Funzione sigma

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I primi 250 valori della funzione σ

La funzione è una funzione aritmetica, definita come la somma di tutti i divisori positivi di un numero naturale :

La funzione sigma generalizzata è invece definita come la somma delle -esime potenze dei divisori di :

Valori della funzione[modifica | modifica wikitesto]

Per , il valore di è sempre maggiore o uguale del numero stesso più , perché ogni numero e sono divisori del numero stesso: si ha , con l'uguaglianza se e solo se è un numero primo. Se invece è composto, vale la disuguaglianza più forte .

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
σ(n) 1 3 4 7 6 12 8 15 13 18
n 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
σ(n) 12 28 14 24 24 31 18 39 20 42

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

La funzione sigma è una funzione moltiplicativa, ma non completamente moltiplicativa; da questo si può ricavare una formula compatta per il calcolo di questa funzione. Sia .

essendo una serie geometrica, e quindi

Soddisfa l'identità

Altre due notevoli identità che riguardano la funzione sigma sono

e

dove è la funzione zeta di Riemann.

La funzione è anche nota come funzione tau.

Casi particolari[modifica | modifica wikitesto]

La funzione sigma generalizzata con , restituisce il numero totale di divisori di . Sia n scomponibile in fattori primi come , allora

Ad esempio, il numero di divisori del numero possono essere calcolati come

In effetti il numero 24 ha 8 divisori (1, 2, 4, 8, 3, 6, 12 e 24).

Codice[modifica | modifica wikitesto]

In C:

int sigma( int N ){//la funzione riceve un intero naturale N e restituisce la somma dei suoi divisori
	int i, res=0;
	if (N<1) return 0;//se N è non positivo, restituisce zero
	for (i=1; i<=N; i++)
		if( !(N%i) ) // equivalente a (N%i)==0
			res+=i;
	return res;
}

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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