Operatore normale

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In matematica, in particolare in analisi funzionale, un operatore normale in uno spazio di Hilbert (complesso), o equivalentemente in una C*-algebra, è un operatore lineare continuo che commuta con il suo aggiunto.[1] Questi operatori sono importanti per il fatto che ad essi si applica il teorema spettrale.

Inoltre, nel caso finito-dimensionale, la matrice associata a un operatore normale rispetto a una base ortonormale dello spazio di Hilbert è una matrice normale.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Dato uno spazio di Hilbert definito sul campo dei numeri complessi, un endomorfismo si dice normale se:[2]

In modo equivalente, è normale se e solo se:

Si ha inoltre che:

Tra gli endomorfismi normali vi sono gli endomorfismi autoaggiunti, gli endomorfismi emisimmetrici e gli endomorfismi unitari.

Il teorema spettrale[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Teorema spettrale.

Gli operatori normali sono soggetti al teorema spettrale: gli autovalori, in questo caso, sono in generale numeri complessi.

Sia un operatore lineare su uno spazio vettoriale complesso di dimensione finita , dotato di un prodotto hermitiano, cioè di una forma hermitiana definita positiva. Il teorema spettrale afferma che è un operatore normale se e solo se esiste una base ortonormale di composta da autovettori di .[3] L'endomorfismo è quindi diagonalizzabile.

Nel linguaggio matriciale, il teorema afferma che ogni matrice normale è simile ad una matrice diagonale tramite una matrice unitaria, ovvero per ogni matrice normale esistono una matrice unitaria ed una diagonale per cui:

I vettori colonna di sono gli autovettori di e sono reciprocamente ortogonali.

Come corollario segue che se e solo se l'operatore è autoaggiunto la base ortonormale conta solo autovalori reali, mentre se è unitario il modulo degli autovalori è 1. In particolare, gli autovalori di una matrice hermitiana sono tutti reali, mentre quelli di una matrice unitaria sono di modulo 1.

Decomposizione spettrale[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Diagonalizzabilità.

Il teorema spettrale fornisce le condizioni per cui sia possibile diagonalizzare un operatore rispetto ad una base ortonormale. Quando questo risulta possibile nel caso finito-dimensionale, ad autovalori distinti corrispondono autovettori mutuamente ortogonali, e pertanto gli autospazi sono in somma diretta. Un operatore normale può, di conseguenza, essere scritto come una combinazione lineare di proiettori ortogonali sugli autospazi, i cui coefficienti sono gli autovalori relativi ad ogni autospazio.

Nel caso infinito-dimensionale la normalità, ed in particolare l'autoaggiuntezza, non garantisce la diagonalizzabilità. In generale un operatore normale non può essere più scritto come combinazione lineare di proiettori ortogonali. Attraverso la misura a valori di proiettore è tuttavia possibile ottenere una scrittura integrale che permette di descrivere l'operatore in termini del suo spettro.

Caso finito-dimensionale[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: proiezione ortogonale.

Come conseguenza del teorema spettrale, sia nel caso reale che nel caso complesso, il teorema di decomposizione spettrale afferma che gli autospazi di sono ortogonali e in somma diretta:

Equivalentemente, se è la proiezione ortogonale su , si ha:

La decomposizione spettrale è un caso particolare della decomposizione di Schur. È anche un caso particolare della decomposizione ai valori singolari.

Caso infinito-dimensionale[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Misura a valori di proiettore e Diagonalizzabilità.

Sia un operatore normale limitato definito su uno spazio di Hilbert . Il teorema di decomposizione spettrale per operatori normali afferma che esiste un'unica misura a valori di proiettore tale per cui:

dove è lo spettro di . Si dice che è la misura a valori di proiettore associata ad .

In particolare, se è un operatore autoaggiunto si può definire una misura a valori di proiettore limitata:

definita sullo spettro di , in cui è la funzione indicatrice. Tale misura può essere univocamente associata ad nel seguente modo:

per ogni funzione misurabile limitata , e in tal caso si ha:

La formula a sinistra è detta diagonalizzazione di .[4]

Se da un lato è possibile definire univocamente un operatore autoaggiunto (o, più in generale, un operatore normale) a partire da una misura a valori di proiettore, dall'altro se è possibile diagonalizzare tramite una misura a valori di proiettore limitata allora è la misura a valori di proiettore associata univocamente ad . Ogni operatore limitato autoaggiunto può dunque essere messo in corrispondenza biunivoca con una misura a valori di proiettore limitata .

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ A. Tatone - Corso di matematica applicata
  2. ^ S. Lang, Pag. 252
  3. ^ S. Lang, Pag. 251
  4. ^ Reed, Simon, Pag. 234

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992, ISBN 88-339-5035-2.
  • (EN) Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2ª ed., San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0-12-585050-6.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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