Criterio di Eisenstein

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In algebra, il criterio di Eisenstein è un criterio per dimostrare l'irriducibilità di alcuni polinomi a coefficienti interi. Prende il nome dal matematico tedesco Gotthold Eisenstein.

Il criterio[modifica | modifica wikitesto]

Sia un polinomio primitivo a coefficienti interi

Il criterio di Eisenstein afferma che:

Se esiste un numero primo tale che:

  • non divide ,
  • divide ,
  • non divide ,

Allora è irriducibile tra i polinomi a coefficienti interi.

In altre parole, se valgono le ipotesi non esistono due polinomi a coefficienti interi e e di grado almeno uno tali che

Per il lemma di Gauss, non esistono neppure due polinomi e a coefficienti razionali di grado almeno uno il cui prodotto è .

Il criterio può essere generalizzato a qualsiasi dominio a fattorizzazione unica: basta sostituire alla nozione di numero primo quella di elemento primo.

Esempio[modifica | modifica wikitesto]

Consideriamo ad esempio il polinomio ; a questo si può applicare il criterio a partire dal primo p=5, che divide 10 e 25, ma non 3; inoltre non divide 10. Da questo si può dedurre che P(x) è irriducibile.

L'ultima condizione è importante: infatti se consideriamo il polinomio , questo verifica le prime due condizioni, ma non la terza, e non è irriducibile: esiste infatti la fattorizzazione

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Supponiamo per assurdo che esistano due polinomi G(x) e H(x) che fattorizzano P(x) (dove P(x) verifica le ipotesi del criterio di Eisenstein), di grado rispettivamente g e h; scomponiamo quindi P(x) come

Abbiamo allora

e quindi e

da cui a meno di inversioni e , continuiamo

per cui

per cui

...

troviamo infine l'assurdo e .

Dimostrazione alternativa[modifica | modifica wikitesto]

Un'altra dimostrazione può essere data usando il campo delle classi di resto modulo il primo .

Consideriamo il polinomio , ottenuto dal polinomio proiettandone i coefficienti in ; poiché per ipotesi divide tutti i coefficienti escluso il coefficiente direttore, con , . Poiché in vale la fattorizzazione unica, ogni fattorizzazione di in sarà in monomi. Supponiamo ora che sia riducibile in , ovvero che esistano tali che con . Si avrebbe che i fattori e , proiettati modulo , sarebbero monomi, ovvero si avrebbe e , con , .

È facile verificare che e che dunque divide e . Ma allora divide contraddicendo l'ipotesi . Quindi non è fattorizzabile in , e dunque nemmeno in per il lemma di Gauss.