Azione di gruppo

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In algebra, un'azione di gruppo è una mappa che consente di mettere in relazione gli elementi di un gruppo con quelli di un altro insieme. È così possibile ottenere una corrispondenza tra le proprietà del gruppo e quelle dell'insieme (che può, a seconda dei casi, essere dotato di altre strutture, per esempio strutture algebriche).

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Siano G un gruppo ed A un insieme. Si dice azione di gruppo (ovvero G-azione) una funzione:

dove è definita in modo tale da verificare le due seguenti condizioni:

  • [1]

Quest'ultima proprietà non va confusa con quella associativa che è definita solo per elementi di uno stesso insieme, mentre g, h e a appartengono a insiemi diversi.

In letteratura, data una G-azione su un insieme A, si dice anche che il gruppo G agisce su A o che A è un G-insieme.[2][3]

Orbite[modifica | modifica wikitesto]

Data la relazione di equivalenza su

le classi di equivalenza così definite si dicono orbite. Le orbite formano una partizione di . L'orbita contenente l'elemento è data da

Nel caso di un'azione di coniugio, le orbite prendono il nome di classi di coniugio.

Numero di orbite[modifica | modifica wikitesto]

Se il gruppo finito G agisce sull'insieme finito X, per il lemma di Burnside (dovuto a Frobenius) il numero di orbite di tale azione è pari a:

dove

è l'insieme degli elementi di X che sono lasciati fissi dall'elemento g di G.

Sistemi dinamici[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Orbita (matematica).

Nell'analisi dei sistemi dinamici, l'evoluzione di un sistema dinamico viene formalizzata da un omomorfismo di gruppo che induce un'azione continua di un gruppo topologico G su un'algebra localmente convessa A. In tal caso le orbite sono le traiettorie compiute dal sistema nello spazio delle fasi.

Stabilizzatore[modifica | modifica wikitesto]

Dato un punto in , si definisce stabilizzatore di il sottogruppo di formato dagli elementi che fissano :

Lo stabilizzatore è un sottogruppo di G.

Per un gruppo finito, l'orbita di un elemento conta tanti elementi quanti l'indice dello stabilizzatore in . Vale allora la seguente formula per il calcolo dell'ordine di :

Una biiezione esplicita fra le classi laterali

e l'orbita è data da:

Azioni sinistre e destre[modifica | modifica wikitesto]

L'azione definita viene detta più propriamente azione a sinistra. Si può definire in maniera analoga un'azione a destra di su , per la quale valgono risultati analoghi a quelli dell'azione a sinistra.[4]

Definizioni ulteriori[modifica | modifica wikitesto]

Un'azione è fedele se ogni elemento di sposta almeno un punto di :

Un'azione è libera se gli stabilizzatori sono tutti banali:

Un'azione è transitiva se esiste un'unica orbita:

Un'azione è semplicemente transitiva se:

Un punto fisso è un elemento in che è lasciato invariato da tutti gli elementi di , ovvero la sua orbita si riduce al solo elemento :

Si hanno analoghe definizioni per le azioni destre. Inoltre, si noti che ogni azione libera è fedele, mentre se G agisce liberamente e transitivamente su A, allora l'azione risulta semplicemente transitiva.

Azioni e permutazioni[modifica | modifica wikitesto]

Se è un'azione del gruppo sull'insieme non vuoto allora per ogni la funzione è una permutazione di , in effetti l'insieme costituisce un sottogruppo del gruppo simmetrico di . In particolare è isomorfo a se e solo se l'azione è fedele.

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Ogni gruppo agisce su se stesso, tramite traslazione:

Spazio topologico[modifica | modifica wikitesto]

Se è uno spazio topologico, lo spazio delle orbite è dotato della topologia quoziente, e la proiezione

è una funzione continua.

Azioni e rivestimenti[modifica | modifica wikitesto]

Un caso molto studiato in topologia è quello in cui la mappa è un rivestimento. Affinché questo accada, sono necessarie alcune ipotesi sull'azione.

L'azione è detta propriamente discontinua se per ogni coppia di sottoinsiemi compatti e di l'intersezione

è non vuota solo per un numero finito di elementi del gruppo .

Se è uno spazio di Hausdorff localmente compatto, le condizioni seguenti sono equivalenti.

  • agisce in modo libero e propriamente discontinuo.
  • è di Hausdorff e ogni in ha un intorno aperto tale che

per ogni in .

  • è di Hausdorff e la proiezione è un rivestimento.

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Il gruppo agisce sulla sfera : si associa all'elemento "1" la mappa antipodale. L'azione è libera e propriamente discontinua. Lo spazio quoziente è lo spazio proiettivo reale .

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Bosch, S., p. 218
  2. ^ Sernesi, E., p. 81
  3. ^ Kosniowski, C.,  p. 39
  4. ^ Manetti, M., pp. 217-219

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

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