Momento angolare

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Esempio di funzionamento del momento angolare

Il momento angolare (dal latino momentum, movimento), o momento della quantità di moto, è una grandezza fisica di tipo vettoriale che rappresenta la quantità che si conserva se un sistema fisico è invariante sotto rotazioni spaziali. Costituisce l'equivalente per le rotazioni della quantità di moto per le traslazioni.[1]

Più in generale, nelle formulazioni della meccanica discendenti da un principio variazionale il momento angolare è definito, in termini del teorema di Noether, come la quantità conservata risultante dall'invarianza dell'azione rispetto alle rotazioni tridimensionali. Questa formulazione è più adatta per estendere il concetto di momento angolare ad altri enti, quali ad esempio il campo elettromagnetico.

Il momento angolare è uno pseudovettore, non uno scalare come l'azione.[2] Per questo motivo la sua unità di misura nel Sistema internazionale (SI) è espressa in (kilogrammo per metro quadro su secondo), non in joule per secondo, anche se le due unità hanno le stesse dimensioni fisiche.[3] Una grandezza correlata al momento angolare è il momento angolare specifico , il quale rappresenta il momento angolare per unità di massa, ovvero il momento della velocità.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Momento angolare () di un punto materiale di massa . Nell'immagine sono indicati il vettore posizione () e la velocità ()

Nella meccanica newtoniana il momento angolare rispetto a un polo di un punto materiale è definito come il prodotto vettoriale tra il vettore che esprime la posizione del punto rispetto a e il vettore quantità di moto :[4]

Il modulo di è quindi definito da: [5]

La direzione di è perpendicolare al piano definito da e da e il verso è quello di un osservatore che vede ruotare in senso antiorario. Il vettore , che rappresenta la distanza dell'asse di rotazione dalla retta su cui giace , è detto braccio di .

Se e sono tra loro perpendicolari, si ha che , pertanto il momento angolare è massimo. Il momento angolare è nullo invece se la quantità di moto o il braccio sono nulli, oppure se è parallelo ad , in tal caso infatti .

Poiché il prodotto di due variabili coniugate, ad esempio posizione e impulso, deve essere un'azione, questo ci dice che la variabile coniugata al momento angolare deve essere adimensionale: infatti è l'angolo di rotazione attorno al polo.

Momento angolare assiale[modifica | modifica wikitesto]

Si definisce momento angolare assiale rispetto a un asse passante per un punto la componente ortogonale del momento angolare su un particolare asse , detto asse centrale:

dove è un versore, vettore di lunghezza unitaria, che identifica l'asse. Il modulo sarà:

dove è l'angolo formato dal vettore momento angolare con l'asse . In pratica è la proiezione ortogonale del momento angolare sull'asse . Per questo il momento angolare assiale è nullo se l'angolo e massimo quando l'asse coincide con l'asse di , in tal caso infatti: .

Momento angolare per sistemi di punti materiali[modifica | modifica wikitesto]

Magnifying glass icon mgx2.svgLo stesso argomento in dettaglio: Primo teorema di König.

Per sistemi discreti il momento angolare totale è definito dalla somma dei singoli momenti angolari:[6]

dove è il vettore posizione del punto i-esimo rispetto all'origine, è la sua massa, e è la sua velocità. Sapendo che la massa totale di tutte le particelle è data da:

si ha che il centro di massa è definito da:

ne consegue che la velocità lineare del centro di massa è:

Se si definiscono il vettore posizione della particella , e la sua velocità rispetto al centro di massa, si ha:

e

si può vedere che:

   e   

cosicché il momento angolare totale rispetto all'origine è:

Il primo termine è semplicemente il momento angolare del centro di massa. È il medesimo momento angolare che si otterrebbe se ci fosse una sola particella di massa , posta nel centro di massa, che si muove con velocità . Il secondo termine è il momento angolare delle particelle relativamente al proprio centro di massa.[7] Nei sistemi continui si estende in modo naturale la definizione introducendo la densità e il campo di velocità :

Legame con il moto rotatorio[modifica | modifica wikitesto]

Se le particelle formano un corpo rigido, il termine che descrive il loro momento angolare rispetto al centro di massa può essere ulteriormente semplificato. In questo caso, infatti, è possibile legare la sua espressione alla descrizione del moto rotatorio, ovvero alla velocità angolare e alla velocità areolare . Se la componente rotatoria è l'unica presente, ovvero nel caso in cui il corpo rigido si muova di moto circolare uniforme, è pari al prodotto del tensore di inerzia e della velocità angolare:

oppure, analogamente, come il doppio del prodotto tra la massa totale e la velocità areolare:

Lo stesso risultato si ottiene se al sistema di punti materiali discreti esaminato sopra si sostituisce una distribuzione continua di massa.

Legame con il momento meccanico[modifica | modifica wikitesto]

Magnifying glass icon mgx2.svgLo stesso argomento in dettaglio: Equazioni cardinali della dinamica § Seconda equazione cardinale.
Relazione tra forza (), momento meccanico (), quantità di moto () e momento angolare () in un sistema rotante.

Per quanto riguarda la dinamica dei sistemi di punti materiali, il momento angolare è una caratteristica fondamentale del moto.[8] Infatti se un punto materiale si muove con quantità di moto: , il momento angolare del punto rispetto a un polo è dato da:

se il polo è in moto con velocità , allora il momento angolare varia nel tempo:

dove:

  • rappresenta la velocità relativa del punto rispetto alla velocità di
  • per il secondo principio della dinamica rappresenta la forza totale risultante.

Allora da questa relazione si ricava la seconda equazione cardinale della dinamica:

essendo e paralleli, il loro prodotto vettoriale è nullo, dunque si ottiene:

dove è il momento meccanico. Nel caso di un corpo rigido rotante, si può osservare che rappresenta la velocità tangenziale del corpo rotante, pertanto si ha che:

Nei casi in cui:

  • il polo sia fermo
  • il polo coincida con il centro di massa
  • il polo si muova parallelamente alla traiettoria del centro di massa

allora ci si riconduce alla più familiare:[9]

Il momento di una forza è definito come il prodotto vettoriale tra il vettore posizione del punto di applicazione della forza, e la forza stessa. Il suo modulo risulta quindi uguale al modulo della forza per il braccio. Si può dimostrare che se il polo è immobile, la derivata rispetto al tempo del momento angolare è uguale al momento delle forze applicate, cosicché se quest'ultimo momento è nullo allora il momento angolare si conserva.[10]

Conservazione del momento angolare ed esempi[modifica | modifica wikitesto]

Il momento angolare è importante in tutti i moti dipendenti da variazioni che riguardano variabili angolari, inoltre resta fondamentale perché nei sistemi isolati, cioè non soggetti a momenti di forze esterne, vale la legge di conservazione del momento angolare.[11]

Impulso angolare[modifica | modifica wikitesto]

Magnifying glass icon mgx2.svgLo stesso argomento in dettaglio: Urto fra corpi rigidi.

Viene definito impulso angolare la variazione del momento angolare di un corpo che viene sottoposto ad un urto con un altro corpo. In altre parole è il momento angolare effettivamente trasmesso al momento dell'urto. Il momento angolare iniziale e finale, utili per calcolare l'impulso angolare, consistono nei momenti della quantità di moto finale e della quantità di moto iniziale.[12] Dunque per calcolare l'impulso angolare in genere si usa misurare massa e velocità del corpo prima del contatto e trarre i dati iniziali e ripetere l'operazione dopo il contatto. Sfruttando la seconda equazione cardinale della dinamica di Eulero e la legge della cinematica di un moto circolare uniforme si ha che:

Integrando rispetto al tempo entrambi i membri si ottiene l'impulso angolare:

Forze centrali[modifica | modifica wikitesto]

Nello studio dei moti in campi di forze centrali, la conservazione del momento angolare è fondamentale, poiché è legata alla costanza della velocità areolare. Esempi di questo tipo si riscontrano in meccanica newtoniana, ad esempio nello studio del moto del pendolo, e in meccanica celeste, dove il momento angolare orbitale, definito come il prodotto vettoriale tra la posizione e la quantità di moto del corpo orbitante al tempo di riferimento, riveste un ruolo chiave per le leggi di Keplero e lo studio dei moti dei pianeti, infatti il momento angolare orbitale specifico rappresenta una costante vettoriale di moto di un'orbita, cioè si conserva nel tempo.[13]

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Gian Paolo Parodi, Marco Ostili, Guglielmo Mochi Onori, L’evoluzione della fisica – Vol. 1, Paravia, 2007, ISBN 978-88-395-1609-1.p.359
  2. ^ Gian Paolo Parodi, Marco Ostili, Guglielmo Mochi Onori, L’evoluzione della fisica – Vol. 1, Paravia, 2007, ISBN 978-88-395-1609-1.p.359
  3. ^ Paolo Mazzoldi, Massimo Nigro, Cesare Voci, Fisica - Volume I (seconda edizione), Napoli, EdiSES, 2010, ISBN 88-7959-137-1.p.85
  4. ^ Paolo Mazzoldi, Massimo Nigro, Cesare Voci, Fisica - Volume I (seconda edizione), Napoli, EdiSES, 2010, ISBN 88-7959-137-1.p.83
  5. ^ Sergio Rosati, Fisica Generale, Casa Editrice Ambrosiana - Milano, 1990, ISBN 88-408-0368-8.p.207
  6. ^ Paolo Mazzoldi, Massimo Nigro, Cesare Voci, Fisica - Volume I (seconda edizione), Napoli, EdiSES, 2010, ISBN 88-7959-137-1.p.141
  7. ^ Paolo Mazzoldi, Massimo Nigro, Cesare Voci, Fisica - Volume I (seconda edizione), Napoli, EdiSES, 2010, ISBN 88-7959-137-1.p.142
  8. ^ Sergio Rosati, Fisica Generale, Casa Editrice Ambrosiana - Milano, 1990, ISBN 88-408-0368-8.p.222
  9. ^ Sergio Rosati, Fisica Generale, Casa Editrice Ambrosiana - Milano, 1990, ISBN 88-408-0368-8.p.205
  10. ^ Sergio Rosati, Fisica Generale, Casa Editrice Ambrosiana - Milano, 1990, ISBN 88-408-0368-8.p.222
  11. ^ Sergio Rosati, Fisica Generale, Casa Editrice Ambrosiana - Milano, 1990, ISBN 88-408-0368-8.p223
  12. ^ Bruno Finzi, Meccanica Razionale – Volume 2 – Dinamica (terza edizione), Zanichelli - Bologna, 1995.p.390
  13. ^ Paolo Mazzoldi, Massimo Nigro, Cesare Voci, Fisica - Volume I (seconda edizione), Napoli, EdiSES, 2010, ISBN 88-7959-137-1.p.362

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Sergio Rosati, Fisica Generale, Casa Editrice Ambrosiana - Milano, 1990, ISBN 88-408-0368-8.
  • Paolo Mazzoldi, Massimo Nigro, Cesare Voci, Fisica - Volume I (seconda edizione), Napoli, EdiSES, 2010, ISBN 88-7959-137-1.
  • Gian Paolo Parodi, Marco Ostili, Guglielmo Mochi Onori, L'Evoluzione della Fisica-Volume 1, Paravia, 2006, ISBN 978-88-395-1609-1.
  • David Halliday, Robert Resnick, Fundamentals of Physics, John Wiley & Sons, 1960-2007, Chapter 10.

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