Funzione sigma

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I primi 250 valori della funzione σ

La funzione \sigma\left(n\right) è una funzione aritmetica, definita come la somma di tutti i divisori positivi di un numero naturale n:

\sigma\left(n\right)=\sum_{d|n}d

La funzione sigma generalizzata è invece definita come la somma delle \alpha-esime potenze dei divisori di n:

\sigma_\alpha\left(n\right)=\sum_{d|n}d^\alpha

Valori della funzione[modifica | modifica sorgente]

Il valore di \sigma(n) è sempre maggiore del numero n stesso, perché ogni numero è un divisore di se stesso. Si ha \sigma(n)=n+1 se e solo se n è un numero primo. Se invece n è composto, vale la disuguaglianza più forte \sigma(n)>n+\sqrt{n}.

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
σ(n) 1 3 4 7 6 12 8 15 13 18
n 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
σ(n) 12 28 14 24 24 31 18 39 20 42

Proprietà[modifica | modifica sorgente]

La funzione sigma è una funzione moltiplicativa, ma non completamente moltiplicativa; da questo si può ricavare una formula compatta per il calcolo di questa funzione. Sia n=p_1^{q_1}p_2^{q_2}\cdots p_k^{q_k}.

\sigma(p_i^{q_i})=1+p_i+p_i^2+p_i^3+\cdots+p_i^{q_i}=\frac{p_i^{q_i+1}-1}{p_i-1}

essendo una serie geometrica, e quindi

\sigma(n)=\frac{p_1^{q_1+1}-1}{p_1-1}\frac{p_2^{q_2+1}-1}{p_2-1}\cdots\frac{p_k^{q_k+1}-1}{p_k-1}=\prod_{i=1}^k\frac{p_i^{q_i+1}-1}{p_i-1}

Soddisfa l'identità

\sigma_\alpha\left(n\right)=\prod_{p^m|n}\frac{p^{\alpha\left(m+1\right)}-1}{p^\alpha-1}

Altre due notevoli identità che riguardano la funzione sigma sono

-\sum_{n=1}^{\infty}\ln\left(1-x^n\right)=\sum_{n=1}^{\infty}\sigma_{-1}\left(n\right)x^n

e

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sigma_\alpha\left(n\right)}{n^s}=\zeta\left(s\right)\zeta\left(s-\alpha\right)

dove \zeta\left(s\right) è la funzione zeta di Riemann.

La funzione \sigma_0(n) è anche nota come funzione tau.

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