Ampiezza di probabilità

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In meccanica quantistica, l'ampiezza di probabilità è un numero complesso il cui modulo quadro rappresenta la probabilità o la densità di probabilità. Ad ogni particella è associata una ampiezza di probabilità che descrive la sua posizione, in accordo con il principio di indeterminazione di Heisenberg: essa coincide con la funzione d'onda in tal punto.

Per una funzione d'onda ψ la funzione di densità di probabilità associata è ψ*ψ, che equivale a |ψ|2. Questa è talvolta definita semplicemente densità di probabilità e può essere normalizzata o non normalizzata.

Se |ψ|2 possiede un integrale finito all'interno dello spazio tridimensionale, è quindi possibile scegliere una costante di normalizzazione c tale che rimpiazzando ψ con cψ l'integrale assume valore unitario. Quindi la probabilità che una particella si trovi all'interno di una particolare regione V dell'universo è data dall'integrale esteso in V di |ψ|2. Il che significa, secondo l'interpretazione di Copenaghen della meccanica quantistica, che se qualche osservatore prova a misurare la quantità associata a questa ampiezza di probabilità, il risultato di questa misura rientrerà all'interno di \varepsilon con una probabilità P(ε) data da

 P(\varepsilon)=\int_\varepsilon^{} |\psi(x)|^2\, dx.

Ampiezze di probabilità che non sono quadrati integrabili sono solitamente assunte come il limite di una serie di funzioni che sono quadrato integrabile. Il cambiamento della probabilità in funzione del tempo viene espresso in termini di ψ stesso, non in termini di funzione di probabilità |ψ|2. A tal proposito si rimanda all'equazione di Schrödinger.

Per descrivere il cambiamento nel tempo della densità di probabilità occorre definire il flusso di probabilità (o corrente di probabilità) j:

 \mathbf{j} = {\hbar \over m} \cdot {1 \over {2 i}} \left( \psi ^{*} \nabla \psi  - \psi \nabla \psi^{*} \right)  = {\hbar \over m} \operatorname{Im} \left( \psi ^{*} \nabla \psi \right) = \mathrm{Re}\left ( \psi^* \frac{\hbar}{im} \nabla \psi \right )

e misurato in unità (probabilità)/(area × tempo) = r−2t−1.

Il flusso di probabilità soddisfa una equazione di continuità quantistica, ad esempio:

 \nabla \cdot \mathbf{j} + { \partial \over \partial t} P(x,t) = 0

dove P(x, t) è la funzione densità di probabilità ed è misurata in unità (probabilità)/(volume) = r−3. Questa equazione è l'equivalente matematico della legge di conservazione della probabilità.

Per un'onda piana si dimostra facilmente che

\langle x | \psi \rang = A \exp{\left( i k x - i \omega t \right)}

con flusso di probabilità dato da

 j(x,t) = |A|^2 {k \hbar \over m}.
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