Identità di Jacobi

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In matematica e in fisica, l'identità di Jacobi, il cui nome si deve a Carl Gustav Jakob Jacobi, è una proprietà di bilinearità la quale dipende dall'ordine di valutazione dell'operazione data. Diversamente dalle operazioni associative, è importante l'ordine di valutazione delle quantità che devono soddisfare all'identità di Jacobi.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

L'identità di Jacobi è la relazione della seguente forma:

dove è il commutatore.

Un'operazione binaria definita su un insieme con un'operazione binaria con identità additiva (elemento neutro rispetto a ) soddisfa l'identità di Jacobi se:

Ovvero se la somma di tutte le permutazioni pari di deve essere nulla.

Questa identità può essere presa in considerazione per qualsiasi anello intendendo che sia , cioè che le parentesi quadrate caratterizzino il commutatore degli elementi dell'anello. In particolare, l'identità può essere presa in considerazione quando , e sono elementi di un'algebra e, ancora più in particolare, quando , e denotano matrici quadrate su un campo. Una tale algebra in genere non è anticommutativa.

L'identità di Jacobi interviene anche nella definizione dell'algebra di Lie come assioma per la legge di composizione data dalla scrittura . In un'esposizione generale questa composizione viene trattata assiomaticamente, in una applicazione viene definita costruttivamente. Applicazioni di rilievo si hanno nella meccanica analitica e nella meccanica quantistica.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

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