Teorema di Fermat sulle somme di due quadrati

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Il teorema di Fermat sulle somme di due quadrati afferma che ogni numero primo si può scrivere come somma di due quadrati perfetti se e solo se è congruo a 1 modulo 4, in altre parole se la differenza tra tale numero primo e 1 è multipla di 4. Per esempio:

Fa eccezione il 2, che pur non essendo congruo a 1 modulo 4, può tuttavia essere scritto come somma di due quadrati: .

La prima dimostrazione nota di questo teorema risale a Eulero.

Fermat propose questo teorema in una lettera a Marin Mersenne datata 25 dicembre 1640, per questo motivo è noto anche come Teorema di Natale di Fermat.

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Consideriamo un primo : il primo passo è dimostrare che l'equazione

ha soluzioni in cui sono numeri naturali tali che e non sono divisibili per . Questo è equivalente a chiedere che l'equazione modulare

abbia soluzione per . Per il criterio di Eulero,

Di conseguenza, se è un residuo quadratico modulo , lo sarà anche , in quanto prodotto di due residui quadratici; quindi, preso comunque un , è sempre possibile trovare un tale che . In particolare, è possibile scegliere e compresi tra 0 e (estremi esclusi); da questo si ottiene che

e quindi ha una soluzione in cui .

Consideriamo il più piccolo positivo tale che è risolubile (in numeri interi). Se il teorema è dimostrato; altrimenti, utilizzando l'algoritmo di Euclide possiamo scrivere

con interi e . Se e fossero entrambi nulli allora si avrebbe e quindi il che è impossibile perché è un numero primo. Dalle relazioni di e con si ottiene che esiste un intero tale che

e la condizione sui valori assoluti di e implica che . Moltiplicando per si ottiene

Le basi dei quadrati dell'ultimo membro sono divisibili per , perché

Quindi

contro l'ipotesi che sia il minimo intero che verifica la condizione. Di conseguenza e il teorema è dimostrato.

Dimostrazione attraverso gli interi gaussiani[modifica | modifica wikitesto]

È possibile dimostrare questo teorema anche con l'uso degli interi di Gauss.

Infatti, cominciamo come prima con l'osservare che per primi nella forma 4k+1 si ha per il criterio di Eulero che -1 è un residuo quadratico, in quanto

ovvero l'equazione è risolubile. Quindi esiste un x per cui . Possiamo scrivere dove i è l'unità immaginaria. Se p fosse "primo" anche nell'anello degli interi gaussiani, dovrebbe implicare oppure , ovvero dovrebbero esistere tali che Ma al primo membro la parte reale è ap, mentre nella seconda è 1; poiché tutti questi numeri sono interi e , questo è assurdo, ovvero si deve avere

per qualche dove e non sono unità dell'anello . Passando alle norme, e ricordando che il prodotto delle norme è uguale alla norma del prodotto, si ha

Queste quantità sono tutte intere (anzi, naturali), per cui abbiamo soltanto due possibilità:

  • ;
  • e (o viceversa).

Nel primo caso il teorema è dimostrato. Nel secondo caso risulta essere un'unità di . Questo dà luogo ad una decomposizione triviale di , che è da escludere. Il teorema è dimostrato.

Dimostrazione usando il lemma di Thue[modifica | modifica wikitesto]

Attraverso il lemma di Thue è possibile dare una dimostrazione semplice e diretta del teorema di Fermat. Come prima, sappiamo che se p è un primo congruo a 1 modulo 4, allora -1 è un residuo quadratico modulo p: sia a tale che

e consideriamo la congruenza

Se X e Y verificano la congruenza, allora

Per il lemma di Thue, almeno una coppia (X, Y) di questo tipo verifica e quindi

e quindi in questo caso h <2, e, poiché h è intero, h =1, ovvero .

Generalizzazioni[modifica | modifica wikitesto]

Si può innanzitutto dimostrare che un numero primo congruo ad 1 modulo 4 si scrive in modo unico come somma di 2 quadrati.

1) In modo non molto diverso si può dimostrare che ogni numero primo congruo a 1 modulo 6 si può scrivere nella forma

per fare ciò è necessario però dimostrare che -3 è un residuo quadratico per ogni numero primo congruo a 1 modulo 6, a tale scopo si può usare il lemma di Gauss

2) Nelle sue "Osservazioni su Diofanto" Fermat spiega il metodo per trovare un numero intero esprimibile in esattamente n modi diversi come somma di due quadrati non nulli. Raddoppiamo n e scomponiamo 2n come prodotto di fattori primi. Una volta diminuiti di 1 tali fattori, attribuiamo i numeri ottenuti come esponenti di numeri primi congrui a 1 modulo 4.

Esempio: si vuole trovare un intero esprimibile in tre modi diversi come somma di due quadrati. Si scompone 6 come prodotto di fattori primi (2 e 3). Diminuiamo di 1 e otteniamo 1 e 2. Attribuendo 1 e 2 come esponenti di due primi congrui a 1 modulo 4 (per esempio 13 e 5) otteniamo: che si esprime in tre modi diversi come somma di quadrati.

Consideriamo ora di avere un n e di voler sapere in quanti modi esso sia rappresentabile come somma di due quadrati in modi inequivalenti, ossia che due rappresentazioni non siano la medesima rappresentazione con segni cambiati o elementi permutati. Per quanto affermato affinché n sia rappresentabile come somma di due quadrati n deve poter essere scritto nella seguente forma con dove i vari sono primi congrui ad 1 modulo 4 e dove i fattori di D sono i primi congrui a 3 modulo 4. Allora il numero di rappresentazioni di n (come somma di due quadrati ed indicato con ) è il numero di rappresentazioni di m, vale la formula: dove la assume valore 1 allorché m sia un quadrato perfetto, 0 altrimenti.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • H. Davenport, Capitolo V.2, in Aritmetica superiore, Bologna, Zanichelli, 1994, ISBN 88-08-09154-6.
  • G. M. Piacentini Cattaneo, Algebra, un approccio algoritmico, Padova, Decibel, 1996, ISBN 978-88-08-16270-0.
  • Pierre de Fermat, Osservazioni su Diofanto, Boringhieri, 2006, ISBN 88-339-0998-0.
  • David M. Burton, Elementary Numbert Theory, McGraw-Hill, 2007, ISBN 978-0-07-305188-8.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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