Congettura di Goldbach

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In matematica, la congettura di Goldbach è uno dei più vecchi problemi irrisolti nella teoria dei numeri. Essa afferma che ogni numero pari maggiore di 2 può essere scritto come somma di due numeri primi (che possono essere anche uguali).

Il numero di modi con cui un numero n si può scrivere come somma di due primi per n ≤ 1 000 000

Per esempio,

  4 = 2 + 2
  6 = 3 + 3
  8 = 3 + 5
10 = 3 + 7 = 5 + 5
12 = 5 + 7
14 = 3 + 11 = 7 + 7
ecc.

Origini[modifica | modifica wikitesto]

Nel 1742, il matematico prussiano Christian Goldbach scrisse una lettera a Eulero in cui propose la seguente congettura:

Ogni numero intero maggiore di 5 può essere scritto come somma di tre numeri primi.

Eulero, interessandosi al problema, rispose riformulando il problema nella seguente versione equivalente:

Ogni numero pari maggiore di 2 può essere scritto come somma di due numeri primi.

La versione di Eulero è la forma nella quale la congettura è formulata attualmente e viene talvolta chiamata anche col nome di congettura forte di Goldbach. La congettura debole di Goldbach, che è implicata dalla congettura forte, asserisce che tutti i numeri dispari maggiori di 5 possono essere scritti come somma di tre primi.

Risultati[modifica | modifica wikitesto]

La congettura di Goldbach ha attirato l'attenzione di molti teorici dei numeri. La maggior parte dei matematici ritiene che la congettura sia vera, basandosi principalmente su considerazioni statistiche e probabilistiche ottenute con il teorema dei numeri primi.

Nel 1923 Hardy e Littlewood hanno dimostrato che se l'ipotesi di Riemann generalizzata è vera, allora la congettura debole di Goldbach è vera per tutti gli interi dispari sufficientemente grandi. Nel 1937, Ivan Vinogradov rimosse l'assunzione dell'ipotesi di Riemann generalizzata, mostrando che ogni numero dispari è somma di tre primi. Inoltre, basandosi sulle idee di Vinogradov, Chudakov,[1] van der Corput,[2] e Estermann[3] hanno dimostrato che quasi tutti i numeri pari possono essere scritti come somma di due primi, ossia che la frazione dei numeri che possono essere scritti in tal modo tende a 1. Nel 1975, Hugh Montgomery e Robert Vaughan hanno dato una versione più precisa di questo risultato mostrando che il numero di interi pari minori di N che non sono rappresentabili come somma di due primi è minore di per due costanti .

Diversi altri risultati parziali sono stati dimostrati nel corso degli anni. Nel 1939 L.G. Schnirelmann provò che ogni numero pari n ≥ 4 può essere scritto come somma di al più 20 numeri primi.[senza fonte] Questo numero è stato successivamente abbassato da numerosi matematici; in particolare Olivier Ramaré nel 1995 ha dimostrato che ogni numero pari n ≥ 4 si può scrivere come somma di al più 6 numeri primi. Si noti che la congettura debole di Goldbach implica il medesimo risultato, ma con soli 4 numeri primi.

Nel 1951, Linnik ha dimostrato che esiste un intero k tale che ogni numero pari sufficientemente grande si può scrivere come somma di due primi e al più k potenze di due. Nel 2002 Roger Heath-Brown e Jan-Christoph Schlage-Puchta hanno dimostrato che k = 13 è sufficiente[4] e nel 2003 Pintz e Ruzsa hanno migliorato questo risultato mostrando che si può prendere k = 8.[5]

Un altro risultato importante è quello ottenuto da Chen Jingrun che nel 1966 ha dimostrato che ogni numero pari sufficientemente grande può essere scritto come somma o di due primi, o di un primo e un semiprimo (il prodotto di due primi): per esempio, 100 = 23 + 7·11.[6]

Infine, nel corso degli anni ci sono stati diversi risultati per abbassare il limite menzionato sopra oltre al quale la congettura debole di Goldbach è dimostrata. Tra questi, vi è la dimostrazione di Deshouillers, Effinger, te Riele e Zinoviev che l'ipotesi di Riemann generalizzata implica la congettura debole di Goldbach.[7] Nel 2013 Harald Helfgott ha annunciato di aver dimostrato tale risultato senza l'assunzione dell'ipotesi di Riemann, risolvendo totalmente quindi la congettura debole di Goldbach.[8][9][10][11]

Nella cultura di massa[modifica | modifica wikitesto]

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Nikolai G. Chudakov, О проблеме Гольдбаха [On the Goldbach problem], in Doklady Akademii Nauk SSSR, vol. 17, 1937, pp. 335–338.
  2. ^ J. G. Van der Corput, Sur l'hypothèse de Goldbach, in Proc. Akad. Wet. Amsterdam, vol. 41, 1938, pp. 76–80.
  3. ^ T. Estermann, On Goldbach's problem: proof that almost all even positive integers are sums of two primes, in Proc. London Math. Soc., 2, vol. 44, 1938, pp. 307–314, DOI:10.1112/plms/s2-44.4.307.
  4. ^ D. R. Heath-Brown e J. C. Puchta, Integers represented as a sum of primes and powers of two, in Asian Journal of Mathematics, vol. 6, n. 3, 2002, pp. 535–565, arXiv:math.NT/0201299.
  5. ^ J. Pintz e I. Z. Ruzsa, On Linnik's approximation to Goldbach's problem, I, in Acta Arithmetica, vol. 109, n. 2, 2003, pp. 169–194, DOI:10.4064/aa109-2-6.
  6. ^ J. R. Chen, On the representation of a larger even integer as the sum of a prime and the product of at most two primes. Sci. Sinica 16 (1973), 157--176.
  7. ^ Deshouillers, Effinger, Te Riele and Zinoviev, A complete Vinogradov 3-primes theorem under the Riemann hypothesis (PDF), in Electronic Research Announcements of the American Mathematical Society, vol. 3, n. 15, 1997, pp. 99–104, DOI:10.1090/S1079-6762-97-00031-0.
  8. ^ H.A. Helfgott, Major arcs for Goldbach's theorem, 2013.
  9. ^ H.A. Helfgott, Minor arcs for Goldbach's problem, 2012.
  10. ^ Prime numbers: the 271 year old puzzle resolved - Truth Is Cool Archiviato il 7 giugno 2013 in Internet Archive.
  11. ^ Proof that an infinite number of primes are paired - physics-math - 14 May 2013 - New Scientist

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

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