Disequazione con il valore assoluto

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Il grafico della funzione valore assoluto

In matematica una disequazione con valore assoluto è una disequazione del tipo , dove :

  • e sono due funzioni qualsiasi

Caso particolare: g(x) funzione costante[modifica | modifica wikitesto]

Consideriamo prima di tutto il caso in cui . Si ha pertanto

Le disequazioni di questo tipo si possono risolvere in maniera meccanica a seconda del valore di , sfruttando il fatto che il valore assoluto di un numero è sempre maggiore o uguale a .

k < 0[modifica | modifica wikitesto]

Non può mai capitare che il primo membro sia minore o uguale a un numero negativo. La disequazione è impossibile.
Non può mai capitare che il primo membro sia minore di un numero negativo. La disequazione è impossibile.
Il primo membro (nei punti dove è definito) è sempre maggiore o uguale di un numero negativo.

La soluzione è , dove è il dominio di

Il primo membro (nei punti dove è definito) è sempre maggiore di un numero negativo.

La soluzione è , dove è il dominio di

k = 0[modifica | modifica wikitesto]

Il primo membro non potrà mai essere minore di zero. La disequazione è impossibile.
Le uniche soluzioni sono quelle che rendono il primo membro uguale a zero, quindi risolvere questa disequazione è equivalente a risolvere l'equazione
Vanno bene tutti i valori tranne quelli che rendono nulla . Pertanto in questo caso bisogna risolvere
Qualunque elemento del dominio è accettato: la soluzione è , sempre con dominio di

k > 0[modifica | modifica wikitesto]

In questo caso ci si riporta a disequazioni senza valore assoluto

È equivalente a , cioè al sistema
È equivalente a , cioè al sistema
È equivalente a
È equivalente a

Caso generale[modifica | modifica wikitesto]

|f(x)| < g(x)[modifica | modifica wikitesto]

La disequazione è equivalente a

|f(x)| ≤ g(x)[modifica | modifica wikitesto]

La disequazione è equivalente a

|f(x)| > g(x)[modifica | modifica wikitesto]

La disequazione è equivalente a

|f(x)| ≥ g(x)[modifica | modifica wikitesto]

La disequazione è equivalente a

Presenza di più valori assoluti[modifica | modifica wikitesto]

Nel caso siano presenti due o più valori assoluti è necessario aprire i valori assoluti secondo la definizione:

Quindi nell'esercizio proposto i due valori assoluti diventano

e

Si individuano pertanto gli intervalli dell'asse reale in cui gli argomenti dei valori assoluti mantengono il loro segno, in questo caso ci sono tre intervalli, in tali intervalli i valori assoluti vengono aperti

Le soluzioni dei tre sistemi vanno UNITE nell'insieme di soluzione della disequazione data in partenza.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]



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