Meccanica lagrangiana

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In fisica e matematica, in particolare in meccanica razionale, la meccanica lagrangiana è una ri-formulazione della meccanica classica introdotta da Eulero e Joseph-Louis Lagrange nel diciottesimo secolo. Si tratta di un formalismo in cui le equazioni del moto sono ricavate a partire dal principio di minima azione e vengono scritte tramite le equazioni di Eulero-Lagrange per la funzione lagrangiana.[1] Si applica a sistemi dinamici con vincoli olonomi.

La descrizione lagrangiana, particolarmente efficace nel caratterizzare il moto di un insieme di punti materiali soggetti a vincoli, è stata successivamente perfezionata e generalizzata da molti altri metodi tra cui Carl Gustav Jacob Jacobi (teoria di Hamilton-Jacobi) e William Rowan Hamilton, con la meccanica hamiltoniana.

Descrizione[modifica | modifica wikitesto]

Nell'ambito della meccanica lagrangiana si rappresenta un sistema di particelle tramite un set di coordinate generalizzate q_i e le rispettive velocità \dot q_i. Lo spazio delle coppie (q_1, \dots , q_n , \dot q_1 \dots , \dot q_n) rappresenta l'insieme delle posizioni che il sistema può assumere compatibilmente con i vincoli imposti.

In questo approccio la traiettoria del sistema non viene studiata a partire dalle forze agenti su di esso, come avviene nell'ambito tradizionale della dinamica newtoniana, ma è la soluzione di un problema variazionale in cui tra tutti i moti possibili il sistema percorre il cammino che minimizza (ne annulla la variazione) una funzione scalare detta azione, in accordo con il principio di minima azione (principio variazionale di Hamilton).

L'azione è data dall'integrale della lagrangiana  \mathcal{L} (q, \dot q,t) :

\mathcal{S} = \int_{t_1}^{t_2} \mathcal L \, dt

e dal principio di minima azione si possono ricavare (ad esempio sfruttando il lemma fondamentale del calcolo delle variazioni) le equazioni del moto per il sistema considerato; nello specifico ciò avviene sia risolvendo le equazioni talvolta dette "equazioni di Lagrange del primo tipo", che trattano esplicitamente i vincoli con equazioni aggiuntive (spesso mediante l'utilizzo dei moltiplicatori di Lagrange), sia le "equazioni di Lagrange del secondo tipo", ovvero le equazioni di Eulero-Lagrange, che incorporano l'azione dei vincoli con un'opportuna scelta delle coordinate generalizzate.[2][3][4][5]

La lagrangiana classicamente è data dalla differenza tra l'energia cinetica e l'energia potenziale del sistema studiato, ma può anche avere una forma più generale, e si possono avere più lagrangiane per la stessa equazione del moto.

Il formalismo lagrangiano e il principio di minima azione sono strettamente legati al teorema di Noether, che collega quantità conservate del moto con le simmetrie continue dell'azione. Questo ambiente fornisce, inoltre, un formalismo naturale per la "prima quantizzazione", includendo commutatori tra determinati termini delle equazioni di Lagrange relative al moto di un sistema fisico.

Lo spazio delle configurazioni (coordinate generalizzate) con cui è rappresentato il sistema può essere una varietà differenziabile, detta varietà delle configurazioni.

Dalla meccanica newtoniana alla meccanica lagrangiana[modifica | modifica wikitesto]

Si consideri un sistema di n particelle in \R^m, ognuna identificata da m coordinate generalizzate:


\begin{array}{r c l}
\mathbf{r}_1 &=& \mathbf{r}_1(q_1, q_2, \cdots, q_m) \\
\mathbf{r}_2 &=& \mathbf{r}_2(q_1, q_2, \cdots, q_m) \\
    & \vdots &  \\
\mathbf{r}_n &=& \mathbf{r}_n(q_1, q_2, \cdots, q_m)
\end{array}

dove ogni coordinata dipende dal tempo e la velocità di ogni particella è data dalla regola della catena:[6]

\mathbf{\dot{r}}_i = \sum_{j=1}^m \frac {\partial \mathbf r_i }{\partial q_j } \dot q_j

Un'espressione per lo spostamento virtuale (infinitesimo) \delta \mathbf{r}_i del sistema (per vincoli indipendenti dal tempo o dalla velocità) ha la stessa forma di un differenziale totale:

\delta \mathbf{r}_i = \sum_{j=1}^m \frac {\partial \mathbf {r}_i} {\partial q_j} \delta q_j

Considerando il moto come determinato dall'applicazione di forze applicate \mathbf F_i e forze inerziali - m \mathbf a_i, il principio di D'Alembert stabilisce che il loro lavoro virtuale \delta W relativamente allo spostamento virtuale \delta \mathbf{r}_i è dato da:[7]

\delta W = \sum_{i=1}^n ( \mathbf {F}_{i} - m_i \mathbf{a}_i )\cdot \delta \mathbf r_i = \sum_{j=1}^m \sum_{i=1}^n ( \mathbf {F}_{i} - m_i \mathbf{a}_i )\cdot \frac {\partial \mathbf {r}_i} {\partial q_j} \delta q_j= 0

dove \mathbf a_i sono le accelerazioni delle particelle. Questa espressione suggerisce che le forze applicate possono essere espresse come forze generalizzate Q_j. Dividendo per \delta q_j si ottiene la definizione di forza generalizzata:

Q_j = \frac{\delta W}{\delta q_j}= \sum_{i=1}^n \mathbf {F}_i \cdot \frac {\partial \mathbf{r}_i} {\partial q_j}

Se le forze \mathbf F_i sono conservative, allora esiste un potenziale scalare (campo scalare) V il cui gradiente è la forza:

\mathbf F_i = - \nabla V

allora si ha:

 Q_j = - \sum_{i=1}^n \nabla V  \cdot \frac {\partial \mathbf {r}_i} {\partial q_j} = - \frac {\partial V}{\partial q_j}

Ovvero, le forze generalizzate possono essere ridotte al gradiente di un potenziale scritto mediante le coordinate generalizzate. Il precedente risultato può essere anche ricavato notando che V è una funzione di \mathbf r_i, che dipendono a loro volta da q_j, e applicando la regola della catena alla derivata di V rispetto a q_j.

Energia cinetica[modifica | modifica wikitesto]

L'energia cinetica T di un sistema di particelle \mathbf{r}_i = \mathbf{r}_i(q_1, q_2, \cdots, q_n) \in \R^n è definita come:

T = \frac {1}{2} \sum_{i=1}^n m_i v_i^2

con:

 v_i^2 = \mathbf {\dot{r}}_i \cdot \mathbf {\dot{r}}_i

dove:

\mathbf{\dot{r}}_i = \sum_{j=1}^n \frac {\partial \mathbf r_i }{\partial q_j } \dot q_j

Le derivate parziali di T rispetto alle coordinate generalizzate q_j e le velocità generalizzate \dot{q}_j sono:

\frac{\partial T}{\partial q_j} = \sum_{i=1}^n m_i \mathbf{\dot{r}}_i \cdot \frac{\partial \mathbf{\dot{r}}_i}{\partial q_j} \qquad \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_j} = \sum_{i=1}^n m_i \mathbf{\dot{r}}_i \cdot \frac{\partial \mathbf{\dot{r}}_i}{\partial \dot{q}_j}

Facendo la derivata parziale rispetto a q_j della velocità \mathbf{\dot{r}}_i si ottiene:

\frac {\partial \mathbf{\dot{r}}_i}{\partial \dot{q_j}} = \frac {\partial \mathbf{r}_i}{\partial q_j}

Si ha allora:

\quad \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_j} = \sum_{i=1}^n m_i \mathbf{\dot{r}}_i \cdot \frac{\partial \mathbf{r}_i}{\partial q_j}

La derivata totale rispetto al tempo di tale equazione è:

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_j} = \sum_{i=1}^n m_i \mathbf{\ddot{r}}_i \cdot \frac {\partial \mathbf{r}_i}{\partial q_j} + \sum_{i=1}^n m_i \mathbf{\dot{r}}_i \cdot \frac {\partial \mathbf{\dot{r}}_i}{\partial q_j} = Q_j + \frac{\partial T}{\partial q_j}

che conduce alle equazioni del moto generalizzate:

Q_j = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left ( \frac {\partial T}{\partial \dot{q}_j} \right ) - \frac {\partial T}{\partial q_j}

che contengono le leggi di Newton.[8]

Vincoli perfetti[modifica | modifica wikitesto]

I moti di un sistema vincolato si rappresentano considerando N punti materiali in \R^3, che costituiscono un sistema \mathbf x = (\mathbf x_1 , \dots , \mathbf x_N) \in \R^{3N} soggetto a m vincoli olonomi f (eventualmente dipendenti dal tempo t) che agiscono su di esso:

\; f_1(\mathbf x,t) = 0, \dots , f_m(\mathbf x,t) = 0

Per ogni fissato istante di tempo queste relazioni definiscono una superficie (una varietà differenziabile \,M_t) immersa nello spazio euclideo 3N-dimensionale. In particolare, un sistema è soggetto a vincoli perfetti se \forall \mathbf x \in M_t le reazioni vincolari sono in quell'istante t ortogonali allo spazio tangente alla superficie M_t.

In termini di coordinate generalizzate (q_1, \dots, q_n, t) sulla superficie M_t, che ha dimensione n = 3N - m, la condizione che il sistema \mathbf x = \mathbf x(q_1, \dots, q_n) sia soggetto a vincoli perfetti si traduce in:

\mathbf R \cdot \frac{\partial \mathbf x}{\partial q_j} = 0

dove \mathbf R \in \mathbb{R}^{3N} è il vettore che rappresenta tutte le reazioni vincolari cui ogni punto del sistema è soggetto.

La lagrangiana[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Lagrangiana.

La descrizione dei sistemi meccanici sviluppata dalla meccanica lagrangiana si basa sull'introduzione di una funzione, detta lagrangiana, data dalla differenza tra l'energia cinetica T e l'energia potenziale U:

 \mathcal{L} (\dot q, q, t) = T (\dot q, q, t) - U (q, t)

Nel descrivere sistemi in cui l'energia si conserva la lagrangiana dipende soltanto dalle coordinate q e dalle loro derivate \dot q, in quanto il potenziale non dipende dal tempo (così come l'energia cinetica T=m \dot q^2/2).

Equazioni di Lagrange del primo tipo[modifica | modifica wikitesto]

Le equazioni di Lagrange del primo tipo per un sistema di n particelle con C vincoli olonomi, dati dalle funzioni F_1,\dots,F_C, sono:

\frac{\partial \mathcal L}{\partial r_j} - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot{r}_j}\right) + \sum_{i=1}^C \lambda_i \frac{\partial F_i}{\partial r_j}=0

dove \lambda_i è un moltiplicatore di Lagrange e j=1,\dots,n. Esiste un moltiplicatore di Lagrange per ogni vincolo.

Per analogia con la procedura matematica, si può scrivere anche:

\frac{\delta \mathcal L}{\delta r_j} + \lambda\frac{\partial F}{\partial r_j}=0

in cui:

\frac{\delta \mathcal L}{\delta r_j} = \frac{\partial \mathcal L}{\partial r_j} - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot{r}_j}\right)

denota la derivata variazionale.

Equazioni di Eulero-Lagrange[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Equazioni di Eulero-Lagrange.

Le equazioni del moto di Eulero-Lagrange sono un sistema di equazioni per  \mathcal{L} (\dot q, q, t) della forma:

\frac{\operatorname d}{\operatorname dt} \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot q_i} - \frac{\partial \mathcal L}{\partial q_i}= 0

che forniscono una formulazione del secondo principio della dinamica. Infatti, scrivendo la lagrangiana come differenza tra l'energia cinetica e l'energia potenziale:

\mathcal L(r, \dot r) = \frac{1}{2} m \dot r^2 - U(r)

si nota che:

 \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot r} = m \dot r \qquad \frac{\partial \mathcal L}{\partial r} = - \frac{\partial U}{\partial r} = F

si ha:

\frac{\operatorname d}{\operatorname dt} \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot r} - \frac{\partial \mathcal L}{\partial r}=  m \ddot r - F = 0

ovvero l'equazione di Newton.

La proprietà principale delle equazioni di Lagrange è che, a differenza delle equazioni di Newton, esse non cambiano forma quando si passa dalle coordinate cartesiane x^\alpha ad un altro sistema di coordinate q^\beta. Questo permette di scrivere agevolmente le equazioni in coordinate diverse da quelle cartesiane ottenendo spesso una loro semplificazione (come avviene ad esempio per i problemi con forze centrali scritti in coordinate polari), inoltre permette di generalizzare la teoria dai sistemi definiti su spazi vettoriali ai sistemi definiti su varietà differenziabili, come ad esempio i sistemi con vincoli olonomi.

Costanti del moto[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Costante del moto e Integrale primo.

Se la lagrangiana non dipende da una certa coordinata q_i (detta per tal motivo coordinata ciclica) si ha dalle equazioni di Eulero-Lagrange che:

\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \mathcal L}{\partial\dot{q_i}}\right)=0

e quindi p_i = \partial \mathcal L / \partial\dot{q_i} è una costante del moto: si tratta di un caso particolare del più generale teorema di Noether.

Le equazioni di Eulero-Lagrange equivalgono del resto alle equazioni per i momenti coniugati:

\mathbf p = \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot \mathbf q} \qquad \mathbf \dot p = \frac{\partial \mathcal L}{\partial \mathbf q}

La formulazione delle equazioni del moto a partire dai momenti coniugati è sviluppata dalla meccanica hamiltoniana, in cui l'energia totale del sistema è solitamente associata alla funzione hamiltoniana \mathcal{H}(\mathbf q, \mathbf p,t), definita come la trasformata di Legendre della lagrangiana:

\mathcal{H} = \sum_i {\dot q_i} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial {\dot q_i}}- \mathcal{L} = \sum_i {\dot q_i} p_i - \mathcal{L}

Se inoltre è soddisfatta la condizione di non degenerazione:

\det \left( \frac{\partial^2 \mathcal L}{\partial\dot{q_i}\partial\dot{q_j}} \right) \ne 0

ovvero se la matrice di elementi  \partial^2 \mathcal L / \partial\dot{q_i}\partial\dot{q_j} è invertibile, allora è invertibile la definizione delle coordinate canoniche (\mathbf p,\mathbf q) fornita da p_i = \partial \mathcal L / \partial\dot{q_i}, in modo da avere le \dot q in funzione di p.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ H. Goldstein, Classical Mechanics, 3rd, Addison-Wesley, 2001, p. 35.
  2. ^ R. Dvorak, Florian Freistetter, § 3.2 Lagrange equations of the first kind, in Chaos and stability in planetary systems, Birkhäuser, 2005, p. 24, ISBN 3-540-28208-4.
  3. ^ H Haken, Information and self-organization, 3rd, Springer, 2006, p. 61, ISBN 3-540-33021-6.
  4. ^ Cornelius Lanczos, II §5 Auxiliary conditions: the Lagrangian λ-method, in The variational principles of mechanics, Reprint of University of Toronto 1970 4th, Courier Dover, 1986, p. 43, ISBN 0-486-65067-7.
  5. ^ Henry Zatzkis, §1.4 Lagrange equations of the second kind, in DH Menzel (a cura di), Fundamental formulas of physics, vol. 1, 2nd, Courier Dover, 1960, p. 160, ISBN 0-486-60595-7.
  6. ^ Sheila Widnall - Lecture L20 - Energy Methods: Lagrange's Equations
  7. ^ Bruce Torby, Energy Methods, in Advanced Dynamics for Engineers, HRW Series in Mechanical Engineering, United States of America, CBS College Publishing, 1984, ISBN 0-03-063366-4.
  8. ^ Analytical Mechanics, L.N. Hand, J.D. Finch, Cambridge University Press, 2008, ISBN 978-0-521-57572-0

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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