamo il terzo termine

Calcoliamo il quarto termine

Adesso sommiamo di nuovo tutti i termini

Sviluppiamo le parentesi e riordiniamo i termini

I termini con la delta si semplificano tra loro perché uguali e opposti, quel che rimane può essere riscritto come

Adesso rimettiamo il risultato del calcolo fatto finora nel commutatore da cui eravamo partiti, otteniamo

Ovvero applicando la delta otteniamo il commutatore cercato

Utilizzando la notazione di Einstein può essere riscritta come

In conclusione il momento angolare di spin non commuta con l'hamiltoniana di Dirac.

Commutazione con il momento angolare totale[modifica | modifica wikitesto]

L'hamiltoniana di Dirac commuta con il momento angolare totale.

Dai calcoli svolti nei paragrafi precedenti si vede che abbiamo per il momento angolare orbitale

mentre per quello di spin

Dobbiamo prima di tutto riportare lo stesso indice per entrambe le notazioni. Cambiamo quello di spin, per farlo conviene spostare l'indice k, per ogni permutazione il tensore cambia segno ma poiché lo fa due volte il segno resta lo stesso.

Notiamo che adesso, anche se le lettere non corrispondono (ma non importa poiché sono indici muti), occupano le stesse posizioni, quindi le due scritture sono identiche, ovvero

Il nostro momento angolare, per essere conservato deve essere

In questo modo il commutatore con H sarà

che è identicamente nullo per ogni componente.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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