Fattore di Lorentz

Il fattore di Lorentz (o termine di Lorentz) appare in diverse equazioni della relatività ristretta, come la dilatazione del tempo, la contrazione delle lunghezze e la formula della massa relativistica. A causa della sua ubiquità, i fisici lo rappresentano generalmente con il simbolo γ. Il fattore di Lorentz prende il nome da Hendrik Lorentz.

È definito come:

$\gamma \equiv {\frac {c}{\sqrt {c^{2}-u^{2}}}}={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}={\frac {\mathrm {d} t}{\mathrm {d} \tau }}$$\gamma \equiv {\frac {c}{{\sqrt {c^{2}-u^{2}}}}}={\frac {1}{{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}}={\frac {{\mathrm {d}}t}{{\mathrm {d}}\tau }}$

dove:

$\beta ={\frac {u}{c}}$$\beta ={\frac {u}{c}}$ è la velocità in termini della velocità della luce,

u è la velocità misurata nel sistema di riferimento dove il tempo t viene misurato

τ è il tempo proprio

c è la velocità della luce.

Approssimazioni

Il fattore di Lorentz è approssimabile come serie di Taylor:

$\gamma (\beta )=1+{\frac {1}{2}}\beta ^{2}+{\frac {3}{8}}\beta ^{4}+{\frac {5}{16}}\beta ^{6}+{\frac {35}{128}}\beta ^{8}+...$$\gamma (\beta )=1+{\frac {1}{2}}\beta ^{2}+{\frac {3}{8}}\beta ^{4}+{\frac {5}{16}}\beta ^{6}+{\frac {35}{128}}\beta ^{8}+...$

L'approssimazione γ ≈ 1 + ¹/₂ β² è usata occasionalmente per calcolare gli effetti relativistici alle basse velocità. L'errore rientra nell'ordine del 1% per v < 0,4 c (v < 120.000 km/s) e nell'ordine dello 0,1% per v < 0,22 c (v < 66.000 km/s).

Le versioni troncate di questa serie permettono ai fisici di provare che la relatività ristretta si riduce alla meccanica newtoniana per le basse velocità. Per esempio, nella relatività ristretta, le seguenti equazioni:

${\vec {p}}=\gamma m{\vec {v}}$${\vec p}=\gamma m{\vec v}$

$E=\gamma mc^{2}$$E=\gamma mc^{2}$

per γ ≈ 1 e γ ≈ 1 + ¹/₂ β², rispettivamente, si riducono alle loro equivalenti newtoniane:

${\vec {p}}=m{\vec {v}}$${\vec p}=m{\vec v}$

$E=mc^{2}+{\frac {1}{2}}mv^{2}$$E=mc^{2}+{\frac {1}{2}}mv^{2}$

L'equazione del fattore di Lorentz può essere invertita così:

$\beta ={\sqrt {1-{\frac {1}{\gamma ^{2}}}}}$$\beta ={\sqrt {1-{\frac {1}{\gamma ^{2}}}}}$,

che ha una forma equivalente come:

$\beta =1-{\frac {1}{2}}\gamma ^{-2}-{\frac {1}{8}}\gamma ^{-4}-{\frac {1}{16}}\gamma ^{-6}-{\frac {1}{128}}\gamma ^{-8}+...$$\beta =1-{\frac {1}{2}}\gamma ^{{-2}}-{\frac {1}{8}}\gamma ^{{-4}}-{\frac {1}{16}}\gamma ^{{-6}}-{\frac {1}{128}}\gamma ^{{-8}}+...$

I primi due termini sono usati occasionalmente per calcolare rapidamente le velocità per grandi valori di γ. L'approssimazione β ≈ 1 - ¹/₂ γ⁻² rimane nell' 1% di tolleranza per γ > 2, e nello 0,1% di tolleranza per γ > 3,5.

Tabella di valori

Velocità	Fattore di Lorentz	Reciproco
$\beta =v/c$$\beta =v/c$	$\gamma$$\gamma$	$1/\gamma$$1/\gamma$
0,010	1,000	1,000
0,100	1,005	0,995
0,200	1,021	0,980
0,300	1,048	0,954
0,400	1,091	0,917
0,500	1,155	0,866
0,600	1,250	0,800
0,700	1,400	0,714
0,800	1,667	0,600
0,866	2,000	0,500
0,900	2,294	0,436
0,990	7,089	0,141
0,999	22,366	0,045

Bibliografia

• J.D. Jackson, Kinematics (PDF), in Particle Data Group, 2004. - See page 7 for definition of rapidity.

Voci correlate

• Trasformazioni di Lorentz
• Relatività ristretta
• Teoria della relatività
• Elettromagnetismo

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