Normalizzazione (matematica)

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In matematica per normalizzazione si intende il procedimento di dividere tutti i termini di un'espressione per uno stesso fattore in modo che l'espressione risultante abbia una certa norma pari a 1.

Normalizzazione in uno spazio vettoriale[modifica | modifica wikitesto]

In uno spazio vettoriale dotato di prodotto interno e di norma si chiama normalizzazione il procedimento che dato un vettore lo porta ad avere norma unitaria.

Una situazione comune in cui si utilizza questo procedimento è nella costruzione di una base ortonormale (o sistema ortonormale, s.o.n.) dello spazio vettoriale. Supponiamo di essere in uno spazio vettoriale di dimensione n e di conoscere già una base completa di vettori che siano tra loro ortogonali; siamo cioè nel caso in cui gli n vettori componenti dell'insieme

costituiscono una base ortogonale.

Per ottenere una base ortonormale, basta prendere singolarmente ciascuno di questi n vettori e dividerli ciascuno per il valore della propria norma (si noti che si tratta di una divisione per uno scalare, perché la norma di un vettore è uno scalare).

ognuno dei vettori così ottenuti avrà norma unitaria (sarà quindi anche un versore). Inoltre ognuno di questi vettori saranno tra loro ortogonali. Pertanto l'insieme

costituisce una base ortonormale dello spazio vettoriale normato.

Probabilità[modifica | modifica wikitesto]

Lo spazio vettoriale delle funzioni integrabili di variabile reale è dotato di una seminorma; procedendo come sopra, è possibile normalizzare qualunque tra queste funzioni abbia seminorma non nulla.

In particolare, una funzione f di variabile reale, integrabile, sempre positiva (o sempre negativa), con integrale non nullo,

può essere riscalata per a, dando origine ad una funzione di densità di probabilità

Questo è un caso particolare di una misura di probabilità ottenuta normalizzando la misura di uno spazio misurabile, con la condizione che lo spazio stesso abbia misura finita e non nulla.

Un esempio nel calcolo delle probabilità è la probabilità condizionata da un evento B, di probabilità non nulla (è certamente finita): questa è ottenuta restringendo lo spazio degli eventi a B e normalizzando la misura.

Applicazioni[modifica | modifica wikitesto]

Trigonometria[modifica | modifica wikitesto]

In trigonometria la normalizzazione è un metodo per la risoluzione delle equazioni lineari in seno e coseno, chiamato anche metodo dell'angolo aggiunto. Per risolvere un'equazione del tipo:

Si dividono entrambi i membri per

Questa quantità è diversa da zero, a meno che sia a e b siano nulli, nel qual caso l'equazione di partenza degenera nel caso banale

Si ottiene:

Notiamo ora che i due coefficienti e sono entrambi, in modulo, minori di 1, e inoltre la somma dei loro quadrati è 1; pertanto essi possono essere considerati come seno e coseno di uno stesso angolo . Si ha quindi:

Ora l'equazione iniziale diventa:

Da questa equazione si può ora facilmente determinare il valore dell'angolo , e poiché il valore dell'angolo è noto, si può facilmente ricavare anche l'angolo incognito x.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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