Teorema di Noether

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In matematica e fisica, il teorema di Noether, il cui nome è dovuto a Emmy Noether, stabilisce che ad ogni simmetria della lagrangiana, ovvero ad ogni trasformazione continua delle coordinate generalizzate q e \dot q (ed eventualmente del tempo t) che lascia inalterata la lagrangiana L(q,\dot q,t), corrisponde una quantità conservata. Ad esempio, se in seguito alla trasformazione q(t) \to q(t)+\epsilon, dove \epsilon è una quantità infinitesima, si ha che:

\frac{\partial L(q,\dot q,t)}{ \partial q} = 0

ovvero q è una coordinata ciclica (la lagrangiana non dipende esplicitamente da essa), allora p si conserva:

\frac{\partial L(q,\dot q,t)}{ \partial \dot q} = p = cost.

dove p è il momento coniugato alla coordinata q.

Il teorema, che viene anche formulato per le simmetrie del funzionale azione, fu pubblicato da Emmy Noether nel 1918 nell'articolo "Invariante Variationsprobleme", apparso sul Gottinger Nachrichten.[1][2]

Introduzione[modifica | modifica wikitesto]

Nel caso più semplice si può considerare un punto materiale di massa m in una dimensione con posizione q(t) e velocità \dot q = dq/dt, descritto dalla lagrangiana L(q,\dot q). La quantità di moto p = dL / d \dot q del punto materiale e la forza F agente su di esso:

{F \over m} = {dL \over dq}

sono legate dall'equazione di Eulero-Lagrange:

{F \over m} = \dot p

che costituisce l'equazione del moto del sistema. Si supponga di traslare la posizione del punto da q a q' con una trasformazione spaziale parametrizzata dalla variabile s, ovvero q'=q(s). Se la lagrangiana rimane inalterata in seguito alla trasformazione allora la sua derivata rispetto a s è nulla:

\frac {d}{ds}L(q(s),\dot q(s))=0

Il teorema di Noether afferma che in tal caso la quantità J = p \ dq(s)/ds si conserva, cioè \dot J=0. Si dice che J è una costante del moto.

In modo equivalente, se il punto materiale ha una posizione \mathbf q = (q_1,\dots,q_n) e se la lagrangiana non dipende da una qualche variabile q_i le equazioni di Eulero-Lagrange:

\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \right) = \frac{\partial L}{\partial q_i} \qquad i=1,\dots ,n

mostrano che \partial L / \partial {q}_i = 0 implica che la quantità p_i = \partial L / \partial \dot{q}_i si conserva, avendo derivata temporale nulla.

Quando una funzione è invariante rispetto ad una trasformazione continua che coinvolge una o più variabili si dice che la funzione possiede una o più simmetrie. Il teorema di Noether si può anche enunciare considerando, invece che direttamente la lagrangiana, le simmetrie dell'azione associata al moto del sistema, ovvero l'integrale della lagrangiana rispetto al tempo.[3]

Enunciato[modifica | modifica wikitesto]

Dato un sistema \mathbf{q}=(q_1,\dots,q_n) ad n gradi di libertà (coordinate generalizzate) con velocità \mathbf{ \dot q}=(\dot q_1,\dots, \dot q_n) ed una funzione  \mathbf f(t), se in seguito alla trasformazione infinitesima:

t \to t \qquad q_i(t) \to q_i(t) + \epsilon f_i(t) \qquad \dot q_i(t) \to \dot q_i(t) + \epsilon \dot f_i(t)

la lagrangiana L(\mathbf q, \mathbf \dot q,t) non cambia, allora le quantità:

\sum_{i=1}^n \frac{\partial L}{ \partial \dot q_i}f_i

sono costanti del moto, ovvero si conservano.[4]

Nel caso di una trasformazione che coinvolge anche il tempo, ovvero t \to t + \epsilon , si ha che:

\frac{dL}{ dt} = \frac{\partial L}{ \partial t} + \sum_i \left[ \frac{\partial L}{ \partial q_i} \dot q_i +  \frac{\partial L}{ \partial \dot q_i} \ddot q_i \right]

e dal momento che l'equazione del moto ha la forma (equazione di Eulero-Lagrange):

\frac{\partial L}{ \partial q_i} = \frac{d}{ dt}  \frac{\partial L}{ \partial \dot q_i} \qquad \forall i

il primo termine tra parentesi può essere riscritto in modo da avere:

\frac{dL}{ dt} = \frac{\partial L}{ \partial t} + \sum_i \left[ \left( \frac{d}{ dt}  \frac{\partial L}{ \partial \dot q_i} \right) \dot q_i +  \frac{\partial L}{ \partial \dot q_i} \ddot q_i \right]

ovvero:

\frac{dH}{ dt} = -\frac{\partial L}{ \partial t}

dove H è l'hamiltoniana, la trasformata di Legendre della lagrangiana:

H = \sum_i \frac{\partial L}{ \partial \dot q_i} \dot q_i -L

Se dunque L non dipende esplicitamente dal tempo (-\partial L / \partial t = 0) allora H si conserva (dH / dt = 0, ovvero H=cost.).

Simmetrie dell'azione[modifica | modifica wikitesto]

Il teorema di Noether può essere enunciato considerando, in luogo della lagrangiana, il funzionale integrale azione I:

I = \int L(\mathbf q, \mathbf \dot q,t) dt

Si supponga che I è invariante rispetto alla trasformazione:

t \to \bar t(\mathbf q ,t,\lambda)
q_i \to \bar q_i(\mathbf q ,t,\lambda) \qquad \mathbf q \to \mathbf \bar q (\mathbf q,t,\lambda)

dove \lambda è un parametro continuo, ovvero si verifica:

\int_{t_1}^{t_2} L(\mathbf q, \mathbf \dot q,j) dj = \int_{t_1'}^{t_2'} L(\mathbf \bar q, \mathbf \dot \bar q,j) dj

dove gli estremi di integrazione variano durante la trasformazione. Considerando una variazione \delta \lambda infinitesima:

 \qquad \delta t = \bar t - t  = A(\mathbf q , t) \delta \lambda \qquad  \delta \mathbf q = \mathbf \bar q(\bar t ) -\mathbf q(t) = B(\mathbf q , t) \delta \lambda

la quantità conservata è:

 \left( L - \frac{\partial L}{ \partial \dot q_i} \dot q_i \right) A(\mathbf q , t) + \frac{\partial L}{ \partial \dot q_i} B(\mathbf q , t) = -H A(\mathbf q , t) + p_i B(\mathbf q , t)

dove H è detta hamiltoniana e p_i è il momento coniugato alla coordinata q_i.[5]

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Dimostrazione 1[modifica | modifica wikitesto]

Si consideri un sistema fisico descritto da un campo \psi. Quando una certa quantità è invariante per una trasformazione del sistema allora la corrispondente lagrangiana è simmetrica, ossia se \psi si trasforma per una trasformazione infinitesima \alpha come:

 \psi \rarr \psi + \alpha \Delta \psi

la lagrangiana \mathcal {L}, dovendo essere invariante, deve diventare:

 \mathcal {L} \rarr \mathcal {L} + \alpha \partial _\mu \mathcal {J}^\mu

dove \mathcal {J} rappresenta una corrente di una qualche quantità che fluisce attraverso la superficie dell'integrale che definisce l'azione.

In generale, la variazione di \mathcal {L} si può scrivere come:

 \alpha \Delta \mathcal {L} = \frac {\partial \mathcal {L}}{\partial \psi} ( \alpha \Delta \psi) + \frac {\partial \mathcal {L}}{\partial (\partial_\mu \psi)} \partial _\mu ( \alpha \Delta \psi)

Considerando la derivata di un prodotto, il secondo termine si può riscrivere come:

 \partial _\mu \left( \frac {\partial \mathcal {L}}{\partial (\partial_\mu \psi)} \alpha \Delta \psi \right) -  \alpha \Delta \psi\partial _\mu \left( \frac {\partial \mathcal {L}}{\partial ( \partial_\mu \psi)} \right)

Sostituendo e prendendo a fattor comune \alpha\Delta\psi si ottiene:

 - \alpha \Delta \psi \left(  \partial _\mu  \frac {\partial \mathcal {L}}{\partial (\partial_\mu \psi)} -\frac {\partial \mathcal {L}}{\partial  \psi} \right) + \partial _\mu \left( \frac {\partial \mathcal {L}}{\partial ( \partial_\mu \psi)} \alpha \Delta \psi \right)

Ricordando l'equazione di Eulero-Lagrange, quanto sopra diventa:

\partial _\mu \left( \frac {\partial \mathcal {L}}{\partial ( \partial_\mu \psi)} \alpha \Delta \psi \right)

ossia:

\partial _\mu \left( \frac {\partial \mathcal {L}}{\partial ( \partial_\mu \psi)} \alpha \Delta \psi \right) =  \alpha \partial _\mu \mathcal {J}^\mu

Riscrivendo il tutto, si può vedere come ci sia una conservazione della corrente \mathcal {J} notando che:

\partial _\mu \left( \frac {\partial \mathcal {L}}{\partial ( \partial_\mu \psi)} \Delta \psi  - \mathcal {J}^\mu \right) = 0

Dimostrazione 2[modifica | modifica wikitesto]

Si supponga che le variabili dipendenti \mathbf q siano tali che l'azione, data dall'integrale della lagrangiana:

I = \int_{t_1}^{t_2} \mathcal L [\mathbf{q} [t], \dot{\mathbf{q}} [t], t] \, dt

sia invariante rispetto a variazioni infinitesime di esse. In altre parole, deve essere soddisfatta l'equazione di Eulero-Lagrange:

\frac{d}{dt} \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot{\mathbf{q}}} [t] = \frac{\partial \mathcal L}{\partial \mathbf{q}} [t]

Si supponga che l'integrale azione sia invariante rispetto ad una simmetria continua. Una tale simmetria è rappresentata da un flusso \phi che agisce sulle variabili nel seguente modo:

t \rightarrow t' = t + \varepsilon T \!
\mathbf{q} [t] \rightarrow \mathbf{q}' [t'] = \phi [\mathbf{q} [t], \varepsilon] = \phi [\mathbf{q} [t' - \varepsilon T], \varepsilon]

dove \varepsilon è una variabile reale che quantifica l'incremento del flusso, mentre T è una costante reale relativa alla traslazione del flusso nel tempo (può essere nulla). Si ha:


\dot{\mathbf{q}} [t] \rightarrow \dot{\mathbf{q}}' [t'] = \frac{d}{dt} \phi [\mathbf{q} [t], \varepsilon] = \frac{\partial \phi}{\partial \mathbf{q}} [\mathbf{q} [t' - \varepsilon T], \varepsilon] \dot{\mathbf{q}} [t' - \varepsilon T]

e l'integrale azione diventa:

\begin{align}
I' [\varepsilon] & = \int_{t_1 + \varepsilon T}^{t_2 + \varepsilon T} \mathcal L [\mathbf{q}'[t'], \dot{\mathbf{q}}' [t'], t'] \, dt' \\[6pt]
& = \int_{t_1 + \varepsilon T}^{t_2 + \varepsilon T} \mathcal L [\phi [\mathbf{q} [t' - \varepsilon T], \varepsilon], \frac{\partial \phi}{\partial \mathbf{q}} [\mathbf{q} [t' - \varepsilon T], \varepsilon] \dot{\mathbf{q}} [t' - \varepsilon T], t'] \, dt'
\end{align}

L'azione può essere considerata in funzione soltanto di \varepsilon. Calcolandone la derivata in \varepsilon=0 e sfruttando la simmetria si ottiene:

\begin{align}
0 & = \frac{d I'}{d \varepsilon} [0] = \mathcal L [\mathbf{q} [t_2], \dot{\mathbf{q}} [t_2], t_2] T - \mathcal L [\mathbf{q} [t_1], \dot{\mathbf{q}} [t_1], t_1] T \\[6pt]
& {} + \int_{t_1}^{t_2} \frac{\partial \mathcal L}{\partial \mathbf{q}} \left( - \frac{\partial \phi}{\partial \mathbf{q}} \dot{\mathbf{q}} T + \frac{\partial \phi}{\partial \varepsilon} \right) + \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot{\mathbf{q}}} \left( - \frac{\partial^2 \phi}{(\partial \mathbf{q})^2} {\dot{\mathbf{q}}}^2 T + \frac{\partial^2 \phi}{\partial \varepsilon \partial \mathbf{q}} \dot{\mathbf{q}} -
\frac{\partial \phi}{\partial \mathbf{q}} \ddot{\mathbf{q}} T \right) \, dt
\end{align}

L'equazione di Eulero–Lagrange implica che:

\begin{align}
\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot{\mathbf{q}}} \frac{\partial \phi}{\partial \mathbf{q}} \dot{\mathbf{q}} T \right) 
& = \left( \frac{d}{dt} \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot{\mathbf{q}}} \right) \frac{\partial \phi}{\partial \mathbf{q}} \dot{\mathbf{q}} T + \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot{\mathbf{q}}} \left( \frac{d}{dt} \frac{\partial \phi}{\partial \mathbf{q}} \right) \dot{\mathbf{q}} T + \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot{\mathbf{q}}} \frac{\partial \phi}{\partial \mathbf{q}} \ddot{\mathbf{q}} \, T \\[6pt]
& = \frac{\partial \mathcal L}{\partial \mathbf{q}} \frac{\partial \phi}{\partial \mathbf{q}} \dot{\mathbf{q}} T + \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot{\mathbf{q}}} \left( \frac{\partial^2 \phi}{(\partial \mathbf{q})^2} \dot{\mathbf{q}} \right) \dot{\mathbf{q}} T + \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot{\mathbf{q}}} \frac{\partial \phi}{\partial \mathbf{q}} \ddot{\mathbf{q}} \, T
\end{align}

e sostituendo nella precedente equazione si giunge a:

\begin{align}
0 & = \frac{d I'}{d \varepsilon} [0] = \mathcal L [\mathbf{q} [t_2], \dot{\mathbf{q}} [t_2], t_2] T - \mathcal L [\mathbf{q} [t_1], \dot{\mathbf{q}} [t_1], t_1] T - \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot{\mathbf{q}}} \frac{\partial \phi}{\partial \mathbf{q}} \dot{\mathbf{q}} [t_2] T + \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot{\mathbf{q}}} \frac{\partial \phi}{\partial \mathbf{q}} \dot{\mathbf{q}} [t_1] T \\[6pt]
& {} + \int_{t_1}^{t_2} \frac{\partial \mathcal L}{\partial \mathbf{q}} \frac{\partial \phi}{\partial \varepsilon} + \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot{\mathbf{q}}} \frac{\partial^2 \phi}{\partial \varepsilon \partial \mathbf{q}} \dot{\mathbf{q}} \, dt
\end{align}

Utilizzando quindi nuovamente l'equazione di Eulero–Lagrange:


\frac{d}{d t} \left( \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot{\mathbf{q}}} \frac{\partial \phi}{\partial \varepsilon} \right) 
= \left( \frac{d}{d t} \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot{\mathbf{q}}} \right) \frac{\partial \phi}{\partial \varepsilon} + \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot{\mathbf{q}}} \frac{\partial^2 \phi}{\partial \varepsilon \partial \mathbf{q}} \dot{\mathbf{q}}
= \frac{\partial \mathcal L}{\partial \mathbf{q}} \frac{\partial \phi}{\partial \varepsilon} + \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot{\mathbf{q}}} \frac{\partial^2 \phi}{\partial \varepsilon \partial \mathbf{q}} \dot{\mathbf{q}}

ed inserendo nella precedente relazione si può scrivere:


\begin{align}
0 & = \mathcal L [\mathbf{q} [t_2], \dot{\mathbf{q}} [t_2], t_2] T - \mathcal L [\mathbf{q} [t_1], \dot{\mathbf{q}} [t_1], t_1] T - \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot{\mathbf{q}}} \frac{\partial \phi}{\partial \mathbf{q}} \dot{\mathbf{q}} [t_2] T + \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot{\mathbf{q}}} \frac{\partial \phi}{\partial \mathbf{q}} \dot{\mathbf{q}} [t_1] T + \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot{\mathbf{q}}} \frac{\partial \phi}{\partial \varepsilon} [t_2] +
\end{align}

\begin{align}
- \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot{\mathbf{q}}} \frac{\partial \phi}{\partial \varepsilon} [t_1]
\end{align}

da cui si evince che la quantità:

\left( \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot{\mathbf{q}}} \frac{\partial \phi}{\partial \mathbf{q}} \dot{\mathbf{q}} - \mathcal L \right) T - \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot{\mathbf{q}}} \frac{\partial \phi}{\partial \varepsilon}

è una costante del moto, ovvero è una quantità conservata.

Dato che \phi[\mathbf q,0]= \mathbf q si ha:

\frac{\partial \phi}{\partial \mathbf{q}} = 1

e la quantità conservata si semplifica assumendo la forma:

\left( \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot{\mathbf{q}}} \dot{\mathbf{q}} - \mathcal L \right) T - \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot{\mathbf{q}}} \frac{\partial \phi}{\partial \varepsilon}

Nella derivazione si è assunto che il flusso non varia nel tempo, ed un risultato più generale si ottiene in un modo equivalente.

Dimostrazione 3[modifica | modifica wikitesto]

Si consideri una varietà liscia M ed una varietà bersaglio T. Sia \mathcal{C} lo spazio delle configurazioni delle funzioni lisce da M a T. In modo più generale si possono considerare sezioni del fibrato lungo M. In meccanica classica, ad esempio, M è la varietà monodimensionale \mathbb{R} che rappresenta il tempo, e lo spazio bersaglio è il fibrato cotangente dello spazio delle posizioni generalizzate.

L'azione è un funzionale del tipo:

\mathcal{S}:\mathcal{C}\rightarrow \R

che mappa su \mathbb{R} (e non su \mathbb{C} per ragioni fisiche). Affinché l'azione sia locale è necessario imporre ulteriori restrizioni sul funzionale: se \phi\in\mathcal{C} si assume che S(\phi) sia l'integrale su M della lagrangiana \mathcal{\mathcal L}(\phi,\partial\phi,\partial\partial\phi, ...,x), che è funzione di \phi, delle sue derivate e della posizione. Esplicitamente, l'azione è definita nel seguente modo:

\mathcal S[\phi]\equiv\int_M \mathcal{\mathcal L}(\phi(x),\partial\phi(x),\partial\partial\phi(x), ...,x)d^nx \qquad \forall\phi\in\mathcal{C}

La maggior parte delle volte si assume che la lagrangiana dipenda soltanto dal valore del campo e dalla sua derivata prima, sebbene questo non sia vero in generale.

Se M è compatto, le condizioni al contorno si ottengono specificando i valori di \phi sulla frontiera. In caso contrario si possono fornire opportuni limiti per \phi quando x tende all'infinito. Questo rende possibile ottenere l'insieme delle funzioni \phi tali che tutte le derivate funzionali di S su \phi sono nulle e \phi soddisfa le condizioni al contorno date. Tale insieme è determinato, considerando le condizioni al contorno, dalle soluzioni on shell delle equazioni di Eulero-Lagrange:

\frac{\delta\mathcal{S}}{\delta\varphi}= - \partial_\mu
 \left(\frac{\partial\mathcal{\mathcal L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\right) + \frac{\partial\mathcal{\mathcal L}}{\partial\phi}=0

Il membro sinistro è la derivata funzionale dell'azione rispetto a \phi. In meccanica classica la lagrangiana è data dalla differenza tra l'energia cinetica T e l'energia potenziale U.

Si consideri una trasformazione infinitesima su \mathcal{C} generata da un funzionale Q tale che:

Q \left[ \int_N \mathcal{\mathcal L} \, \mathrm{d}^n x \right] \approx \int_{\partial N} f^\mu [\phi(x),\partial\phi,\partial\partial\phi,\ldots] \mathrm{d}s_{\mu}

per ogni sottovarietà N. In modo equivalente:

Q[\mathcal{\mathcal L}(x)]\approx\partial_\mu f^\mu(x) \quad \forall x

dove:

\mathcal{\mathcal L}(x)=\mathcal{\mathcal L}[\phi(x), \partial_\mu \phi(x),x]

Se questo vale on shell ed off shell allora Q genera una simmetria off shell. Se invece vale solo on shell, allora Q genera una simmetria on shell. Il funzionale Q è un generatore un gruppo di simmetria di Lie ad un parametro.

Per il teorema di Eulero–Lagrange per ogni N si ha, on shell:

Q\left[\int_N \mathcal{\mathcal L} \, \mathrm{d}^nx \right] =\int_N \left[\frac{\partial\mathcal{\mathcal L}}{\partial\phi}-
\partial_\mu\frac{\partial\mathcal{\mathcal L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\right]Q[\phi] \, \mathrm{d}^nx +
\int_{\partial N} \frac{\partial\mathcal{\mathcal L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}Q[\phi] \, \mathrm{d}s_\mu \approx\int_{\partial N} f^\mu \, \mathrm{d}s_\mu

Dato che questo vale per ogni N vale la relazione:

\partial_\mu\left[\frac{\partial\mathcal{\mathcal L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}Q[\phi]-f^\mu\right]\approx 0

che è l'equazione di continuità per la corrente di Noether J^\mu associata alla simmetria, definita da:[6]

J^\mu\,=\,\frac{\partial\mathcal{\mathcal L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}Q[\phi]-f^\mu

Se si integra la corrente di Noether su una sezione di tipo tempo si ottiene una quantità conservata detta carica di Noether.

Esempio[modifica | modifica wikitesto]

Supponiamo di trattare un sistema bidimensionale, e di considerare una trasformazione di coordinate \vec{x}=(x,y) \rightarrow \vec{f} così definita:

 f_{1} = x + s \qquad f_{2} = y

Secondo il teorema, si ha che:

 \frac{\partial f_{n}}{\partial s} = 1 \quad n = 1
 \frac{\partial f_{n}}{\partial s} = 0 \quad n \neq 1

Quindi, automaticamente si conserverà la quantità:

 p_1 = \sum_{i} \frac{\partial f_{i}}{\partial s}(t,0) \, p_{i} = \mathrm{costante}

Questo significa che per un sistema che ha un'invarianza per traslazioni nella direzione x, si conserverà il momento lineare (quantità di moto) in quella direzione.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Yvette Kosmann-Schwarzbach - The Noether Theorems
  2. ^ E. Noether, Invariante Variationsprobleme. Göttingen 1918, pp. 235-257. Traduzione di M.A. Tavel in Transport Theory and Statistical Mechanics (1971), pp. 183-207
  3. ^ Thompson, W.J., Angular Momentum: an illustrated guide to rotational symmetries for physical systems, vol. 1, Wiley, 1994, p. 5, ISBN 0-471-55264-X.
  4. ^ Alberto Nicolis - The Noether theorem
  5. ^ www-physics.ucsd.edu - Noether's Theorem
  6. ^ Michael E. Peskin, Daniel V. Schroeder, An Introduction to Quantum Field Theory, Basic Books, 1995, p. 18, ISBN 0-201-50397-2.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]