Teorema di Fermat sulle somme di due quadrati

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Il teorema di Fermat sulle somme di due quadrati afferma che ogni numero primo si può scrivere come somma di due quadrati perfetti se e solo se è congruo a 1 modulo 4, in altre parole se la differenza tra tale numero primo e 1 è multipla di 4. Per esempio:

Fa eccezione il 2, che pur non essendo congruo a 1 modulo 4, può tuttavia essere scritto come somma di due quadrati: . Siccome i quadrati sono congrui a 0 oppure a 1 modulo 4 si ha che se un primo dispari è somma di quadrati, allora . Basta quindi mostrare che se allora .

La prima dimostrazione nota di questo teorema risale a Eulero.

Fermat propose questo teorema in una lettera a Marin Mersenne datata 25 dicembre 1640, per questo motivo è noto anche come Teorema di Natale di Fermat.

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Consideriamo un primo ossia per qualche Mostriamo che l'equazione

ha soluzioni in cui sono numeri naturali tali che e non sono divisibili per . Questo è equivalente a chiedere che l'equazione modulare

abbia soluzione per . Per il criterio di Eulero,

Di conseguenza, se è un residuo quadratico modulo , lo sarà anche , in quanto prodotto di due residui quadratici; quindi, preso comunque un , è sempre possibile trovare un tale che . In particolare, è possibile scegliere e compresi tra 0 e (estremi esclusi); da questo si ottiene che

e quindi ha una soluzione in cui .

Consideriamo il più piccolo positivo tale che è risolubile (in numeri interi). Se il teorema è dimostrato; altrimenti, utilizzando l'algoritmo di Euclide possiamo scrivere

con interi e . Se e fossero entrambi nulli allora si avrebbe

e quindi

il che è impossibile perché è un numero primo. Dalle relazioni di e con si ottiene che esiste un intero tale che

e la condizione sui valori assoluti di e implica che . Moltiplicando per si ottiene

Le basi dei quadrati dell'ultimo membro sono divisibili per , perché

Quindi

contro l'ipotesi che sia il minimo intero che verifica la condizione. Di conseguenza e il teorema è dimostrato.

Dimostrazione attraverso gli interi gaussiani[modifica | modifica wikitesto]

È possibile dimostrare questo teorema anche con l'uso di il Dominio euclideo degli interi di Gauss. Inoltre, un primo dispari se e solo se se e solo se non è primo in . Se non è primo in si vede facilmente che è somma di quadrati e viceversa . Basta quindi mostrare che se allora non è primo in . Questo segue facilmente dal teorema di Wilson. Infatti, se allora è una soluzione di in quanto

Alternativamente, per il criterio di Eulero, si sa che -1 è un residuo quadratico. Quindi, per si ha che . Possiamo scrivere . Se fosse primo anche nell'anello degli interi di Gauss dovrebbe implicare oppure , ossia dovrebbero esistere tali che da cui : assurdo. Quindi si ha che non è primo in da cui segue che è somma di quadrati. Infatti, si deve avere una fattorizzazione

per qualche dove e non sono unità dell'anello . Passando alle norme, e ricordando che il prodotto delle norme è uguale alla norma del prodotto, si ha

Queste quantità sono tutte intere (anzi, naturali), per cui abbiamo soltanto due possibilità:

  • ;
  • e (o viceversa).

Nel primo caso il teorema è dimostrato. Nel secondo caso risulta essere un'unità di . Questo dà luogo ad una decomposizione triviale di , che è da escludere. Il teorema è dimostrato.

Dimostrazione usando il lemma di Thue[modifica | modifica wikitesto]

Attraverso il lemma di Thue è possibile dare una dimostrazione semplice e diretta del teorema di Fermat. Come sopra, sappiamo che se allora -1 è un residuo quadratico modulo Sia tale che

e consideriamo la congruenza

Se e verificano la congruenza, allora

Per il lemma di Thue, almeno una coppia di questo tipo verifica e quindi

e quindi in questo caso e, poiché è intero, ossia .

Generalizzazioni[modifica | modifica wikitesto]

Si può innanzitutto dimostrare che un numero primo congruo a 1 modulo 4 si scrive in modo unico come somma di 2 quadrati.

1) In modo non molto diverso si può dimostrare che ogni numero primo congruo a 1 modulo 6 si può scrivere nella forma:

Per fare ciò è necessario però dimostrare che -3 è un residuo quadratico per ogni numero primo congruo a 1 modulo 6, a tale scopo si può usare il lemma di Gauss.

2) Nelle sue "Osservazioni su Diofanto" Fermat spiega il metodo per trovare un numero intero esprimibile in esattamente modi diversi come somma di due quadrati non nulli. Raddoppiamo e scomponiamo come prodotto di fattori primi. Una volta diminuiti di 1 tali fattori, attribuiamo i numeri ottenuti come esponenti di numeri primi congrui a 1 modulo 4.

Esempio: si vuole trovare un intero esprimibile in tre modi diversi come somma di due quadrati. Si scompone 6 come prodotto di fattori primi (2 e 3). Diminuiamo di 1 e otteniamo 1 e 2. Attribuendo 1 e 2 come esponenti di due primi congrui a 1 modulo 4 (per esempio 13 e 5) otteniamo: che si esprime in tre modi diversi come somma di quadrati:

Consideriamo ora di avere un e di voler sapere in quanti modi esso sia rappresentabile come somma di due quadrati in modi non equivalenti, ossia che due rappresentazioni non siano la medesima rappresentazione con segni cambiati o elementi permutati. Per quanto affermato affinché sia rappresentabile come somma di due quadrati deve poter essere scritto nella seguente forma con dove i sono primi congrui a 1 modulo 4 e dove i fattori di sono i primi congrui a 3 modulo 4. Allora il numero di rappresentazioni di (come somma di due quadrati e indicato con ) è il numero di rappresentazioni di vale la formula:

dove assume valore 1 se è un quadrato perfetto e assume valore 0 altrimenti.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • H. Davenport, Capitolo V.2, in Aritmetica superiore, Bologna, Zanichelli, 1994, ISBN 88-08-09154-6.
  • G. M. Piacentini Cattaneo, Algebra, un approccio algoritmico, Padova, Decibel, 1996, ISBN 978-88-08-16270-0.
  • Pierre de Fermat, Osservazioni su Diofanto, Boringhieri, 2006, ISBN 88-339-0998-0.
  • David M. Burton, Elementary Numbert Theory, McGraw-Hill, 2007, ISBN 978-0-07-305188-8.
  • Luca Barbieri Viale, Teorema 5.45, Che cos'è un numero ? Raffaello Cortina, 2013, ISBN 978-88-6030-604-3

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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