Estensione ciclotomica

In matematica, in particolare in teoria dei campi, un'estensione di campi $L/K$ è detta ciclotomica se $K$ è un sottocampo di $\mathbb {C}$ e se $L$ si ottiene aggiungendo a $K$ una radice primitiva ennesima dell'unità. Di conseguenza $L$ è il campo di spezzamento su $K$ del polinomio $x^{n}-1.$

I sottocampi di $\mathbb {C}$ generati su $\mathbb {Q}$ da una radice primitiva dell'unità si dicono campi ciclotomici.

Si dimostra che l'estensione ciclotomica ottenuta aggiungendo a un campo $F\subseteq \mathbb {C}$ una radice primitiva $p$-esima dell'unità (con $p$ primo) ha gruppo di Galois ciclico. In particolare, se $F=\mathbb {Q}$ si ha che il gruppo di Galois è isomorfo al gruppo $\mathbb {Z} /(p-1)\mathbb {Z}$.

Bibliografia

• (EN) Bryan Birch, "Cyclotomic fields and Kummer extensions", in J.W.S. Cassels and A. Frohlich (edd), Algebraic number theory, Academic Press, 1973. Chap.III, pp. 45–93.
• (EN) Daniel A. Marcus, Number Fields, third edition, Springer-Verlag, 1977
• (EN) Lawrence C. Washington, Introduction to Cyclotomic Fields, Graduate Texts in Mathematics, 83. Springer-Verlag, New York, 1982. ISBN 0-387-90622-3
• (EN) Serge Lang, Cyclotomic Fields I and II, Combined second edition. With an appendix by Karl Rubin. Graduate Texts in Mathematics, 121. Springer-Verlag, New York, 1990. ISBN 0-387-96671-4

Voci correlate

• Estensione di campi
• Radice dell'unità
• Campo numerico
• Polinomio ciclotomico

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Estensione ciclotomica, su MathWorld, Wolfram Research.