Fattore di Lorentz

Il fattore di Lorentz (o termine di Lorentz) permette di calcolare la variazione di grandezze fisiche come lunghezza, tempo e massa relativistica riferite a uno stesso fenomeno in sistemi di riferimento in moto relativo fra loro.

Apparve inizialmente nelle trasformazioni di Lorentz e successivamente in diverse equazioni della relatività ristretta che tali trasformazioni adottò. È presente anche nella teoria dell'etere di Hendrik Lorentz.

Formula

A causa della sua ubiquità è rappresentato generalmente con il simbolo γ. È definito come:

$\gamma \equiv {\frac {c}{\sqrt {c^{2}-v^{2}}}}={\frac {1}{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}={\frac {\mathrm {d} t}{\mathrm {d} \tau }}$

dove:

• v è la velocità nel sistema di riferimento dove viene misurato il tempo t
• c è la velocità della luce
• $\beta ={\frac {v}{c}}$
• τ è il tempo proprio

Approssimazioni

Il fattore di Lorentz è approssimabile in serie di Taylor:

$\gamma (\beta )=1+{\frac {1}{2}}\beta ^{2}+{\frac {3}{8}}\beta ^{4}+{\frac {5}{16}}\beta ^{6}+{\frac {35}{128}}\beta ^{8}+\cdots$

L'approssimazione γ ≈ 1 + ¹/₂ β² è usata occasionalmente per calcolare gli effetti relativistici alle basse velocità. L'errore rientra nell'ordine del 1% per v < 0,4 c (v < 120.000 km/s) e nell'ordine dello 0,1% per v < 0,22 c (v < 66.000 km/s).

Le versioni troncate di questa serie permettono ai fisici di provare che la relatività ristretta si riduce alla meccanica newtoniana per le basse velocità. Per esempio, nella relatività ristretta, le seguenti equazioni:

${\vec {p}}=\gamma m{\vec {v}}$

$E=\gamma mc^{2}$

per γ ≈ 1 e γ ≈ 1 + ¹/₂ β², rispettivamente, si riducono alle loro equivalenti newtoniane:

${\vec {p}}=m{\vec {v}}$

$E=mc^{2}+{\frac {1}{2}}mv^{2}$

L'equazione del fattore di Lorentz può essere invertita così:

$\beta ={\sqrt {1-{\frac {1}{\gamma ^{2}}}}}$,

che ha una forma equivalente come:

$\beta =1-{\frac {1}{2}}\gamma ^{-2}-{\frac {1}{8}}\gamma ^{-4}-{\frac {1}{16}}\gamma ^{-6}-{\frac {1}{128}}\gamma ^{-8}+\cdots$

I primi due termini sono usati occasionalmente per calcolare rapidamente le velocità per grandi valori di γ. L'approssimazione β ≈ 1 - ¹/₂ γ⁻² rimane nell'1% di tolleranza per γ > 2, e nello 0,1% di tolleranza per γ > 3,5.

Tabella di valori

Grafico del fattore di Lorentz in funzione della velocità

Grafico del reciproco in funzione della velocità

Velocità	Fattore di Lorentz	Reciproco
$\beta =v/c$	$\gamma$	$1/\gamma$
0,010	1,000	1,000
0,100	1,005	0,995
0,200	1,021	0,980
0,300	1,048	0,954
0,400	1,091	0,917
0,500	1,155	0,866
0,600	1,250	0,800
0,700	1,400	0,714
0,800	1,667	0,600
0,866	2,000	0,500
0,900	2,294	0,436
0,990	7,089	0,141
0,999	22,366	0,045

Bibliografia

• J.D. Jackson, Kinematics (PDF), in Particle Data Group, 2004. URL consultato il 1º settembre 2007 (archiviato dall'url originale il 21 novembre 2014).

Voci correlate

• Trasformazione di Lorentz
• Relatività ristretta
• Teoria della relatività
• Interazione elettromagnetica

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