Equazione di Dirac

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L'equazione di Dirac è l'equazione d'onda che descrive in modo relativisticamente invariante il moto dei fermioni.

È stata formulata nel 1928 dal fisico inglese Paul Adrien Maurice Dirac nel tentativo di ovviare agli inconvenienti generati dall'equazione di Klein-Gordon (la più immediata formulazione relativistica dell'equazione di Schrodinger), che presenta una difficoltà nell'interpretazione della funzione d'onda, portando a densità di probabilità che possono essere anche negative o nulle, oltre ad ammettere soluzioni ad energia negativa.

L'equazione di Dirac descrive le particelle mediante uno spinore, ovvero un insieme di 4 funzioni d'onda. Essa è consistente sia con i principi della meccanica quantistica che con quelli della teoria della relatività ristretta e permette di definire una densità di probabilità sempre consistente. Inoltre consente di spiegare la struttura fine dello spettro dell'atomo di idrogeno e il fattore giromagnetico dell'elettrone.

Anche l'equazione di Dirac ammette soluzioni ad energia negativa. Dirac ipotizzò l'esistenza di un mare infinito di particelle che occupano tali stati ad energia negativa. Successivamente gli stati ad energia negativa furono identificati con le antiparticelle.

Formulazione matematica[modifica | modifica sorgente]

Utilizziamo la notazione:

g^{\mu \nu}=\left( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{matrix} \right)=
\text{diag}(1,-1,-1,-1)

e le unità naturali ( \hbar = 1, c = 1).

Dirac, partendo dall'equazione di Klein-Gordon:

\left ( \partial_\mu \partial^\mu + m^2 \right ) \Phi = 0

propone una sorta di radice quadrata di quest'ultima:

Si supponga, infatti, di poter scrivere:

E = \alpha_i \cdot p_i + m \cdot \beta = \alpha_x \cdot p_x +\alpha_y \cdot p_y  +\alpha_z \cdot p_z + m \cdot \beta

(nel secondo membro abbiamo utilizzato la notazione di Einstein e la convenzione che con le lettere i,j,k indicano sommatorie da 1 a 3 per le componenti spaziali)

il cui quadrato dà:

p^2 + m^2 = E^2 = \left ( \alpha_i \cdot p_i + m \cdot \beta  \right )^2

svolgendo i calcoli otteniamo


 \left ( \alpha_i \cdot p_i + m \cdot \beta  \right )^2 =
 \alpha_i \cdot p_i \cdot \alpha_j \cdot p_j
+ \alpha_i \cdot p_i \cdot m \cdot \beta
+ m \cdot \beta \cdot \alpha_i \cdot p_i + m^2 \cdot \beta^2
p_i, p_j e m sono numeri, quindi commutano con tutte le quantità nell'equazione, otteniamo
p^2+m^2 = E^2 = \alpha_i \cdot \alpha_j \cdot p_i \cdot p_j  + ( \alpha_i \beta + \beta \alpha_i ) m \cdot p_i + m^2 \cdot \beta^2 =
={1 \over 2} \left( \{ \alpha_i, \alpha_j \} + \left[ \alpha_i,\alpha_j \right] \right) p_i \cdot p_j + m^2 \cdot \beta^2 + \{ \beta, \alpha_i \} m \cdot p_i

(Nell'ultimo passaggio abbiamo usato la definizione di anticommutatore ed il fatto che il prodotto di due tensori può esser scritto come la metà della somma commutatore anticommutatore)

Il tensore  p_i p_j è simmetrico, per questo annulla il commutatore \alpha quindi rimane

p^2+m^2=E^2={1 \over 2}\{ \alpha_i, \alpha_j \} p_i \cdot p_j + m^2 \beta^2 + \{ \beta, \alpha_i \}\cdot m \cdot p_i

Questa uguaglianza porta ad alcune condizioni sui coefficienti:

\alpha_i^2 = \beta^2 = 1
\{ \beta, \alpha_i \} = 0
 \{ \alpha_i,\alpha_j \} = 2 \delta_{i,j}

Appare evidente, pertanto, che questi coefficienti sono in realtà matrici e non numeri. La prima scelta potrebbero essere le matrici di Pauli, che però sono tre, mentre le matrici da determinare sono 4. Si può suggerire, allora, di creare una base matriciale composta dalle tre matrici di Pauli con l'aggiunta dell'identità: questa è una base completa dello spazio di matrici 2×2, ma se si pone ad esempio β=I, si può verificare che, ad esempio, αxβ + βαx = 2αx=0, ma ciò non è possibile, perché la matrice αx è sicuramente non nulla. Per ovviare a questo inconveniente fu allora necessario passare ad una dimensione maggiore, costruendo delle matrici 4×4. Quelle che Dirac scelse furono (rappresentazione chirale delle matrici γ):

\alpha_x = \begin{pmatrix} 0 & \sigma_x \\ \sigma_x & 0 \end{pmatrix}
\alpha_y = \begin{pmatrix} 0 & \sigma_y \\ \sigma_y & 0 \end{pmatrix}
\alpha_z = \begin{pmatrix} 0 & \sigma_z \\ \sigma_z & 0 \end{pmatrix}
\beta = \begin{pmatrix} I & 0 \\ 0 & -I \end{pmatrix}

dove

\sigma_x = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}
\sigma_y = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}
\sigma_z = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}
I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

Ponendo poi:

\gamma^0 \equiv \beta , \gamma^i \equiv \beta \alpha^i

l'equazione viene scritta con le gamma o matrici di Dirac:

\left ( i \gamma^\mu \partial_\mu -m \right ) \psi = 0

dove

\partial_\mu \equiv \frac {\partial}{\partial x^\mu}

mentre i è l'unità immaginaria.

In questo modo le soluzioni dell'equazione del moto sono dei vettori a quattro componenti: una soluzione particolare prende il nome di spinore di Dirac. Inoltre la densità di probabilità, in questo modo, risulta positiva sempre:

\rho \left ( \vec x, t \right ) = \sum_{i=0}^4 \left | \psi_i \left ( \vec x, t \right ) \right |^2 \ge 0

Non si riescono, però, ad eliminare le energie negative, che restano quindi come possibili autovalori dell'equazione. Per interpretare questo risultato dell'equazione, Dirac propose un'interpretazione secondo cui esiste un mare di fermioni alcuni dei quali sono in un livello eccitato, e dunque hanno un'energia positiva, ma in tale mare esistono delle lacune che dunque sono ad energia negativa; quando una particella in uno stato eccitato incontra una lacuna, ecco che cade in uno stato non eccitato emettendo della radiazione elettromagnetica (un fenomeno simile alla diseccitazione di atomo in cui un elettrone cade in un livello energetico a meno energia emettendo un fotone, sempre che nella nuvola elettronica dell'atomo esista una lacuna). Tale fenomeno è molto simile all'annichilazione di una particella con un'antiparticella come per esempio l'annichilazione di un elettrone con un positrone, con conseguente emissione di due fotoni, che può essere descritto dall'equazione di Dirac, là dove l'antiparticella viene descritta dalla soluzione dell'equazione di Dirac con energia negativa. Per cui, in un certo senso, si può affermare che Dirac predisse l'esistenza dell'antimateria e il fenomeno dell'annichilazione con la materia, sebbene le sue idee sull'esistenza del mare di fermioni siano state rigettate dalla comunità scientifica perché portavano a delle incongruenze interne alla teoria.

Proprietà dell'hamiltoniana di Dirac[modifica | modifica sorgente]

L'hamiltoniana di Dirac per una particella libera, H=\alpha_n p_n +m \beta, non commuta con il momento angolare orbitale e nemmeno con il momento angolare di spin. Tuttavia, essa commuta con l'operatore momento angolare totale e con l'operatore di elicità.

Commutazione con il momento angolare orbitale[modifica | modifica sorgente]

Il momento angolare orbitale può essere scritto come  \vec L= \vec r \wedge \vec p Possiamo riscrivere la componente i-esima del momento come  L_i=\varepsilon_{i,j,k} r_j \cdot p_k, in questa espressione vale la notazione di Einstein e \varepsilon_{i,j,k} è il tensore completamente antisimmetrico (o tensore di Levi-Civita) a tre indici (i,j,k).

Calcoliamo il commutatore con una componente del momento angolare:

[H,L_i]=[\alpha_n p_n + m \beta,\varepsilon_{i,j,k} r_j p_k]=[\alpha_n p_n,\varepsilon_{i,j,k} r_j p_k]+[m \beta,\varepsilon_{i,j,k} r_j p_k]

Nell'ultimo passaggio abbiamo usato la seguente proprietà del commutatore [a+b,c]=[a,c]+[b,c].

Tutte le quantità nelle equazioni sono operatori, quindi la commutazione non è immediata.

Il secondo termine è nullo poiché \beta non è nello stesso spazio di Hilbert di r e p, o per essere più rigorosi, il termine con r e p è moltiplicato per una matrice identità nello spazio di \beta e quindi commuta con \beta stesso.

Il primo termine, sfruttando le proprietà del commutatore, può essere scritto come


[\alpha_n p_n,\varepsilon_{i,j,k} r_j p_k]=\alpha_n [p_n,\varepsilon_{i,j,k} r_j p_k]+[\alpha_n,\varepsilon_{i,j,k} r_j p_k]p_n

Con la stessa argomentazione usata per \beta possiamo elidere il secondo termine.

Rimane

[H,L_i]=\alpha_n [p_n,\varepsilon_{i,j,k} r_j p_k]=\alpha_n \varepsilon^*_{i,j,k} [p_n, r_j p_k-r_k p_j]

dove abbiamo esplicitato la scrittura del momento angolare. Con l'asterisco sulla \varepsilon indichiamo che non utilizzeremo più la notazione di Einstein per questo simbolo e i suoi indici, ma vale ancora per tutti gli altri simboli e relativi indici.

Il segno meno in r_j p_k-r_k p_j viene dal fatto che il tensore antisimmetrico in un caso sarebbe positivo e nell'altro negativo, non ci interessa quale dei due, dato che una scelta opportuna del tensore a fattor comune correggerebbe il segno.

Utilizzando l'antisimmetria del commutatore [a,b]=-[b,a] possiamo scrivere:

[H,L_i]=-\alpha_n \varepsilon^*_{i,j,k} [r_j p_k-r_k p_j,p_n]=-\alpha_n \varepsilon^*_{i,j,k} ([r_j p_k,p_n]-[r_k p_j,p_n])

Adesso scomponiamo i commutatori come abbiamo fatto in precedenza:

[H,L_i]=-\alpha_n \varepsilon^*_{i,j,k} ([r_j p_k,p_n]-[r_k p_j,p_n])=-\alpha_n \varepsilon^*_{i,j,k} (r_j [p_k,p_n]+[r_j,p_n]p_k -r_k[p_j,p_n]-[r_k,p_n]p_j)

Utilizziamo adesso le relazioni di commutazione [x_i,p_j]=i \delta_{i,j} e [x_i,x_j]=[p_i,p_j]=0. Svolgendo i calcoli

[H,L_i]=-\alpha_n \varepsilon^*_{i,j,k} ([r_j,p_n]p_k-[r_k,p_n]p_j)=-\alpha_n \varepsilon^*_{i,j,k} i (\delta_{j,n} p_k-\delta_{k,n} p_j)= \varepsilon^*_{i,j,k} i (\alpha_k p_j-\alpha_j p_k)

Ora notiamo che nell'ultimo termine abbiamo una sottrazione che inverte gli indici, questo è equivalente a sommare gli indici ripetuti sul tensore di Levi-Civita.

Il commutatore cercato è quindi:

[H,L_i]=i \varepsilon_{i,j,k} \alpha_k p_j

Ad esempio calcoliamo:[H,L_3]=[H,L_z]

Questo sarà:

[H,L_3]=[H,L_z]=i \varepsilon_{3,j,k} \alpha_k p_j=i (\varepsilon_{3,1,2} \alpha_2 p_1 +\varepsilon_{3,2,1} \alpha_1 p_2)=i (\alpha_2 p_1-\alpha_1 p_2)

Commutazione con il momento angolare di spin[modifica | modifica sorgente]

L'hamiltoniana di Dirac non commuta con il momento angolare di spin.

La k-esima componente del momento angolare di spin può essere scritto come una matrice a blocchi

\Sigma_k=\left(\begin{matrix} \sigma_k & 0 \\ 0 & \sigma_k \end{matrix}\right)

Ricordando le regole di commutazione delle matrici di Pauli possiamo scrivere

\sigma_k=- {i\over 2} \varepsilon^*_{i,j,k} [\sigma_i,\sigma_j]

(per portare \varepsilon a primo membro abbiamo moltiplicato da ambo le parti per il tensore di Levi-Civita,inoltre specifichiamo che non deve essere applicata la notazione di Einstein)

Sostituendo nella matrice \Sigma troviamo

\Sigma_k =-{i\over 2} \varepsilon^*_{i,j,k} \left( \begin{matrix} [\sigma_i,\sigma_j] & 0 \\ 0 & [\sigma_i,\sigma_j] \end{matrix} \right)

Lasciamo in sospeso il calcolo e ricaviamo il commutatore [\alpha_i,\alpha_j]

[\alpha_i,\alpha_j]=
\left[ \left( \begin{matrix}0 & \sigma_i \\ \sigma_i & 0 \end{matrix} \right),
\left( \begin{matrix} 0 & \sigma_j \\ \sigma_j & 0 \end{matrix} \right) \right]=
\left( \begin{matrix} [\sigma_i,\sigma_j] & 0 \\ 0 & [\sigma_i,\sigma_j] \end{matrix} \right)

troviamo che ci restituisce proprio la matrice precedente

Quindi troviamo la definizione del momento angolare di spin scritto tramite le matrici \alpha

\Sigma_k= - {i\over 2} \varepsilon^*_{i,j,k} [\alpha_i,\alpha_j]

Adesso calcoliamo il commutatore

[H,\Sigma_k]=-{i \over 2} \varepsilon^*_{i,j,k} [H,\alpha_i \alpha_j-\alpha_j \alpha_i]=-{i \over 2} \varepsilon^*_{i,j,k} \left( 
[H,\alpha_i \alpha_j]-[H,\alpha_j \alpha_i] \right) =
= -{i \over 2} \varepsilon^*_{i,j,k} \left( \alpha_i [H,\alpha_j]+[H,\alpha_i] \alpha_j-[H,\alpha_j]\alpha_i-\alpha_j [H,\alpha_i] \right)

Per svolgere questi calcoli abbiamo utilizzato le regole di commutazione. Nello svolgimento successivo ci serviremo di queste uguaglianze che discendono direttamente dagli anticommutatori delle matrici \alpha

 \begin{matrix}
{\alpha_i,\alpha_j}=2 \delta_{i,j} & [\alpha_i,\alpha_j]=2(\alpha_i \alpha_j-\delta_{i,j})\\
{\beta,\alpha_i}=0 & [\beta,\alpha_i]=2\beta\alpha_i
\end{matrix}

Scriviamo esplicitamente l'hamiltoniana di Dirac

 [H,\Sigma_k]=
= -{i \over 2} \varepsilon^*_{i,j,k} \left(
\alpha_i [\alpha_n p_n + m \beta,\alpha_j]
+[\alpha_n p_n + m \beta,\alpha_i] \alpha_j
-[\alpha_n p_n + m \beta,\alpha_j]\alpha_i
-\alpha_j [\alpha_n p_n + m \beta,\alpha_i]
\right)

Per chiarezza dobbiamo dividere l'ultimo termine in quattro membri e procedere separatamente. Calcoliamo il primo termine

\alpha_i [\alpha_n p_n + m \beta,\alpha_j]=\alpha_i [\alpha_n p_n,\alpha_j]+\alpha_i [ m \beta,\alpha_j]=\alpha_i \alpha_n [p_n,\alpha_j]
+\alpha_i[\alpha_n,\alpha_j]p_n+m \alpha_i [\beta, \alpha_j]

Ricordiamo che p_n è un numero poiché è la n-esima componente dell'impulso, quindi il suo commutatore con una matrice è zero. Per gli altri commutatori utilizziamo le regole di commutazione elencate in precedenza

\alpha_i [\alpha_n p_n + m \beta,\alpha_j] = 
2 \alpha_i (\alpha_n \alpha_j+\delta_{n,j}) p_n+2 m \alpha_i \beta \alpha_j

Calcoliamo il secondo termine

[\alpha_n p_n + m \beta,\alpha_i] \alpha_j=
[\alpha_n p_n,\alpha_i] \alpha_j+[m \beta,\alpha_i] \alpha_j=
\alpha_n [p_n,\alpha_i] \alpha_j+[\alpha_n,\alpha_i] p_n \alpha_j+m [ \beta,\alpha_i] \alpha_j=
0+2 (\alpha_n \alpha_i - \delta_{n,i}) p_n \alpha_j+2 m \beta \alpha_i \alpha_j

Calcoliamo il terzo termine

-[\alpha_n p_n + m \beta,\alpha_j]\alpha_i=
-[\alpha_n p_n,\alpha_j]\alpha_i-[m \beta,\alpha_j]\alpha_i=
-[\alpha_n,\alpha_j] p_n \alpha_i-\alpha_n [p_n,\alpha_j]\alpha_i-m[\beta,\alpha_j]\alpha_i=
-2(\alpha_n \alpha_j-\delta_{n,j})p_n \alpha_i - 0 -2 m \beta \alpha_j \alpha_i

Calcoliamo il quarto termine


-\alpha_j [\alpha_n p_n + m \beta,\alpha_i]=
-\alpha_j [\alpha_n p_n,\alpha_i]-\alpha_j [m \beta,\alpha_i]=
-\alpha_j [\alpha_n ,\alpha_i]p_n -\alpha_j \alpha_n [p_n,\alpha_i]-\alpha_j m [\beta,\alpha_i]=
-2 \alpha_j (\alpha_n \alpha_i - \delta_{n,i}) p_n -\alpha_j \alpha_n 0 - 2 \alpha_j m \beta \alpha_i =
-2 \alpha_j (\alpha_n \alpha_i - \delta_{n,i}) p_n - 2 \alpha_j m \beta \alpha_i

Adesso sommiamo di nuovo tutti i termini


2 \alpha_i (\alpha_n \alpha_j-\delta_{n,j}) p_n+2 m \alpha_i \beta \alpha_j
+2 (\alpha_n \alpha_i - \delta_{n,i}) p_n \alpha_j+2 m \beta \alpha_i \alpha_j
-2(\alpha_n \alpha_j-\delta_{n,j})p_n \alpha_i - 2 m \beta \alpha_j \alpha_i
-2 \alpha_j (\alpha_n \alpha_i - \delta_{n,i}) p_n - 2 \alpha_j m \beta \alpha_i

Apro le parentesi e riordino i termini


2 \alpha_i \alpha_n \alpha_j p_n 
-2 \alpha_i \delta_{n,j} p_n
+2 m \alpha_i \beta \alpha_j
+2 \alpha_n \alpha_i p_n \alpha_j
-2\delta_{n,i} p_n \alpha_j
+2 m \beta \alpha_i \alpha_j
-2\alpha_n \alpha_j p_n \alpha_i
+2 \delta_{n,j} p_n \alpha_i 
-2 m \beta \alpha_j \alpha_i
-2 \alpha_j \alpha_n \alpha_i p_n 
+ 2 \alpha_j \delta_{n,i} p_n 
- 2 \alpha_j m \beta \alpha_i=

 2 \alpha_i \alpha_n \alpha_j p_n 
+2 \alpha_n \alpha_i \alpha_j p_n
-2\alpha_n \alpha_j \alpha_i p_n
-2 \alpha_j \alpha_n \alpha_i p_n 

+2 \delta_{n,j} p_n \alpha_i 
-2 \delta_{n,j} p_n \alpha_i 
-2 \delta_{n,i} p_n \alpha_j
+2 \delta_{n,i} p_n \alpha_j

+2 m \alpha_i \beta \alpha_j
+2 m \beta \alpha_i \alpha_j
-2 m \beta \alpha_j \alpha_i
-2 m \alpha_j \beta \alpha_i

I termini con la delta si semplificano tra loro perché uguali e opposti, quel che rimane può essere riscritto come


 2 (\alpha_i \alpha_n + \alpha_n \alpha_i) \alpha_j p_n 
-2 (\alpha_n \alpha_j + \alpha_j \alpha_n) \alpha_i p_n

+2 m ( \alpha_i \beta + \beta \alpha_i ) \alpha_j
-2 m ( \beta \alpha_j + \alpha_j \beta ) \alpha_i
=

 2 \{ \alpha_i,\alpha_n \} \alpha_j p_n
-2 \{ \alpha_n,\alpha_j \} \alpha_i p_n
+2 m \{ \beta,\alpha_i \} \alpha_j
-2 m \{ \beta,\alpha_j \} \alpha_i
=
 4 \delta_{i,n} \alpha_j p_n
-4 \delta_{n,j} \alpha_i p_n
+2 m 0 \alpha_j
-2 m 0 \alpha_i
=
 4 ( \delta_{i,n} p_n \alpha_j - \delta_{n,j} p_n \alpha_i )

Adesso rimettiamo il risultato del calcolo fatto finora nel commutatore da cui eravamo partiti, otteniamo

 [H,\Sigma_k]=
-{i \over 2} \varepsilon^*_{i,j,k} \left[ 4 ( \delta_{i,n} p_n \alpha_j - \delta_{n,j} p_n \alpha_i ) \right]

Ovvero applicando la delta otteniamo il commutatore cercato

 [H,\Sigma_k]= - 2 i \varepsilon^*_{i,j,k} \left( p_i \alpha_j - p_j \alpha_i  \right)

Utilizzando la notazione di Einstein può essere riscritta come

 [H,\Sigma_k]= - 2 \cdot i \cdot \varepsilon_{i,j,k} \cdot p_i \cdot \alpha_j

In conclusione il momento angolare di spin non commuta con l'hamiltoniana di Dirac.

Commutazione con il momento angolare totale[modifica | modifica sorgente]

L'hamiltoniana di Dirac commuta con il momento angolare totale.

Dai calcoli svolti nei paragrafi precedenti si vede che abbiamo per il momento angolare orbitale

[H,L_i]=i \varepsilon_{i,j,k} \alpha_k p_j

mentre per quello di spin

 [H,\Sigma_k]= - 2 i \varepsilon_{i,j,k} p_i \alpha_j

Dobbiamo prima di tutto riportare lo stesso indice per entrambe le notazioni. Cambiamo quello di spin, per farlo conviene spostare l'indice k, per ogni permutazione il tensore cambia segno ma poiché lo fa due volte il segno resta lo stesso.

 [H,\Sigma_k]= - 2 i \varepsilon_{i,j,k} \alpha_j p_i= - 2 i \varepsilon_{k,i,j} p_i \alpha_j

Notiamo che adesso, anche se le lettere non corrispondono (ma non importa poiché sono indici muti), occupano le stesse posizioni, quindi le due scritture sono identiche, ovvero

 [H,\Sigma_i]= - 2 i \varepsilon_{i,j,k} \alpha_k p_j

Il nostro momento angolare, per essere conservato deve essere

J_i=L_i+{1\over 2} \Sigma_i

In questo modo il commutatore con H sarà

[H,J]=\left[H,L_i+{1\over 2}\Sigma_i \right]=\left[H,L_i\right]+{1\over 2}\left[H,\Sigma_i \right]
= i \varepsilon_{i,j,k} \alpha_k p_j+ {1\over 2}( - 2 i \varepsilon_{i,j,k} \alpha_k p_j )=0

che è identicamente nullo per ogni componente.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]