Commutatore (matematica)

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Per commutatore, in matematica, si intende una composizione di due elementi di una struttura algebrica, riferita ad una operazione binaria che fornisce un terzo elemento diverso dall'elemento neutro, quando i due elementi dati non soddisfano la proprietà commutativa.

I commutatori sono ampiamente usati nella teoria dei gruppi, nella teoria degli anelli, nelle algebre di Lie. Nella meccanica quantistica sono usati per formulare il principio di indeterminazione.

L'anticommutatore è un operatore usato specialmente in meccanica quantistica che prende in ingresso due operatori. L'anticommutatore tra e è definito come:

Teoria dei gruppi[modifica | modifica wikitesto]

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Sia un gruppo la cui unità denotiamo con . Il commutatore di due elementi e del gruppo è l'elemento

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Si dice che due elementi e del gruppo commutano quando . Questo accade se e solo se il loro commutatore è l'unità:

Sottogruppo commutatore[modifica | modifica wikitesto]

Il sottogruppo generato da tutti i commutatori di è detto sottogruppo dei commutatori o sottogruppo derivato di , e spesso si indica con . Un gruppo è abeliano se e solo se questo sottogruppo è triviale, ossia costituito dalla sola unità di .

Il sottogruppo commutatore è normale, quindi è sempre definibile il gruppo quoziente . Informalmente si può dire che, nella costruzione di questo quoziente, si considerano trascurabili gli elementi che non commutano: risulta infatti che è abeliano. Più precisamente, è il più piccolo sottogruppo normale di tale che il quoziente risulti essere abeliano. Questo quoziente viene chiamato l'abelianizzato di .

Va segnalato che, in vari testi, il commutatore di due elementi è definito in modo lievemente differente:

Anche con questa definizione due elementi commutano se e solo se il commutatore è l'unità e si ottiene lo stesso sottogruppo derivato individuato in precedenza.

Teoria degli anelli[modifica | modifica wikitesto]

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Sia un anello. Il commutatore di due suoi elementi e è l'elemento

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Due elementi e commutano se . Questo accade se e solo se il commutatore si annulla:

Il commutatore è una funzione bilineare sull'anello:

Il commutatore è anticommutativo, ossia è una funzione bivariata antisimmetrica:

Il commutatore è una composizione nilpotente:

Il commutatore soddisfa l'identità di Jacobi:

Il commutatore soddisfa una versione della regola di Leibniz:

Quest'ultima espressione è interpretabile come regola di Leibniz per la mappa

che per la suddetta formula si dice rivestire il ruolo di derivazione sull'anello.

Altre relazioni:

Algebra di Lie[modifica | modifica wikitesto]

Se è una algebra associativa, la bilinearità espressa sopra vale anche per la moltiplicazione di uno scalare:

Da tutte le proprietà elencate segue che, sostituendo il prodotto in con l'operazione binaria

si ottiene una nuova struttura di algebra per : più precisamente, si ottiene una struttura di algebra di Lie. I commutatori possono quindi essere utilizzati per trasformare una qualsiasi algebra associativa in una algebra di Lie.

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Spazi di matrici[modifica | modifica wikitesto]

Le matrici su un campo fissato formano un'algebra associativa. Sostituendo l'usuale prodotto fra matrici con l'operazione di commutazione si ottiene quindi una struttura di algebra di Lie.

Operatori su spazi di Hilbert[modifica | modifica wikitesto]

Le matrici reali agiscono sullo spazio euclideo . Più in generale, si possono considerare varie algebre formate da operatori che agiscono su un determinato spazio di Hilbert .

In meccanica quantistica, gli operatori descrivono gli osservabili e i loro commutatori misurano la precisione con cui due osservabili possono essere misurati simultaneamente. Generalmente è un determinato spazio di funzioni.

Ad esempio, se è uno spazio di funzioni di una variabile a valori complessi, l'operatore posizione moltiplica ogni funzione per :

mentre l'operatore di momento è una derivata:

I due operatori non commutano. Il loro commutatore è infatti

Per verificare che tale operatore è diverso da zero, lo si applica su una funzione e si ottiene il seguente risultato:

Poiché la relazione vale per ogni funzione di , si conclude che il commutatore è l'operatore che moltiplica ogni funzione per la costante :

La generalizzazione di questa relazione in tre dimensioni, con:

è la seguente:

dove è la delta di Kronecker.

Altre relazioni di commutazione utili in meccanica quantistica sono le seguenti, dove è un intero maggiore o uguale a zero e e due funzioni sviluppabili in serie di Taylor:

Dimostrazioni[modifica | modifica wikitesto]

Dimostriamo prima la relazione

La dimostrazione procede per induzione: la relazione è vera per , supponiamo che sia vera per qualunque e dimostriamo allora che vale anche per

La dimostrazione di

è analoga alla precedente.

Dimostriamo ora la relazione

Utilizzando lo sviluppo di Taylor possiamo scrivere

da cui otteniamo

La dimostrazione di

è analoga alla precedente.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]