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Anello (algebra)

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In matematica, in particolare in algebra astratta, un anello è una struttura algebrica composta da un insieme su cui sono definite due operazioni binarie, chiamate somma e prodotto, indicate rispettivamente con e , che godono di proprietà simili a quelle verificate dai numeri interi. La parte della matematica che li studia è detta teoria degli anelli.

Definizione formale[modifica | modifica wikitesto]

L'insieme , dotato di due operazioni binarie e , è un anello se valgono le seguenti proprietà:

è un gruppo abeliano con elemento neutro :

  • esiste un elemento tale che
  • per ogni esiste un elemento tale che

è un semigruppo:

La moltiplicazione è distributiva rispetto alla somma:

Le relazioni devono valere per ogni , e in .

Come per i numeri, il simbolo per la moltiplicazione è spesso omesso.

Spesso vengono studiati anelli che posseggono ulteriori proprietà: se anche la moltiplicazione è commutativa, è detto anello commutativo, se ammette un elemento neutro (generalmente indicato con ; cioè è un monoide) allora l'anello è unitario; se poi l'anello è commutativo e non esistono divisori dello (cioè se allora almeno uno tra e è ) si è in presenza di un dominio d'integrità.

Un corpo è un anello con unità i cui elementi non nulli hanno inverso moltiplicativo. Un campo è un anello commutativo con unità i cui elementi non nulli hanno inverso moltiplicativo, ossia un corpo commutativo. L'esempio più importante di corpo non commutativo è il corpo dei quaternioni, mentre gli insiemi (numeri razionali), (numeri reali) e (numeri complessi) sono esempi di campi.

A volte la definizione di anello è lievemente diversa. La più importante di queste differenze è la richiesta che l'anello possegga anche l'unità: tra i matematici che adottano questa definizione vi sono Bourbaki[1] e Serge Lang[2]. In questo caso, per riferirsi alla struttura qui presentata come anello, viene usato il termine pseudoanello. Altri autori non richiedono l'associatività del prodotto.[senza fonte]

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

L'esempio più basilare della struttura di anello è l'insieme dei numeri interi, dotato delle usuali operazioni di somma e prodotto. Tale anello è commutativo ed è un dominio d'integrità. L'insieme dei numeri naturali non è invece un anello, perché non esistono gli inversi rispetto all'addizione.

Allo stesso modo, l'insieme dei polinomi con variabile e coefficienti in un anello formano un anello con le usuali operazioni di somma e prodotto fra polinomi. Tale anello eredita molte proprietà da quelle di , quali la commutatività e l'assenza di divisori dello 0. Anche l'insieme delle funzioni da un insieme qualsiasi ad un anello forma un altro anello con le usuali operazioni di somma e prodotto fra funzioni punto a punto, definite nel modo seguente:

Un anello non commutativo è invece l'anello delle matrici (con ) a valori in un anello (indicato con ), con le operazioni di somma e prodotto fra matrici. Generalmente questo anello possiede anche dei divisori dello zero. Ad esempio, in valgono le relazioni:

e

Teoremi di base[modifica | modifica wikitesto]

A partire dagli assiomi, si può dedurre immediatamente che per ogni e in un anello :

Se poi l'anello è unitario, allora

  • l'unità è unica,
  • se e hanno inversi rispetto al prodotto,
  • se allora l'anello è formato da un solo elemento,

Un altro importante teorema, che non richiede l'esistenza dell'unità, è il teorema del binomio:

valido per ogni coppia di elementi e che commutano (cioè tali che ).

Sottostrutture[modifica | modifica wikitesto]

Un sottoanello di un anello è un sottogruppo di che sia chiuso rispetto al prodotto. In altre parole, è un sottoinsieme non vuoto di , e se e sono in , allora anche e sono in . Poiché gli assiomi elencati sopra continuano a valere per , anch'esso è un anello rispetto alle operazioni e di . In questo modo costruiamo facilmente altri esempi:

  • I numeri interi divisibili per sono un sottoanello di .
  • I numeri razionali con denominatore dispari sono un sottoanello di .
  • L'insieme di tutti i numeri reali della forma con e interi è un sottoanello di .
  • Gli interi gaussiani in , dove e sono interi, sono un sottoanello di .
  • I polinomi in del tipo sono un sottoanello di .
  • L'insieme delle frazioni diadiche costituisce un sottoanello dei numeri razionali.

Un particolare sottoanello è il centro di un anello : esso comprende tutti gli elementi che commutano (moltiplicativamente) con qualsiasi elemento di . Esso coincide con l'intero anello se e solo se è un anello commutativo.

A partire da un sottoanello di e da un sottoinsieme , si può costruire il più piccolo sottoanello contenente ed : esso è indicato con , ed è uguale all'insieme delle combinazioni degli elementi di mediante le operazioni di anello. Tale operazione è detta estensione di anelli, ed è "finitamente generata" se è finito.

Ideali[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: ideale (matematica).

Spesso tuttavia al posto di questa struttura si preferisce usare quella, più forte, di ideale: esso è definito in un anello commutativo come un particolare sottoanello tale che tutti i prodotti , dove è un elemento dell'anello e appartiene all'ideale, sono ancora elementi dell'ideale. Se invece l'anello non è commutativo, è necessario distinguere tra ideali destri e sinistri: i primi sono quelli tali che appartiene all'ideale per ogni nell'ideale e nell'anello, mentre per i secondi, allo stesso modo, appartiene all'ideale. Se un ideale è sia destro che sinistro, viene detto bilatero o bilaterale.

L'importanza di questa struttura risiede nel fatto che il nucleo di un omomorfismo tra due anelli è sempre un ideale bilatero di , e che a partire da un ideale bilatero è possibile costruire l'anello quoziente . Inoltre la presenza di ideali permette di stabilire un'importante proprietà dell'anello: esso è infatti un campo se e solo se è privo di ideali non banali (cioè diversi dall'insieme e dall'anello stesso).

A seconda del rapporto di un ideale con il resto dell'anello, sono possibili ulteriori specificazioni: un ideale primo è un ideale tale che, per ogni prodotto ab che appartiene ad , almeno uno tra e appartiene ad (il nome deriva dalla similitudine di questa definizione con il lemma di Euclide riguardante i numeri primi); se invece non esistono ideali "intermedi" tra ed (cioè se l'unico ideale di che contiene è stesso) si parla di ideale massimale. Questi due tipi di ideali sono particolarmente importanti in relazione ai loro quozienti: in un anello commutativo, infatti, è primo se e solo se è un dominio d'integrità, mentre se l'anello è anche unitario è massimale se e solo se è un campo. Questo implica anche che, in un anello commutativo unitario, ogni ideale massimale è primo.

Il lemma di Krull (la cui dimostrazione si basa sul lemma di Zorn) afferma che ogni anello unitario possiede almeno un ideale massimale; se esso è unico, l'anello si dice locale. L'insieme degli ideali primi di un anello commutativo forma il cosiddetto spettro di .

Elementi invertibili[modifica | modifica wikitesto]

Un elemento di un anello con unità è invertibile se esiste un tale che .

Gli elementi invertibili di un anello sono spesso chiamati unità. Normalmente è il contesto che chiarisce se si parla di unità intesa come l'elemento neutro moltiplicativo, o di unità intesa come elemento invertibile.

L'insieme degli elementi invertibili in è generalmente descritto come . L'insieme forma un gruppo con l'operazione prodotto, chiamato gruppo moltiplicativo di .

Ad esempio, nei numeri interi il gruppo moltiplicativo è dato dai due elementi . In un corpo o in un campo, il gruppo moltiplicativo coincide con tutto l'anello privato dell'elemento neutro.

Omomorfismi[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Omomorfismo di anelli.

Un omomorfismo tra due anelli e è una funzione che preserva le operazioni, cioè una funzione tale che, per ogni coppia di elementi e di , si ha e . Gli omomorfismi quindi preservano in qualche modo la struttura algebrica; particolarmente importanti tra di essi sono gli isomorfismi, ovvero gli omomorfismi biunivoci, che la conservano completamente: due anelli isomorfi possono essere considerati "uguali" per tutte le proprietà algebriche.

Ogni omomorfismo mappa lo zero di nello zero di , mentre questo non avviene per l'unità, nemmeno se entrambi gli anelli sono unitari: condizioni sufficienti perché questo avvenga è che l'omomorfismo sia suriettivo oppure che nel codominio non esistano divisori dello zero. Il nucleo di un omomorfismo è un ideale bilatero di , e viceversa ogni ideale è il nucleo di un omomorfismo: invece l'immagine di è un sottoanello di . Gli omomorfismi preservano in una certa misura anche le sottostrutture: l'immagine di un sottoanello è un sottoanello, mentre l'immagine di un ideale è un ideale nell'immagine di , ma non necessariamente in .

Una relazione molto importante è il teorema fondamentale di omomorfismo, che permette di trovare degli isomorfismi a partire dagli omomorfismi: se è un omomorfismo tra e e è il suo nucleo, allora il quoziente è isomorfo all'immagine .

Un omomorfismo suriettivo può essere considerato una proiezione di un anello su un suo quoziente (dove è il nucleo); un omomorfismo iniettivo, invece, può essere considerato un'inclusione di un anello nell'altro, perché, per il teorema di omomorfismo, esiste nel codominio un'immagine isomorfa ad , che quindi può essere considerata uguale ad . Se è un campo, inoltre, tutti gli omomorfismi non nulli sono iniettivi, in quanto gli unici ideali sono quelli banali.

Prodotto diretto[modifica | modifica wikitesto]

Il prodotto diretto di due anelli e è il prodotto cartesiano con le operazioni definite termine a termine:

Questo nuovo insieme forma un anello, in cui lo è la coppia . Diverse proprietà di questo nuovo anello possono essere dedotte dalle proprietà degli anelli di partenza: è commutativo se e solo se lo sono entrambi i fattori, mentre se e sono unitari allora è l'unità di . Una proprietà che invece non passa al prodotto è l'assenza di divisori degli zeri: infatti il prodotto è sempre uguale a , anche se e non sono zeri. Questo implica che il prodotto diretto di campi non è mai un campo, a meno che uno non sia ridotto al solo .

Questa definizione si può estendere naturalmente al prodotto cartesiano di anelli.

Elementi primi ed irriducibili[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Fattorizzazione (teoria degli anelli).

In un dominio d'integrità è possibile come in studiare la fattorizzazione di un dato elemento (non invertibile). In questo contesto, la definizione di divisibilità si estende naturalmente al caso di qualsiasi dominio: divide se esiste un elemento tale che . Se è invertibile, e si dicono associati.

Due definizioni emergono naturalmente in questo studio:

  • un elemento è irriducibile se, ogniqualvolta che , allora o o è invertibile;
  • un elemento è primo se, quando divide il prodotto , allora divide almeno uno tra e .

In , queste due definizioni sono equivalenti, ma questo non è vero in generale: gli elementi primi sono irriducibili, ma gli irriducibili non sono sempre primi. Ad esempio, nell'anello

è irriducibile ma non primo, perché divide il prodotto , ma non divide né un fattore né l'altro.

Questa seconda implicazione è tuttavia verificata negli anelli a fattorizzazione unica, ovvero in quegli anelli in cui, date due fattorizzazioni in irriducibili

allora , e ogni è associato ad un . In ogni dominio a fattorizzazione unica esistono il massimo comun divisore e il minimo comune multiplo tra ogni coppia di elementi.

Anelli con ancora maggiori proprietà sono gli anelli ad ideali principali e gli anelli euclidei, in cui è possibile effettuare la divisione euclidea come negli interi. A quest'ultima classe appartengono anche gli anelli di polinomi , dove è un campo.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ (EN) Elements of Mathematics, Vol. II Algebra, Ch. 1, Springer
  2. ^ (EN) Algebra, 3rd edition, Springer, ch. II

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Giulia Maria Piacentini Cattaneo, Algebra - un approccio algoritmico. Decibel-Zanichelli, Padova 1996, ISBN 978-88-08-16270-0

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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