Estensione di Galois

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In matematica, un'estensione di Galois è un'estensione algebrica che soddisfa le condizioni descritte qui sotto. Il senso è che un'estensione di Galois ha un gruppo di Galois e obbedisce al teorema fondamentale della teoria di Galois. La teoria di Galois si occupa essenzialmente dello studio delle estensioni di Galois.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

L'estensione si dice di Galois se il campo fisso del gruppo degli -automorfismi di è esattamente il campo di base , in questo caso il gruppo è detto gruppo di Galois e si indica con .

Un risultato di Emil Artin permette di costruire estensioni di Galois nel modo seguente. Se è un campo assegnato e è un gruppo finito di automorfismi di , allora è un'estensione di Galois, e è il campo fisso di .

Caratterizzazione delle estensioni di Galois[modifica | modifica wikitesto]

Un importante teorema di Emil Artin asserisce che un'estensione finita è di Galois se, e solo se sussiste una delle seguenti condizioni equivalenti:

  • è un'estensione normale e separabile;
  • è il campo di spezzamento di un polinomio separabile a coefficienti in ;
  • , ovvero il grado dell'estensione è uguale all'ordine del gruppo degli automorfismi di .

Se si toglie la richiesta della finitezza dell'estensione tale risultato si generalizza e si ha che è di Galois se, e solo se sussiste una delle seguenti condizioni equivalenti:

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