Meccanica ondulatoria

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La meccanica ondulatoria è, con la meccanica delle matrici, una delle due primarie formalizzazioni della meccanica quantistica. Dopo brevissimo tempo dalla loro pubblicazione divenne evidente che i due approcci costituivano due formalismi fisico-matematici diversi, ma equivalenti della stessa teoria.

Nella meccanica ondulatoria a ogni particella è associata la funzione d'onda, che, sebbene all'inizio il suo significato non fosse affatto chiaro, è comunque caratterizzata, similmente all'equazione delle onde, da un'evoluzione temporale continua e deterministica secondo l'equazione di Schrödinger. Rispetto all'approccio matriciale, la meccanica ondulatoria si caratterizza, per usare le parole dell'autore, per una maggiore visualizzabilità. In questi termini la differenza era, e in parte rimane ancora, notevole rispetto all'astrazione delle entità essenziali e dei salti quantici di Heisenberg, pur se si deve notare come la continuità sottolineata da Schrödinger venga bruscamente interrotta dall'atto della misurazione, che causa il cosiddetto collasso della funzione d'onda.

Storia[modifica | modifica wikitesto]

La meccanica ondulatoria fu essenzialmente il risultato del lavoro solitario di Erwin Schrödinger, che, a partire dall'ipotesi di de Broglie, pubblicò a gennaio del 1926 due articoli in cui espose due possibili derivazioni della sua famosa equazione e le sue applicazioni all'atomo idrogenoide, all'oscillatore armonico, al corpo rigido e alla molecola biatomica. A maggio di quello stesso anno pubblicò un terzo articolo in cui mostrò l'equivalenza della sua teoria con la meccanica delle matrici. Quest'ultima era nata l'anno precedente come lavoro di squadra di Heisenberg, Born e Jordan, pur se si deve ad Heisenberg l'idea originaria. Sempre nel 1926 Max Born propose l'interpretazione probabilistica della funzione d'onda, elemento cardine della teoria di Schrödinger, codificata l'anno dopo nell'interpretazione di Copenaghen. Il termine meccanica ondulatoria, in tedesco wellenmechanik, venne introdotto da Schrödinger il 20 febbraio 1926.[1]

Funzione d'onda[modifica | modifica wikitesto]

Magnifying glass icon mgx2.svgLo stesso argomento in dettaglio: Funzione d'onda e Collasso della funzione d'onda.

In meccanica classica, lo stato di una particella viene definito attraverso il valore esatto delle due quantità osservabili posizione e impulso (variabili canoniche); in meccanica quantistica, invece, lo stato di una particella è descritto (nella rappresentazione di Schrödinger) da una funzione d'onda. Nell'interpretazione di Copenaghen la funzione d'onda non ha un proprio significato fisico, mentre lo ha il suo modulo quadro, che fornisce la distribuzione di probabilità della osservabile posizione: per ogni punto dello spazio, assegna la probabilità di trovare la particella in quel punto, quando si misura la sua posizione. Il significato di questa probabilità può essere interpretato come segue: avendo a disposizione infiniti sistemi identici, effettuando la stessa misura su tutti i sistemi contemporaneamente, la distribuzione dei valori ottenuti è proprio il modulo quadro della funzione d'onda. Similmente, il modulo quadro della trasformata di Fourier della funzione d'onda fornisce la distribuzione di probabilità dell'impulso della particella stessa.

In generale, la teoria quantistica dà informazioni sulle probabilità di ottenere un dato valore quando si misura una quantità osservabile. Per le proprietà della trasformata di Fourier, tanto più la distribuzione di probabilità della posizione di una particella è concentrata (la particella quantistica è ben localizzata), tanto più la distribuzione degli impulsi si allarga, e viceversa. Si tratta di una manifestazione del principio di indeterminazione di Heisenberg: è impossibile costruire una funzione d'onda arbitrariamente ben localizzata sia in posizione che in impulso.

La funzione d'onda che descrive lo stato del sistema può cambiare al passare del tempo. Ad esempio, una particella che si muove in uno spazio vuoto è descritta da una funzione d'onda costituita da un pacchetto d'onda centrato in una posizione media. Al passare del tempo il centro del pacchetto d'onda cambia, in modo che la particella può successivamente essere localizzata in una posizione differente. L'evoluzione temporale della funzione d'onda è dettata dall'equazione di Schrödinger.

Alcune funzioni d'onda descrivono distribuzioni di probabilità che sono costanti nel tempo. Molti sistemi trattati in meccanica classica possono essere descritti da queste onde stazionarie. Ad esempio, un elettrone in un atomo non eccitato è descritto classicamente come una particella che ruota attorno al nucleo dell'atomo, mentre in meccanica quantistica essa è descritta da un'onda stazionaria che presenta una determinata funzione di distribuzione dotata di simmetria sferica rispetto al nucleo. Questa intuizione è alla base del modello atomico di Bohr.

Benché la meccanica quantistica non permetta di prevedere a priori il risultato di una misurazione, ogni singola misura porta comunque ad ottenere un valore definito (e non per esempio ad un valore medio). Questo problema, che viene spesso chiamato problema della misura, ha dato vita ad uno dei più profondi e complessi dibattiti intellettuali della storia della scienza.

Secondo l'interpretazione di Copenaghen, quando viene effettuata una misura di un'osservabile l'evoluzione del sistema secondo l'equazione di Schrödinger viene interrotta e si determina il cosiddetto collasso della funzione d'onda, che porta il vettore di stato ad una autofunzione dell'osservabile misurata, fornendo un valore che aveva una certa probabilità di essere effettivamente osservato prima dell'esecuzione della misura. Questo è interpretato come evidenza del fatto che la misura perturba il sistema: una volta effettuata, esso si troverà certamente nello stato in cui l'ha lasciato lo strumento di misura.[2] Il collasso della funzione d'onda all'atto della misura non è descritto dall'equazione di Schrödinger, che stabilisce solo l'evoluzione temporale del sistema ed è strettamente deterministica, in quanto è possibile prevedere la forma della funzione d'onda ad un qualsiasi istante successivo. La natura probabilistica della meccanica quantistica si manifesta invece all'atto della misura.

Equazione di Schrödinger[modifica | modifica wikitesto]

Magnifying glass icon mgx2.svgLo stesso argomento in dettaglio: Equazione di Schrödinger.

Schrödinger scrisse nel 1926 una serie di quattro articoli intitolati "Quantizzazione come problema agli autovalori" in cui mostrò che una meccanica ondulatoria possa spiegare l'emergere di numeri interi e dei quanti, gli insiemi di valori discreti anziché continui permessi per alcune quantità fisiche di certi sistemi (come l'energia degli elettroni nell'atomo di idrogeno). In particolare, basandosi sui lavori di De Broglie, osservò che le onde stazionarie soddisfano vincoli simili a quelli imposti dalle condizioni di quantizzazione di Bohr:

(DE)

« [...] die übliche Quantisierungsvorschrift sich durch eine andere Forderung ersetzen läßt, in der kein Wort von „ganzen Zahlen“ mehr vorkommt. Vielmehr ergibt sich die Ganzzahligkeit auf dieselbe natürliche Art, wie etwa die Ganzzahligkeit der Knotenzahl einer schwingenden Saite. Die neue Auffassung ist verallgemeinerungsfähig und rührt, wie ich glaube, sehr tief an das wahre Wesen der Quantenvorschriften. »

(IT)

« [...] si può sostituire la regola di quantizzazione usuale con un altro requisito dove non appare più la parola "numeri interi". Piuttosto, gli stessi numeri interi si rivelano naturalmente dello stesso tipo dei numeri interi associati al numero di nodi di una stringa vibrante. Il nuovo punto di vista è generalizzabile e tocca, come credo, molto profondamente la vera natura delle regole quantistiche. »

(Erwin Schrödinger[3])
In un'onda stazionaria, i nodi sono punti che non sono coinvolti dall'oscillazione, in rosso nella figura. Il numero di nodi è quindi sempre intero.

Il numero di nodi in una normale stringa vibrante stazionaria è intero, se questi sono associati alle quantità fisiche come l'energia e il momento angolare allora ne consegue che anche queste devono essere multipli interi di una grandezza fondamentale. Affinché questa equivalenza sia possibile, lo stato fisico deve essere associato ad un'onda che vibra e si evolve secondo le condizioni di stazionarietà.

In questa onda stazionaria circolare, la circonferenza ondeggia esattamente in otto lunghezze d'onda. Un'onda stazionaria come questa può avere 0, 1, 2 o qualsiasi numero intero di lunghezze d'onda attorno al cerchio, ma non un numero razionale come 4.7. Con un meccanismo simile, il momento angolare di un elettrone in un atomo di idrogeno, classicamente proporzionale alla velocità angolare, può assumere solo valori discreti quantizzati.

Come Schrödinger stesso osservò,[4] condizioni di tipo ondulatorio sono presenti ed erano già state scoperte anche per la meccanica classica di tipo newtoniano. Nell'ottica geometrica, il limite delle leggi dell'ottica in cui la lunghezza d'onda della luce tende a zero, i raggi di luce si propagano seguendo percorsi che minimizzano il cammino ottico, come stabilito dal principio di Fermat. Allo stesso modo, secondo il principio di Hamilton, le traiettorie classiche sono soluzioni stazionarie o di minimo dell'azione, che per una particella libera è semplicemente legata all'energia cinetica lungo la curva.

Tuttavia l'ottica geometrica non considera gli effetti che si hanno quando la lunghezza d'onda della luce non è trascurabile, come l'interferenza e la diffrazione. Guidato da questa analogia ottico-meccanica, Schrödinger suppose che le leggi della meccanica classica di Newton siano solamente una approssimazione delle leggi seguite dalle particelle, una approssimazione valida per grandi energie e grandi scale come per le leggi dell'ottica geometrica, ma non in grado di catturare tutta la realtà fisica, in particolare a piccole lunghezze, dove come per la luce, fenomeni come l'interferenza e la diffrazione diventano dominanti. Schrödinger postulò quindi una equazione di stazionarietà per un'onda del tipo:[5]

dove è il potenziale classico ed è un parametro reale corrispondente all'energia. Per alcuni sistemi fisici, questa equazione non ammette soluzioni per arbitrario, ma solo per alcuni suoi valori discreti. In questo modo Schrödinger riuscì a spiegare la natura delle condizioni di quantizzazione di Bohr. Se si considera anche la dinamica delle soluzioni d'onda, cioè si considera la dipendenza temporale della funzione d'onda:

si può ottenere l'equazione di Schrödinger dipendente dal tempo:

supponendo che l'energia sia proporzionale alla derivata temporale della funzione d'onda:

Questa equivalenza fra la derivata temporale e energia della funzione d'onda fu il primo esempio di come nella meccanica quantistica alle osservabili classiche possano corrispondere operatori differenziali.

Orbitale atomico[modifica | modifica wikitesto]

Magnifying glass icon mgx2.svgLo stesso argomento in dettaglio: Orbitale atomico.

Con ii principio di indeterminazione, quello di complementarità, la funzione d'onda e il relativo collasso, il modello quantizzato dell'atomo di Bohr si ridefinisce ancora: oltre alla quantizzazione dei livelli energetici, l'elettrone che ruota intorno al nucleo atomico non è più visto solo come una particella di materia, ma anche come pacchetto d'onda ovvero "onda di materia" delocalizzata intorno al nucleo sotto forma di orbitale atomico pronta a "materializzarsi" se sottoposta ad osservazione fisica diretta.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Manjit Kumar, Quantum, Mondadori, 2017, p. 206, ISBN 978-88-04-60893-6.
  2. ^ Tale stato è chiamato appunto autostato dell'osservabile misurata, in linea con il formalismo matematico degli spazi di Hilbert di Dirac-Von Neumann dove questo stato è rappresentato da un autovettore dell'operatore lineare autoaggiunto corrispondente all'osservabile misurata.
  3. ^ (DE) Erwin Schrödinger, Quantisierung als Eigenwertproblem I (PDF), in Annalen der Physik, vol. 79, 27 gennaio 1926, pp. 361-376.
  4. ^ (DE) Erwin Schrödinger, Quantisierung als Eigenwertproblem II (PDF), in Annalen der Physik, vol. 79, 23 febbraio 1926, pp. 489-527.
  5. ^ (DE) Erwin Schrödinger, Quantisierung als Eigenwertproblem IV, in Annalen der Physik, vol. 81, 21 giugno 1926, pp. 109-139.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]