Ipotesi di de Broglie

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L'ipotesi di de Broglie afferma che ai corpi materiali, e in particolare alle particelle, sono associate le proprietà fisiche tipiche delle onde.

Formulata nel 1924 da Louis de Broglie, trovò presto conferma sperimentale e dette un impulso fondamentale allo sviluppo della meccanica quantistica.

Premesse storiche[modifica | modifica wikitesto]

La meccanica quantistica nasce dalle numerose evidenze sperimentali che all'inizio del ventesimo secolo risultavano inspiegabili secondo la fisica classica. Tra questi risultati il primo fu la radiazione di corpo nero, che portava, secondo lo studio classico, alla catastrofe ultravioletta e al problema del calore specifico; la legge di Stefan-Boltzmann e quella di Rayleigh-Jeans portavano solo a risultati parziali. Solo con la Legge di Planck, che introdusse il concetto di quanto di energia, si arrivò alla giusta distribuzione dell'energia rispetto alla frequenza. Più avanti altri fatti, come l'interpretazione dell'effetto fotoelettrico e l'effetto Compton, misero in luce l'aspetto corpuscolare della radiazione elettromagnetica.

Ottica geometrica e dinamica di una particella[modifica | modifica wikitesto]

L'analogia tra ottica geometrica e la dinamica di una particella permise a de Broglie di ipotizzare che alle particelle microscopiche si potesse associare anche un'onda: questo portò al dualismo onda-particella e successivamente al principio di complementarità enunciato da Bohr.

Secondo i risultati dell'elettromagnetismo, nel vuoto la luce monocromatica di frequenza assegnata si propaga secondo una direzione individuata dal vettore d'onda ed è descritta da una funzione:

(1)

dove

(2)

è la pulsazione o frequenza angolare e A è l'ampiezza che può essere identificata con una componente del campo elettrico o magnetico, in modo che sia proporzionale all'intensità dell'onda. Questa onda è un tipico esempio di onda piana nel senso che il suo fronte d'onda è un piano ortogonale al vettore d'onda ed è individuato dall'equazione:

Col passare del tempo il moto del fronte d'onda si muove in concordanza di fase secondo la:

(3)

I punti nello spazio identificati da che soddisfano la (3) sono equispaziati di

(4)

dove è la lunghezza d'onda della radiazione luminosa: questi punti sono raggiunti dall'onda ad intervalli

(5)

per cui il fronte d'onda avanza con velocità di fase:

(6)

che nel vuoto per la luce monocromatica: cioè per tutte le frequenze la velocità di fase coincide con la velocità della luce.

In un mezzo omogeneo, lineare e isotropo invece la velocità di fase è uguale a:

(7)

dove è l'indice di rifrazione del materiale, anche se l'onda rimane un'onda piana.

Se il mezzo in cui viaggia l'onda non è omogeneo, l'indice di rifrazione varia da punto a punto e quindi l'onda non è più piana, ma soddisfa la condizione:

(8)

In tal caso in base al principio di Huygens il raggio luminoso segue la direzione:

(9)

Il cammino percorso dal raggio luminoso per andare da un punto A ad un punto B può dedursi dal principio di Fermat, che dice che l'onda percorre la traiettoria che minimizza il tempo di percorrenza:

(10)

dove L è il cammino ottico. Allora il cammino ottico deve soddisfare:

(11)

da cui segue l'equazione iconale:

(12)

Possiamo arrivare alle stesse conclusioni risolvendo l'equazione di D'Alembert:

(13)

soddisfatta proprio da una funzione tipo (1):

(14)

Sostituendo la (14) nella (13), nell'ipotesi di ampiezza costante:

(15)

dove:

vediamo che, prendendo la parte reale della (15), questa si riscrive:

(16)

da cui si ricava un analogo risultato alla (12).

Qualora invece di avere una onda monocromatica si abbia un gruppo di onde ognuna con una sua frequenza allora ognuna di esse soddisfa un'equazione di D'Alembert, ognuna viaggia con una sua velocità di fase (6) o (7). Per onde luminose nel vuoto che viaggiano tutte con la stessa velocità di fase l'insieme di onde può essere descritto da una sola equazione (13). In un mezzo invece ogni onda del gruppo viaggia con una sua velocità di fase, il risultato è una sovrapposizione di onde e si può definire una velocità globale detta velocità di gruppo data:

(17)

Vediamo le analogie già alcune individuate da Hamilton con il moto di una particella di massa e velocità e quindi che viaggia con impulso . Classicamente se ne può sempre determinare la traiettoria identificando l'impulso della particella in ogni istante. L'energia della particella libera è:

seguendo la meccanica classica si può definire la funzione azione:

che è straordinariamente simile alla (3), così che l'equazione cui deve soddisfare la dinamica di una particella diventa:

e la condizione

simile alla (2) implica che il piano:

simile alla (9) avanza nella direzione di e perpendicolare ad esso, con velocità:

ed esplicitamente:

Se la particella viaggia in un campo di forze conservativo allora l'energia:

conserva l'equazione di Hamilton-Jacobi con azione:

e dove esplicitamente:

L'analogia tra l'impulso

e l'indice di rifrazione dato dalla (12) e la funzione W che gioca un ruolo analogo al cammino ottico della (12) con la condizione:

che identifica un piano e in presenza di potenziale invece:

identifica una superficie non più piana come per l'ottica geometrica, sembra identificare la particella viaggiante con velocità di fase:

In effetti per il principio di Maupertuis:

che permette di trovare tra le infinite traiettorie quella effettiva della particella esattamente come succede con il principio di Fermat per il raggio luminoso.

Ipotesi di De Broglie[modifica | modifica wikitesto]

Utilizzando le analogie tra ottica geometrica e dinamica particellare e il successo della dimostrazione di Einstein sull'effetto fotoelettrico e la legge di Planck, de Broglie ebbe l'idea di associare alla radiazione un aspetto particellare sotto forma di quanti di energia ognuno di impulso di modulo:

che può essere riscritta: , con , dove [1] è la variabile 'nascosta' che può assumere i valori: , per cui , e

dove h è la costante di Planck, la cui direzione è quella del vettore d'onda k. Inoltre de Broglie utilizzò l'analogia tra la velocità di fase di un'onda che attraversa un mezzo (7) con la velocità di una particella che attraversa un campo di forze:

che può essere riscritta: , con

e che l'analogia tra il principio di Fermat e il principio di minima azione di Maupertuis permise a de Broglie di supporre che esistesse una proporzionalità diretta tra l'azione W della particella e la fase dell'onda, la costante di proporzionalità è

che può essere riscritta: , con

perciò:

, con
, con

e per analogia

, con
, con

tale che: ,

sicché: , con , e

di conseguenza: , con

Quindi anche le particelle dotate di impulso p ed energia E si muovono in concordanza di fase

con lunghezza d'onda :, con

e frequenza , con .

In definitiva l'estensione dell'analogia di associare alla particella un'onda:

con pulsazione e vettore d'onda che si muove con velocità:

e impulso:

dove è detta anche lunghezza d'onda di de Broglie. Questa analogia riflette il dualismo onda-particella, e può essere formulata come principio di complementarità, secondo il quale si predilige l'aspetto ondulatorio o corpuscolare della materia, a seconda del tipo di strumento utilizzato per l'osservazione.

Particelle relativistiche[modifica | modifica wikitesto]

L'interpretazione di de Broglie è che ad ogni particella si può associare un'onda e viceversa; la particella relativa all'onda è denominata quanto. Ad esempio, in questa interpretazione i quanti di luce detti fotoni corrispondono ad una particella con massa a riposo non nulla che viaggia alla velocità prossima a quella della luce.[2] Una particella relativistica è una particella che si muove con velocità molto prossima a quella della luce c in modo che il suo impulso sia trascurabile rispetto alla sua massa a riposo . L'energia di tali particelle è:

, con

relazione ben nota dell'energia relativistica associata ad una particella vista da un osservatore fermo, con . L'osservatore solidale con la particella deve vedere il fotone in quiete quindi:

, con

Le frequenze del laboratorio e quella vista dall'osservatore solidale con il fotone sono legate:

, con

A questo punto si nota una discordanza tra la relatività che dovrebbe misurare:

, con

per cui: , con .[3]Bottiglia di Kein, self-intersection, Vortice ottico, singolarità, punto o macchia di Poisson (Fresnel).

Le sei componenti matematiche del fenomeno in 2D (c.d. 'centratura' delle onde)[4],[5],[6],[7]:

(Orientamento con segno positivo)
(Orientamento con segno negativo)
(Orientamento con segno positivo)
(Orientamento con segno negativo)
(Orientamento con segno positivo)
(Orientamento con segno negativo)

Le sei componenti matematiche del fenomeno in 3D (c.d. 'centratura' dell'onda o particella dell'elettrone):

(Orientamento con segno positivo e misurazione posizione per .)
(Orientamento con segno negativo e misurazione posizione per .)
(Orientamento con segno positivo e misurazioneposizione per .)
(Orientamento con segno negativo e misurazione posizione per .)
(Orientamento con segno positivo e misurazione posizione per .)
(Orientamento con segno negativo e misurazione posizione per .)

dove ; dove è la lunghezza d'onda di Compton dell'elettrone: 2,426 picometri , ed (Cfr. postulato di De Broglie e quantità di moto di Bohr). [13]

Le sei componenti matematiche del fenomeno in 4D ('centratura' del cosmo):

[14]
[15]
[16]
[17]
[18]
[19]

dove sarebbe la lunghezza d'onda della singolarità.The work of Grigory Perelman, dovrebbe sostituire in 4D quello di Isac Newton.

Se si associano a ciascuna particella due onde, per tenere conto del fenomeno fisico recentemente scoperto e noto come 'vortice ottico', abbiamo:

,[8]

per cui:

Siamo adesso in grado di misurare in precisi termini di 'bending stiffness' , la forza di distorsione dello spazio euclideo generata da questa ulteriore costante, che chiameremo , newtons per metro quadrato di superficie euclidea.Costante di distorsione dello spazio euclideo causata dall'energia in termini di 'bending stiffness'

Tutto ciò premesso, si ottiene la formula -completa della variabile nascosta - per il calcolo matematico esatto ed esauriente dell'energia dell'elettrone:

, per ottenere l'energia dell'elettrone pari a . [20]

Se poniamo invece:, si ottiene una misurazione[21] pari a (fattore costante di Schrödinger).

Ponendo è possibile tarare l'elettrone in termini di efficienza energetica, indicando: di efficienza termica Taratura dell'elettrone: [KeV]/[Km/s]*[kg m/s] = 1 joule; Taratura del fotone = 1 joule.

Ponendo è possibile tarare quelle particelle che si muovono alla velocità in termini di 'frequency drift' o 'derivata di frequenza'.[9]

Si veda in proposito la taratura del protone in termini di 'variazione o derivata di frequenza' : (variazione o deriva di frequenza/frequency drift[10] esperimento con il fotone) [22] oppure del muone [23] [24] Il mistero dei muoni[11] aggiungendo la variabile nascosta è presto risolto, difatti impostando il calcolo con si vede che i muoni compiono nel loro tragitto metri [25], anziché i preventivati circa 600 metri [26]. Espresso in altri termini si potrebbe dire che il muone quando entra in atmosfera subisce una 'deriva di frequenza' che restituisce una 'fluttuazione della massa per differenza di gravità' pari a [27], dato che per noi comuni mortali: 'tirare' equivale a 'spingere'.

Taratura del muone in termini di spazio euclideo: [28]

Taratura del protone in termini di spazio euclideo: [29]

È possibile anche calcolare il momento al quadrato di Casimir, dell' elettrone oppure del fotone.

Tale che il momento al quadrato di Casimir[12] viene espresso in: .

dell'elettrone [30]

del fotone [31]

del protone [32]

del muone [33]

ed ed in generale con il calcolo si può trovare il di ogni particella di cui si conoscono e .

Analogamente a quanto sopra detto, per le particelle che sono in stato di quiete come il muone, il parametro non è misurabile, se si sostituisce la velocità tachionica , che teoricamente è non sostenibile. La massa del muone (o del protone) di fatto subisce l'azione della 'derivata di frequenza' espressa in (frequency drift), che posta in relazione con la forza gravitazionale restituisce una 'variazione o derivata di accelerazione' espressa in jerk[13] .[34] (animazione)(calcolo) e quindi una energia di (o joule), paragonabile ad dell'energia tipica di un'onda radio AM [35]; pari invece ad per il protone. [36]. In altre parole, quando il muone entra in contatto con la gravità terrestre alla velocità (c), a causa della 'deriva di frequenza' ad esso connaturata, subisce l'azione del 'jerk' [Strappo (meccanica)], forza accumulata che non potendosi 'scaricare' in termini di aumento della velocità (c) si 'scarica' evidentemente in termini di dilatazione del tempo e dello spazio, o per oggetti che non viaggiano già alla velocità della luce in 'fluttuazione della massa'. Per gli oggetti (4D) cfr. la fionda gravitazionale, per gli oggetti (3D) cfr. la ruota fig.1 o la carrucola fig.2. Per gli elettroni cfr. l'aurora boreale[14] o LED[15]. Per i fotoni cfr. l'arcobaleno (fluttuazione della massa: 'srotolamento' in sette diverse frequenze, che l'umidità dell'aria rende visibili all'occhio umano).[37]

Tornando all'esempio del muone, con un po' di calcoli si può fare chiarezza. Il muone taratura agendo con il campo gravitazionale terrestre dovrebbe subire a causa della 'derivata di frequenza', una 'fluttuazione della massa' misurabile in termini di 'accelerazione gravitazionale' pari a [38] e quindi uno 'sbalzo meccanico (snap)', misurabile in [39], oppure in , che dovrebbe incrementare la sua 'capacità di sopravvivenza' o rallentare lo 'scorrere nel tempo' di [40]. Nello stesso istante (t), la particella relativistica dovrebbe subire una 'dilatazione dello spazio/metrica' per l'osservatore di laboratorio di [41]; il muone relativistico - mentre per l'osservatore solidale (muone non relativistico) compie una distanza di appena [42] - per l'osservatore di laboratorio 'sopravvive' [43] in più, compiendo un viaggio relativistico alla velocità di [44], coprendo quindi una distanza di [45]. Se lo stesso evento capitasse ad un tauone, questi subirebbe uno snap di [46], 'sopravviverebbe' [47], alla velocità di [48], coprendo una distanza di [49].[16]

Per trovare la particella relativistica si pone: e si trova

sia il momento della particella relativistica dell'elettrone: [50] sia la sua massa a riposo (rest mass): [51];

sia il momento della particella relativistica del fotone: [52][17] sia la massa a riposo (rest mass) dello stesso fotone: [53];

sia il momento della particella relativistica del protone [54] sia la sua massa a riposo (rest mass): [55];

sia il momento della particella relativistica del muone [56] sia la sua (esatta) massa a riposo (rest mass): [57],

ed in generale con il calcolo si possono trovare ed di ogni particella relativistica di cui si conoscono e .

Da quanto sopra esposto si deduce agevolmente che non è assolutamente vero che la massa a riposo del fotone è nulla, anzi già nel 1940, De Broglie stimò il limite massimo della massa del fotone in Cfr. The mass of the photon, INSTITUTE OF PHYSICS PUBLISHING, Rep. Prog. Phys. 68 (2005) 77–130, pagina 123[18].

Per ritornare al vecchio sistema escogitato dalla ben nota equazione di Schrödinger è sufficiente porre:

espresso per ottenere lo stato quantico di Schrödinger della particella:

dell'elettrone [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68]
fotone [69] [70] [71] [72] [73] [74]
protone [75] [76] [77] [78] [79]
muone [80] [81] [82] [83] [84].

Sostituendo, alla velocità tachionica del muone la 'derivata di frequenza o frequency drift' anziché la misura dello stato quantico di Schrödinger, si ottiene la misura del 'fattore di guadagno di Brillouin' espressa in :

Brillouin gain factor del protone [85],

Brillouin gain factor del muone [86] [87] NB. utilizzare phi come funzione matematica, per ottenere la misurazione in termini di 'conduttanza idraulica per pressione gradiente', e quindi in termini di 'magnetophoretic mobility'][19], [oppure [88] in termini gravitazionali di G/yr = 'costante gravitazionale / anno' o 'gravitational coupling gradient'].[20]

A questo punto, introdotta , occorre concentrarsi sulle proprietà 'naturali' dell'elettrone [89], ricavate dallo 'stato quantico di Schrödinger ' e dal 'momento al quadrato di Casimir' , per relazionare l'unità con la forza gravitazionale, espressa in termini di 'velocità aereolare' o 'areal velocity' o 'area rate': ,

dopo aver spiegato il dualismo onda-particella dell'elettrone: [90], per cui [91]:

[92] 'area rate' dell'elettrone (ma anche in 'time per area': [93]), e quindi 'constante gravitazionale planetaria' [94], e quindi il 'raggio di Schwarzschild' [95] dell'elettrone, che può essere calcolato anche con , con [96] di 'densità di massa lineare' [97] con , oppure utilizzando , con di "massa lineare inversa' [98], con . >>>Dimostrazione<<<. Finalmente possiamo calcolare la posizione dell'elettrone nel sistema di riferimento [99].

[100] 'area rate' del fotone, e quindi 'costante gravitazionale' [101], e quindi il 'raggio di Schwarzschild' [102], con massa lineare [103] e con massa lineare inversa [104], e finalmente la nostra tanto sospirata posizione nel sistema di riferimento [105]

Ponendo si trova invece la misura fisica in 3D delle particelle: appunto espressa in e di cui attualmente non è stato ancora fissato lo standard internazionale di riferimento ed il simbolo, ma che in analogia con il momento al quadrato di Casimir, chiameremo momento al cubo di Bugelli, dal nome del matematico che l'ha razionalizzato. Tale dovrebbe rappresentare il momento della forza gravitazionale, interpretata in termini più generali di curvatura dello spazio-tempo.

dell'elettrone [106] >>>dimostrazione A<<< >>>dimostrazione B<<<

del fotone [107]

del protone [108]

del muome [109]

Inutile aggiungere che ponendo il viaggio spazio-temporale dell'elettrone finisce e si ritorna alla vecchia , con [110].

Il vantaggio di questa impostazione della materia, rispetto a quella di Bohr e Schrödinger, è che agli scettici che non né comprendono il gioco intrinseco basta solo contare, che è poi ciò che conta realmente. Ovviamente senza comprendere il gioco intrinseco (c.d. roulette bilanciata)[21] della materia, nessuno forse sarà mai in grado di costruire un apparato che restituisce più energia di quanta ne viene immessa, come pronosticato da Maxwell con il suo diavoletto (illustrazione), in ordine alla seconda legge della termodinamica.

De Broglie, non potendo immaginare che esistesse anche il fenomeno fisico noto come 'vortice ottico'Dimostrazione di Fabrizio Tamburini, dapprima risolse questa discordanza di segno, associando alla particella un'onda la cui frequenza nel sistema del laboratorio è . in tal caso l'energia sarebbe:

quindi la velocità di fase associata al fotone:

dove v è la velocità della particella. In questo modo si risolve la contraddizione relativistica e risulta una velocità di fase dell'onda associata alla particella superiore alla velocità della luce. L'analogia dell'onda associata alla particella non è esatta dal punto di vista della velocità della particella, poiché non si può mettere in corrispondenza la velocità della particella (che è sempre minore di quella della luce) con quella dell'onda. La soluzione a questo problema è quello di associare alla particella non una singola onda, ma un gruppo di onde o un pacchetto d'onda con frequenze molto vicine tra loro in modo che la loro velocità di gruppo:

Un pacchetto d'onde è descritto da una funzione del tipo:

utilizzando il pacchetto d'onda il passo successivo fu quello di trovare un'equazione capace di fornire le soluzioni compatibili con la meccanica quantistica: questa equazione è la ben nota equazione di Schrödinger

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Il parametro b= -1, 0, 1 esprime il concetto di roulette perfettamente bilanciata (b), ben rappresentato col parametro "v" dal prof. Riccardo Dossena dell'Università di Pavia, facoltà di matematica, nel suo breve saggio sul "nastro di Mobius" del 7 gennaio 2011.
  2. ^ The mass of the photon, Institute of Physics Publishing, Rep. Prog. Phys. 68 (2005) 77–130, pag. 123. Per le stime a partire dal 1769 di Robinson, Cavedish, Coulomb, Maxwell, ecc. vedi a pag. 106.[1]
  3. ^ The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications, Grisha Perelman, Mon, 11 Nov 2002 [2].
  4. ^ Nonlinear single Compton scattering of an electron wave packet A. Angioi, F. Mackenroth, and A. Di Piazza Phys. Rev. A 93, 052102 – Published 2 May 2016 [3]
  5. ^ Coulomb drag B. N. Narozhny and A. Levchenko Rev. Mod. Phys. 88, 025003 – Published 10 May 2016 [4]
  6. ^ Controlling electron-ion rescattering in two-color circularly polarized femtosecond laser fields Christopher A. Mancuso, Daniel D. Hickstein, Kevin M. Dorney, Jennifer L. Ellis, Elvedin Hasović, Ronny Knut, Patrik Grychtol, Christian Gentry, Maithreyi Gopalakrishnan, Dmitriy Zusin, Franklin J. Dollar, Xiao-Min Tong, Dejan B. Milošević, Wilhelm Becker, Henry C. Kapteyn, and Margaret M. Murnane Phys. Rev. A 93, 053406 – Published 9 May 2016 [5]
  7. ^ Nonlinear optical effects and third-harmonic generation in superconductors: Cooper pairs versus Higgs mode contribution T. Cea, C. Castellani, and L. Benfatto Phys. Rev. B 93, 180507(R) – Published 25 May 2016 [6]
  8. ^ Cfr. Equazione degli specchi [7]
  9. ^ Toroidal electron temperature gradient driven drift model, Hortn - Hong - Tang, July 1988, Institute of Fusion Studies (Austin) and Plasma Physics Labortory (Princeton) [8].
  10. ^ Frequency drift of 3-kHz interplanetary radio emissions: evidence of Fermi accelerated trapped radiation in a small heliosphere?, Nature 344, 640 - 641 (12 April 1990); doi:10.1038/344640a0, ANDRZEJ CZECHOWSKI & STANISLAW GRZEDZIELSKI, Space Research Centre, Polish Academy of Sciences, Ordona 21, 01–237 Warsaw, Poland [9]
  11. ^ Carlo Cosmelli, Università la Sapenza - Roma
  12. ^ Energia nel vuoto ed effetto Casimir, Federica Cataldini, 2012, punto 3.2 a pag. 40 - Tesi di laurea
  13. ^ Cfr. The cosmic jerk parameter in f(R) gravity, Nikodem J. Polaski, Physic letter B, 14/9/2006, Vol.640(4).[10]
  14. ^ Cfr. segnalazione di rara aurora boreale blu, di Paolo Candy, direttore osservatorio astronomico dei Cimini. [11]
  15. ^ Cfr. emissione spontanea o luminescenza.
  16. ^ Massimo Bugelli, calcoli eseguiti il 25/4/2016. Portolano di viaggio dentro la materia
  17. ^ Occorre qui notare che la misurazione in virtù della c.d. roulette bilanciata rappresenta la semisomma di tutte le componenti della luce visibile (arcobaleno). Per la separazione delle singole componenti della luce visibile occorre fare riferimento alla generalizzazione della teoria dei quattro colori. Occorre notare anche che la sola eccezione alla generalizzazione della teoria dei quattro colori è rappresentata dalla bottiglia di Klein, che ne richiede sei; ma i sei spazi non sono propriamente 'colori' ma le sei coordinate spazio-temporali; il settimo colore dovrebbe essere rappresentato con la singolarità.
  18. ^ Cfr. anche Robison (1769) 4x10^-40, pag. 106
  19. ^ Cfr. effetto Ehrenhaft figura 1 figura 2
  20. ^ Observation of strong stimulated Brillouin scattering in a single-mode As2Se3 chalcogenide fiber, Kazi S. Abedin, 2005, National Institute of Information and Communications Technology, Tokyo, Japan. [12]
  21. ^ La roulette bilanciata rappresenta una particolare conformazione di un gioco a somma zero (cfr. teoria dei giochi), ed è un tipo di gioco in cui ciò che perde un giocatore è esattamente uguale a ciò che vince l'altro giocatore. Tale concetto è una evoluzione complessa del primo principio della termodinamica.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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